Georg Kantor (kuva annetaan myöhemmin artikkelissa) on saksalainen matemaatikko, joka loi joukkoteorian ja esitteli käsitteen äärettömän suurista, mutta toisistaan poikkeavista luvuista. Hän myös määritteli järjestys- ja kardinaaliluvut ja loi niiden aritmeettisen.
Georg Kantor: lyhyt elämäkerta
Syntynyt Pietarissa 3.3.1845. Hänen isänsä oli protestanttisen uskon tanskalainen Georg-Valdemar Kantor, joka harjoitti kauppaa, myös pörssissä. Hänen äitinsä Maria Bem oli katolinen ja kotoisin merkittävien muusikoiden perheestä. Kun Georgin isä sairastui vuonna 1856, perhe muutti ensin Wiesbadeniin ja sitten Frankfurtiin etsimään leudompaa ilmastoa. Pojan matemaattiset kyvyt paljastuivat jo ennen hänen 15-vuotissyntymäpäiväänsä opiskellessaan Darmstadtin ja Wiesbadenin yksityisissä kouluissa ja lukioissa. Lopulta Georg Cantor vakuutti isänsä vakaasta aikeestaan tulla matemaatikkoksi, ei insinööriksi.
Lyhyen opiskelun jälkeen Zürichin yliopistossa Kantor siirtyi vuonna 1863 Berliinin yliopistoon opiskelemaan fysiikkaa, filosofiaa ja matematiikkaa. Siellä hänopetti:
- Karl Theodor Weierstrass, jonka erikoistuminen analyysiin luultavasti vaikutti eniten Georgiin;
- Ernst Eduard Kummer, joka opetti korkeampaa aritmetiikkaa;
- Leopold Kronecker, numeroteoreetikko, joka myöhemmin vastusti Cantoria.
Vietettyään yhden lukukauden Göttingenin yliopistossa vuonna 1866 Georg kirjoitti seuraavana vuonna väitöskirjansa "Matematiikassa kysymysten esittäminen on arvokkaampaa kuin ongelmien ratkaiseminen", joka koski Carl Friedrich Gaussin ongelmaa. jätetty ratkaisematta kirjassaan Disquisitiones Arithmeticae (1801). Opetettuaan hetken Berliinin tyttökoulussa Kantor aloitti työt Hallen yliopistossa, jossa hän toimi elämänsä loppuun asti ensin opettajana, vuodesta 1872 apulaisprofessorina ja vuodesta 1879 professorina.
Tutkimus
10 artikkelin sarjan alussa 1869-1873 Georg Cantor käsitteli lukuteoriaa. Teos heijasteli hänen intohimoaan aihetta kohtaan, hänen Gaussin tutkimuksiaan ja Kroneckerin vaikutusta. Cantorin hallessa työskentelevän kollegan Heinrich Eduard Heinen ehdotuksesta, joka tunnusti hänen matemaattisen kykynsä, hän siirtyi trigonometristen sarjojen teoriaan, jossa hän laajensi reaalilukujen käsitettä.
Saksalaisen matemaatikon Bernhard Riemannin vuonna 1854 tekemän kompleksisen muuttujan funktiota koskevan työn perusteella Kantor osoitti vuonna 1870, että tällainen funktio voidaan esittää vain yhdellä tavalla - trigonometrisilla sarjoilla. Huomioi joukko numeroita (pisteitä), jotkaei olisi ristiriidassa tällaisen näkemyksen kanssa, johti hänet ensinnäkin vuonna 1872 irrationaalisten lukujen määrittelyyn rationaalisten lukujen konvergenttisten sarjojen (kokonaislukujen murto-osien) muodossa ja edelleen hänen elämäntyönsä, joukkoteorian ja käsitteen parissa. äärellisistä luvuista.
Laukkoteoria
Georg Cantor, jonka joukkoteoria sai alkunsa kirjeenvaihdosta Braunschweigin teknisen instituutin matemaatikon Richard Dedekindin kanssa, oli hänen ystävänsä lapsuudesta asti. He päättelivät, että joukot, olivatpa ne äärellisiä tai äärettömiä, ovat elementtikokoelmia (esim. numerot, {0, ±1, ±2…}), joilla on tietty ominaisuus, mutta ne säilyttävät yksilöllisyytensä. Mutta kun Georg Cantor käytti henkilökohtaista vastaavuutta (esimerkiksi {A, B, C} - {1, 2, 3}) tutkiakseen heidän ominaisuuksiaan, hän huomasi nopeasti, että ne eroavat jäsenyydestään, jopa jos ne olisivat äärettömiä joukkoja., eli joukkoja, joiden osa tai osajoukko sisältää yhtä monta objektia kuin se itse. Hänen menetelmänsä tuotti pian hämmästyttäviä tuloksia.
Vuonna 1873 Georg Cantor (matemaatikko) osoitti, että rationaaliset luvut, vaikka ne ovat äärettömiä, ovat laskettavissa, koska ne voidaan asettaa yksi-yhteen vastaavuuteen luonnollisten lukujen (eli 1, 2, 3 jne.) kanssa. d.). Hän osoitti, että reaalilukujen joukko, joka koostuu irrationaalisista ja rationaalisista lukuista, on ääretön ja lukematon. Paradoksaalisemmin Cantor osoitti, että kaikkien algebrallisten lukujen joukko sisältää yhtä monta elementtiä kuinkuinka monta on joukko kaikkia kokonaislukuja ja että transsendentaaliset luvut, jotka eivät ole algebrallisia, jotka ovat irrationaalisten lukujen osajoukkoa, ovat laskemattomia, ja siksi niiden lukumäärä on suurempi kuin kokonaisluku, ja niitä tulisi pitää äärettöminä.
Vastustajat ja kannattajat
Mutta Kantorin paperia, jossa hän ensimmäisen kerran esitti nämä tulokset, ei julkaistu Krellissä, koska yksi arvioijista, Kronecker, vastusti kiivaasti. Mutta Dedekindin väliintulon jälkeen se julkaistiin vuonna 1874 otsikolla "Kaikkien todellisten algebrallisten lukujen tunnusomaisista ominaisuuksista".
Tiede ja yksityiselämä
Samana vuonna ollessaan häämatkallaan vaimonsa Wally Gutmanin kanssa Interlakenissa Sveitsissä Kantor tapasi Dedekindin, joka puhui myönteisesti uudesta teoriastaan. Georgen palkka oli pieni, mutta vuonna 1863 kuolleen isänsä rahoilla hän rakensi talon vaimolleen ja viidelle lapselleen. Monet hänen kirjoituksistaan julkaistiin Ruotsissa uudessa lehdessä Acta Mathematica, jonka toimitti ja perusti Gesta Mittag-Leffler, joka oli ensimmäisten joukossa tunnustanut saksalaisen matemaatikon lahjakkuuden.
Yhteys metafysiikkaan
Cantorin teoriasta tuli täysin uusi tutkimusaihe äärettömyyden matematiikasta (esim. sarjat 1, 2, 3 jne. ja monimutkaisemmat joukot), joka riippui suuresti yksi-yhteen-vastaavuudesta. Kantorin uusien lavastusmenetelmien kehitysjatkuvuutta ja äärettömyyttä koskevat kysymykset antoivat hänen tutkimukselleen moniselitteisen luonteen.
Kun hän väitti, että äärettömiä lukuja todella on olemassa, hän kääntyi muinaisen ja keskiajan filosofian puoleen todellisen ja potentiaalisen äärettömyyden suhteen sekä hänen vanhempiensa hänelle antamaan varhaiseen uskonnolliseen koulutukseen. Vuonna 1883 kirjassaan Funds of General Set Theory Kantor yhdisti käsitteensä Platonin metafysiikkaan.
Kronecker, joka väitti, että vain kokonaislukuja "olemassa" ("Jumala loi kokonaisluvut, loput on ihmisen työtä"), hylkäsi useiden vuosien ajan jyrkästi hänen perustelunsa ja esti hänen nimityksensä Berliinin yliopistoon.
Transfinite-luvut
Vuosina 1895-1897. Georg Cantor muotoili täysin käsityksensä jatkuvuudesta ja äärettömyydestä, mukaan lukien äärettömät järjestys- ja kardinaaliluvut, tunnetuimmassa teoksessaan, joka julkaistiin nimellä Contributions to the Establishment of the Theory of Transfinite Numbers (1915). Tämä essee sisältää hänen konseptinsa, johon hänet johdettiin osoittamalla, että ääretön joukko voidaan asettaa yksi-yhteen vastaavuuteen jonkin sen osajoukon kanssa.
Vähimmän transfiniittisen kardinaaliluvun alla hän tarkoitti minkä tahansa joukon kardinaalisuutta, joka voidaan asettaa yksi-yhteen-vastaavuuteen luonnollisten lukujen kanssa. Cantor kutsui sitä aleph-nulliksi. Suuret transfiniittiset joukot merkitään aleph-yksi, aleph-kaksi jne. Hän kehitti edelleen transfiniittisten lukujen aritmetiikkaa, joka oli analoginen äärellisen aritmeettisen kanssa. joten hänrikastuttaa äärettömyyden käsitettä.
Hänen kohtaama oppositio ja aika, joka kesti hänen ideoidensa hyväksymiseen täysin, johtuu siitä, että on vaikea arvioida uudelleen ikivanhaa kysymystä siitä, mikä luku on. Cantor osoitti, että suoran pistejoukolla on suurempi kardinaliteetti kuin aleph-nolla. Tämä johti hyvin tunnettuun jatkumohypoteesin ongelmaan - aleph-nollan ja suoran pisteiden potenssin välillä ei ole kardinaalilukuja. Tämä ongelma 1900-luvun ensimmäisellä ja toisella puoliskolla herätti suurta kiinnostusta, ja monet matemaatikot, mukaan lukien Kurt Gödel ja Paul Cohen, tutkivat sitä.
Masennus
Georg Kantorin elämäkerta vuodesta 1884 lähtien jäi hänen mielensairaudensa varjoon, mutta hän jatkoi aktiivista työtään. Vuonna 1897 hän auttoi pitämään ensimmäisen kansainvälisen matemaattisen kongressin Zürichissä. Osittain siksi, että Kronecker vastusti häntä, hän tunsi usein myötätuntoa nuoria matemaatikkoja kohtaan ja yritti löytää keinon pelastaa heidät uusien ideoiden uhkaavina pitämien opettajien ahdistelusta.
Tunnistus
Vuosisadan vaihteessa hänen työnsä tunnustettiin täysin funktioteorian, analyysin ja topologian perustaksi. Lisäksi kanttori Georgin kirjat toimivat sysäyksenä matematiikan loogisten perusteiden intuitionististen ja formalististen koulujen kehittämiselle. Tämä muutti merkittävästi opetusjärjestelmää ja liitetään usein "uuteen matematiikkaan".
Vuonna 1911 Kantor oli kutsuttujen joukossaSt. Andrewsin yliopiston 500-vuotisjuhla Skotlannissa. Hän meni sinne toivoen tapaavansa Bertrand Russellin, joka äskettäin julkaistussa teoksessaan Principia Mathematica viittasi toistuvasti saksalaiseen matemaatikkoon, mutta näin ei käynyt. Yliopisto myönsi Kantorille kunniakirjan, mutta hän ei sairauden vuoksi voinut ottaa palkintoa vastaan henkilökohtaisesti.
Kantor jäi eläkkeelle vuonna 1913, eli köyhyydessä ja näki nälkää ensimmäisen maailmansodan aikana. Hänen 70-vuotissyntymäpäivänsä kunniaksi vuonna 1915 pidetyt juhlat peruttiin sodan vuoksi, mutta hänen kotonaan järjestettiin pieni seremonia. Hän kuoli 1.6.1918 Hallessa, psykiatrisessa sairaalassa, jossa hän vietti elämänsä viimeiset vuodet.
Georg Kantor: elämäkerta. Perhe
9. elokuuta 1874 saksalainen matemaatikko meni naimisiin Wally Gutmannin kanssa. Pariskunnalla oli 4 poikaa ja 2 tytärtä. Viimeinen lapsi syntyi vuonna 1886 Kantorin ostamaan uuteen taloon. Hänen isänsä perintö auttoi häntä elättämään perheensä. Kantorin terveyteen vaikutti suuresti hänen nuorimman poikansa kuolema vuonna 1899, eikä masennus ole poistunut hänestä sen jälkeen.
