Mielestäni meidän pitäisi aloittaa sellaisen upean matemaattisen työkalun kuin differentiaaliyhtälöiden historiasta. Kuten kaikki differentiaali- ja integraalilaskenta, nämä yhtälöt keksi Newton 1600-luvun lopulla. Hän piti juuri tätä löytöään niin tärkeänä, että hän jopa salasi viestin, joka nykyään voidaan kääntää jotenkin näin: "Kaikki luonnonlait kuvataan differentiaaliyhtälöillä." Tämä saattaa tuntua liioittelulta, mutta se on totta. Mikä tahansa fysiikan, kemian tai biologian laki voidaan kuvata näillä yhtälöillä.
Matemaatikot Euler ja Lagrange antoivat v altavan panoksen differentiaaliyhtälöiden teorian kehittämiseen ja luomiseen. Jo 1700-luvulla he löysivät ja kehittivät nyt opiskelemaansa yliopistojen vanhemmilla kursseilla.
Uusi virstanpylväs differentiaaliyhtälöiden tutkimuksessa alkoi Henri Poincaren ansiosta. Hän loi "laadullisen differentiaaliyhtälöiden teorian", joka yhdessä monimutkaisen muuttujan funktioteorian kanssa antoi merkittävän panoksen topologian - avaruuden ja sen tieteen - perustamiseen.ominaisuuksia.
Mitä differentiaaliyhtälöt ovat?
Monet ihmiset pelkäävät yhtä lausetta "differentiaaliyhtälö". Tässä artikkelissa kerromme kuitenkin tämän erittäin hyödyllisen matemaattisen laitteen koko olemuksen, joka ei itse asiassa ole niin monimutkainen kuin nimestä näyttää. Jotta voit alkaa puhua ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä, sinun tulee ensin tutustua peruskäsitteisiin, jotka liittyvät luonnostaan tähän määritelmään. Ja aloitamme differentiaalista.
Differentiaali
Monet tuntevat tämän käsitteen koulusta. Katsotaanpa sitä kuitenkin tarkemmin. Kuvittele funktion kuvaaja. Voimme kasvattaa sitä niin paljon, että mikä tahansa sen segmenteistä tulee suoran muodon. Siitä otamme kaksi pistettä, jotka ovat äärettömän lähellä toisiaan. Niiden koordinaattien (x tai y) välinen ero on äärettömän pieni arvo. Sitä kutsutaan differentiaaliksi ja sitä merkitään dy- (differentiaali y:stä) ja dx (differentiaali x:stä) merkeillä. On erittäin tärkeää ymmärtää, että differentiaali ei ole äärellinen arvo, ja tämä on sen merkitys ja päätehtävä.
Ja nyt meidän on harkittava seuraavaa elementtiä, joka on hyödyllinen meille selittäessäsi differentiaaliyhtälön käsitettä. Tämä on johdannainen.
Johdannainen
Olemme kaikki luultavasti kuulleet koulussa ja tästä käsitteestä. Johdannan sanotaan olevan funktion kasvu- tai vähenemisnopeus. Tästä määritelmästä kuitenkinpaljon jää epäselväksi. Yritetään selittää derivaatta differentiaalien avulla. Palataan funktion äärettömään pieneen segmenttiin, jossa on kaksi pistettä, jotka ovat vähimmäisetäisyydellä toisistaan. Mutta jopa tällä etäisyydellä toiminto onnistuu muuttumaan jonkin verran. Ja kuvaamaan tätä muutosta he keksivät derivaatan, joka voidaan muuten kirjoittaa differentiaalien suhteeksi: f(x)'=df/dx.
Nyt kannattaa pohtia derivaatan perusominaisuuksia. Niitä on vain kolme:
- Summan tai erotuksen derivaatta voidaan esittää derivaattojen summana tai erotuksena: (a+b)'=a'+b' ja (a-b)'=a'-b'.
- Toinen ominaisuus liittyy kertolaskuun. Tuotteen derivaatta on yhden funktion tulojen ja toisen funktion derivaatan tulojen summa: (ab)'=a'b+ab'.
- Eron derivaatta voidaan kirjoittaa seuraavana yhtälönä: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Kaikki nämä ominaisuudet ovat hyödyllisiä ratkaisujen löytämisessä ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöihin.
On olemassa myös osittaisia johdannaisia. Oletetaan, että meillä on funktio z, joka riippuu muuttujista x ja y. Laskeaksemme tämän funktion osittaisen derivaatan, esimerkiksi suhteessa x:ään, meidän on otettava muuttuja y vakiona ja yksinkertaisesti differentioitava.
Integraal
Toinen tärkeä käsite on integraali. Itse asiassa tämä on johdannaisen suora vastakohta. Integraaleja on useita tyyppejä, mutta yksinkertaisimpien differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi tarvitsemme mitä triviaalisimpia epämääräisiä integraaleja.
Mikä on integraali? Oletetaan, että meillä on jokin riippuvuus falkaen x. Otetaan siitä integraali ja saadaan funktio F (x) (kutsutaan usein antiderivaatta), jonka derivaatta on yhtä suuri kuin alkuperäinen funktio. Näin ollen F(x)'=f(x). Tästä seuraa myös, että derivaatan integraali on yhtä suuri kuin alkuperäinen funktio.
Differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa on erittäin tärkeää ymmärtää integraalin merkitys ja toiminta, sillä niitä on käytettävä usein löytääkseen ratkaisun.
Yhtälöt ovat erilaisia riippuen niiden luonteesta. Seuraavassa osiossa tarkastelemme ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden tyyppejä ja opimme sitten ratkaisemaan ne.
Differentiaaliyhtälöiden luokat
"Diffury" on jaettu niihin liittyvien johdannaisten järjestyksen mukaan. Siten on ensimmäinen, toinen, kolmas ja useampi järjestys. Ne voidaan myös jakaa useisiin luokkiin: tavalliset ja osajohdannaiset.
Tässä artikkelissa tarkastelemme tavallisia ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöitä. Käsittelemme myös esimerkkejä ja tapoja ratkaista ne seuraavissa osioissa. Otamme huomioon vain ODE:t, koska nämä ovat yleisimmät yhtälötyypit. Tavalliset on jaettu alalajeihin: erotettavissa olevilla muuttujilla, homogeeninen ja heterogeeninen. Seuraavaksi opit, kuinka ne eroavat toisistaan, ja opit ratkaisemaan ne.
Lisäksi nämä yhtälöt voidaan yhdistää niin, että sen jälkeen saadaan ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöjärjestelmä. Harkitsemme myös tällaisia järjestelmiä ja opimme ratkaisemaan ne.
Miksi harkitsemme vain ensimmäistä tilausta? Koska sinun on aloitettava yksinkertaisesta ja kuvattava kaikki differentiaaliin liittyväyhtälöt, yhdessä artikkelissa on yksinkertaisesti mahdotonta.
Erottuvat muuttujayhtälöt
Nämä ovat ehkä yksinkertaisimpia ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä. Näihin kuuluu esimerkkejä, jotka voidaan kirjoittaa näin: y'=f(x)f(y). Tämän yhtälön ratkaisemiseksi tarvitsemme kaavan derivaatan esittämiseksi differentiaalien suhteena: y'=dy/dx. Sitä käyttämällä saamme seuraavan yhtälön: dy/dx=f(x)f(y). Nyt voidaan siirtyä standardiesimerkkien ratkaisumenetelmään: jaamme muuttujat osiin, eli siirrämme kaikki y-muuttujan kanssa siihen osaan, jossa dy sijaitsee, ja teemme samoin x-muuttujan kanssa. Saadaan yhtälö muotoa: dy/f(y)=f(x)dx, joka ratkaistaan ottamalla molempien osien integraalit. Älä unohda vakiota, joka on asetettava integraalin ottamisen jälkeen.
Jokaisen "diffurancen" ratkaisu on x:n riippuvuuden funktio y:stä (tapauksessamme) tai jos on numeerinen ehto, niin vastaus on luvun muodossa. Analysoidaan koko ratkaisun kulku tietyllä esimerkillä:
y'=2vsin(x)
Siirrä muuttujia eri suuntiin:
dy/y=2sin(x)dx
Nyt otamme integraalit. Ne kaikki löytyvät erityisestä integraalitaulukosta. Ja saamme:
ln(y)=-2cos(x) + C
Voimme ilmaista "y":n "x":n funktiona. Nyt voidaan sanoa, että differentiaaliyhtälömme on ratkaistu, jos ehtoa ei ole annettu. Ehto voidaan antaa esimerkiksi y(n/2)=e. Sitten yksinkertaisesti korvaamme näiden muuttujien arvot ratkaisuun jaetsi vakion arvo. Esimerkissämme se on yhtä suuri kuin 1.
Ensimmäisen kertaluvun homogeeniset differentiaaliyhtälöt
Nyt vaikeimpaan osaan. Ensimmäisen kertaluvun homogeeniset differentiaaliyhtälöt voidaan kirjoittaa yleismuodossa seuraavasti: y'=z(x, y). On huomattava, että kahden muuttujan oikea funktio on homogeeninen, eikä sitä voida jakaa kahteen riippuvuuteen: z x:stä ja z y:stä. Sen tarkistaminen, onko yhtälö homogeeninen vai ei, on melko yksinkertaista: tehdään substituutiot x=kx ja y=ky. Nyt perutaan kaikki k. Jos kaikki nämä kirjaimet pienennetään, yhtälö on homogeeninen ja voit turvallisesti jatkaa sen ratkaisemista. Sanotaan eteenpäin katsoen: näiden esimerkkien ratkaisuperiaate on myös hyvin yksinkertainen.
Meidän on tehtävä korvaus: y=t(x)x, missä t on jokin funktio, joka myös riippuu x:stä. Sitten voidaan ilmaista derivaatta: y'=t'(x)x+t. Korvaamalla tämä kaikki alkuperäiseen yhtälöimme ja yksinkertaistamalla sitä, saamme esimerkin, jossa on erotettavissa olevat muuttujat t ja x. Ratkaisemme sen ja saamme riippuvuuden t(x). Kun saimme sen, korvaamme y=t(x)x aiemmalla korvauksellamme. Sitten saadaan y:n riippuvuus x:stä.
Jos haluat selventää asiaa, katsotaanpa esimerkkiä: xy'=y-xey/x.
Kun tarkistat vaihdon, kaikki vähenee. Joten yhtälö on todella homogeeninen. Nyt teemme toisen substituution, josta puhuimme: y=t(x)x ja y'=t'(x)x+t(x). Yksinkertaistamisen jälkeen saamme seuraavan yhtälön: t'(x)x=-et. Ratkaisemme tuloksena olevan esimerkin erotetuilla muuttujilla ja saamme: e-t=ln(Cx). Meidän tarvitsee vain korvata t y/x:llä (jos y=tx, niin t=y/x), ja saammevastaus: e-y/x=ln(xC).
Ensimmäisen asteen lineaariset differentiaaliyhtälöt
On aika ottaa toinen iso aihe. Analysoimme ensimmäisen kertaluvun epähomogeenisiä differentiaaliyhtälöitä. Miten ne eroavat kahdesta edellisestä? Selvitetään se. Ensimmäisen asteen lineaariset differentiaaliyhtälöt yleismuodossa voidaan kirjoittaa seuraavasti: y' + g(x)y=z(x). On syytä selventää, että z(x) ja g(x) voivat olla vakioita.
Ja nyt esimerkki: y' - yx=x2.
On kaksi tapaa ratkaista se, ja käsittelemme molemmat järjestyksessä. Ensimmäinen on mieliv altaisten vakioiden vaihtelumenetelmä.
Jotta yhtälö voidaan ratkaista tällä tavalla, sinun on ensin rinnastettava oikea puoli nollaan ja ratkaistava tuloksena oleva yhtälö, joka saa osien siirtämisen jälkeen muotoa:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Nyt meidän on korvattava vakio C1 funktiolla v(x), joka meidän on löydettävä.
y=vex2/2.
Vaihdetaan derivaatta:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
Ja korvaa nämä lausekkeet alkuperäiseen yhtälöön:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Voit nähdä, että vasemmalla puolella kaksi termiä peruuntuu. Jos jossain esimerkissä näin ei tapahtunut, teit jotain väärin. Jatka:
v'ex2/2 =x2.
Nyt ratkaisemme tavallisen yhtälön, jossa meidän on erotettava muuttujat:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Integraalin purkamiseksi meidän on sovellettava osien integrointia tässä. Tämä ei kuitenkaan ole artikkelimme aihe. Jos olet kiinnostunut, voit oppia suorittamaan tällaiset toiminnot itse. Se ei ole vaikeaa, eikä riittävällä taidolla ja huomiolla vie paljon aikaa.
Käännytään toiseen epähomogeenisten yhtälöiden ratkaisumenetelmään: Bernoullin menetelmään. Mikä lähestymistapa on nopeampi ja helpompi, on sinun päätettävissäsi.
Joten, kun ratkaisemme yhtälön tällä menetelmällä, meidän on korvattava: y=kn. Tässä k ja n ovat joitain x:stä riippuvia funktioita. Tällöin derivaatta näyttää tältä: y'=k'n+kn'. Korvaa molemmat korvaukset yhtälössä:
k'n+kn'+xkn=x2.
Ryhmä:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Nyt meidän on rinnastettava nollaan se, mikä on suluissa. Jos nyt yhdistät kaksi tuloksena olevaa yhtälöä, saat ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöjärjestelmän, joka sinun on ratkaistava:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Ensimmäinen yhtälö ratkaistaan kuten normaali yhtälö. Tätä varten sinun on erotettava muuttujat:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Ota integraali ja saa: ln(n)=x2/2. Sitten, jos ilmaisemme n:
n=ex2/2.
Nyt korvaamme tuloksena olevan yhtälön järjestelmän toisella yhtälöllä:
k'ex2/2=x2.
Ja muuntamalla saamme saman tasa-arvon kuin ensimmäisessä menetelmässä:
dk=x2/ex2/2.
Emme myöskään mene jatkotoimiin. On syytä sanoa, että ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen aiheuttaa aluksi merkittäviä vaikeuksia. Kuitenkin kun sukeltat syvemmälle aiheeseen, se alkaa muuttua paremmaksi.
Missä differentiaaliyhtälöitä käytetään?
Differentiaaliyhtälöitä käytetään erittäin aktiivisesti fysiikassa, koska melkein kaikki peruslait on kirjoitettu differentiaalimuodossa ja näkemämme kaavat ovat näiden yhtälöiden ratkaisuja. Kemiassa niitä käytetään samasta syystä: niistä johdetaan peruslait. Biologiassa differentiaaliyhtälöitä käytetään mallintamaan järjestelmien, kuten petoeläin-saaliin, käyttäytymistä. Niitä voidaan käyttää myös esimerkiksi mikro-organismipesäkkeen lisääntymismallien luomiseen.
Miten differentiaaliyhtälöt auttavat elämässä?
Vastaus tähän kysymykseen on yksinkertainen: ei mitenkään. Jos et ole tiedemies tai insinööri, he eivät todennäköisesti ole hyödyllisiä sinulle. Yleisen kehityksen kann alta ei kuitenkaan haittaa tietää, mikä differentiaaliyhtälö on ja miten se ratkaistaan. Ja sitten kysymys pojasta tai tyttärestä "mikä on differentiaaliyhtälö?" ei hämmennä sinua. No, jos olet tiedemies tai insinööri, ymmärrät itse tämän aiheen merkityksen missä tahansa tieteessä. Mutta tärkeintä on, että nyt kysymys "miten ratkaistaan ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö?" voit aina vastata. Samaa mieltä, se on aina mukavaakun ymmärrät sen, mitä ihmiset jopa pelkäävät ymmärtää.
Tärkeimmät oppimisongelmat
Suurin ongelma tämän aiheen ymmärtämisessä on toimintojen integroinnin ja eriyttämisen heikko taito. Jos olet huono ottamaan derivaatat ja integraalit, sinun pitäisi luultavasti oppia lisää, hallita erilaisia integrointi- ja differentiointimenetelmiä ja vasta sitten alkaa tutkia artikkelissa kuvattua materiaalia.
Jotkut ihmiset hämmästyvät, kun he saavat selville, että dx voidaan siirtää, koska aiemmin (koulussa) todettiin, että murto-osa dy/dx on jakamaton. Täällä sinun on luettava derivaatta koskeva kirjallisuus ja ymmärrettävä, että se on äärettömän pienten suureiden suhdetta, jota voidaan manipuloida yhtälöitä ratkaistaessa.
Monet eivät heti tajua, että ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöiden ratkaisu on usein funktio tai integraali, jota ei voida ottaa, ja tämä harhaluulo aiheuttaa heille paljon vaivaa.
Mitä muuta voi tutkia paremman ymmärryksen saamiseksi?
Jatkoa syventyä differentiaalilaskennan maailmaan on parasta aloittaa erikoisoppikirjoilla, esimerkiksi laskennassa ei-matemaattisten erikoisalojen opiskelijoille. Sitten voit siirtyä erikoisempaan kirjallisuuteen.
On sanottava, että differentiaaliyhtälöiden lisäksi on olemassa myös integraaliyhtälöitä, joten sinulla on aina jotain, mihin pyrkiä ja opiskella.
Johtopäätös
Toivomme, että lukemisen jälkeenTämä artikkeli antoi sinulle käsityksen siitä, mitä differentiaaliyhtälöt ovat ja kuinka ne ratkaistaan oikein.
Joka tapauksessa matematiikasta on jotenkin hyötyä meille elämässä. Se kehittää logiikkaa ja huomiokykyä, jota ilman jokainen ihminen on kuin ilman käsiä.
