Jokainen meistä heitti kiviä taivaalle ja katseli niiden putoamisrataa. Tämä on yleisin esimerkki jäykän kappaleen liikkeestä planeettamme gravitaatiovoimien kentässä. Tässä artikkelissa tarkastelemme kaavoja, joista voi olla hyötyä kulmassa horisonttiin heitetyn kappaleen vapaan liikkeen ongelmien ratkaisemisessa.
Konsepti liikkua kohti horisonttia kulmassa
Kun jollekin kiinteälle esineelle annetaan alkunopeus ja se alkaa nousta korkeuteen ja sitten taas putoaa maahan, on yleisesti hyväksyttyä, että keho liikkuu parabolista liikerataa pitkin. Itse asiassa tämän tyyppisen liikkeen yhtälöiden ratkaisu osoittaa, että kappaleen ilmassa kuvaama viiva on osa ellipsiä. Käytännön kann alta parabolinen approksimaatio osoittautuu kuitenkin varsin käteväksi ja johtaa tarkkoihin tuloksiin.
Esimerkkejä horisonttiin nähden kulmassa heitetyn kappaleen liikkeestä ovat ammuksen ampuminen tykin suusta, pallon potkiminen ja jopa kivien hyppiminen veden pinnalle ("rupikonnat"). pidetäänkansainväliset kilpailut.
Kulmassa tapahtuvan liikkeen tyyppiä tutkitaan ballistiikan avulla.
Tarkastelevan liiketyypin ominaisuudet
Kun tarkastelemme kappaleen liikerataa Maan gravitaatiovoimien kentässä, seuraavat väitteet pitävät paikkansa:
- alkukorkeuden, nopeuden ja horisontin kulman tiedossa voit laskea koko lentoradan;
- lähtökulma on yhtä suuri kuin kappaleen tulokulma edellyttäen, että alkukorkeus on nolla;
- pystysuuntaista liikettä voidaan pitää vaakaliikkeestä riippumatta;
Huomaa, että nämä ominaisuudet ovat voimassa, jos kitkavoima kehon lennon aikana on mitätön. Ballistiikassa ammusten lentoa tutkittaessa otetaan huomioon monet erilaiset tekijät, mukaan lukien kitka.
Parabolisen liikkeen tyypit
Seuraavia parabolisen liikkeen tyyppejä erotetaan toisistaan riippuen korkeudesta, josta liike alkaa, mihin korkeuteen se päättyy ja miten alkunopeus on suunnattu:
- Täydellinen paraabeli. Tässä tapauksessa ruumis heitetään pois maan pinn alta ja se putoaa tälle pinnalle kuvaaen täydellistä paraabelia.
- Puolet paraabelista. Tällainen kappaleen liikkeen kuvaaja havaitaan, jos se heitetään tietystä korkeudesta h suuntaamalla nopeus v yhdensuuntaisesti horisontin kanssa, eli kulmassa θ=0o.
- Osa paraabelia. Tällaiset liikeradat syntyvät, kun kappaletta heitetään jossain kulmassa θ≠0o, ja eroalku- ja loppukorkeudet ovat myös nollasta poikkeavat (h-h0≠0). Useimmat objektien liikeradat ovat tämän tyyppisiä. Esimerkiksi laukaus kukkulalla seisovasta tykistä tai koripalloilijan heittäminen koriin.
Yllänä näkyy kuvaaja kappaleen liikkeestä, joka vastaa täyttä paraabelia.
Laskentamiseen tarvittavat kaavat
Annetaan kaavat kuvaamaan horisonttiin nähden kulmassa heitetyn kappaleen liikettä. Kitkavoiman huomioimatta ja vain painovoiman huomioimiseksi voimme kirjoittaa kohteen nopeudelle kaksi yhtälöä:
vx=v0cos(θ)
vy=v0sin(θ) - gt
Koska painovoima on suunnattu pystysuunnassa alaspäin, se ei muuta nopeuden vaakakomponenttia vx, joten ensimmäisessä yhtälössä ei ole aikariippuvuutta. Komponenttiin vy puolestaan vaikuttaa painovoima, mikä antaa g:lle maata kohti suunnatun kiihtyvyyden (siis miinusmerkki kaavassa).
Kirjoitetaan nyt kaavat horisonttiin nähden kulmassa heitetyn kappaleen koordinaattien muuttamiseen:
x=x0+v0cos(θ)t
y=y0+ v0sin(θ)t - gt2 /2
Alkukoordinaatti x0oletetaan usein nollaksi. Koordinaatti y0 ei ole muuta kuin korkeus h, josta kappale heitetään (y0=h).
Ilmoita nyt aika t ensimmäisestä lausekkeesta ja korvaa se toisella, saamme:
y=h + tg(θ)x - g /(2v02cos 2(θ))x2
Tämä geometrian lauseke vastaa paraabelia, jonka haarat on suunnattu alaspäin.
Yllä olevat yhtälöt riittävät määrittämään tämän tyyppisen liikkeen ominaisuudet. Joten heidän ratkaisunsa johtaa siihen, että suurin lentoetäisyys saavutetaan, jos θ=45o, kun taas suurin korkeus, johon heitetty kappale nousee, saavutetaan, kun θ=90o.
