Fourier-muunnos on muunnos, joka vertaa jonkin reaalimuuttujan toimintoja. Tämä toimenpide suoritetaan joka kerta, kun havaitsemme erilaisia ääniä. Korva suorittaa automaattisen "laskennan", jonka tietoisuutemme pystyy suorittamaan vasta tutkittuaan vastaavaa korkeamman matematiikan osaa. Ihmisen kuuloelin rakentaa muodonmuutoksen, jonka seurauksena ääni (ehdollisten hiukkasten värähtelevä liike elastisessa väliaineessa, joka etenee a altomuodossa kiinteässä, nestemäisessä tai kaasumaisessa väliaineessa) saadaan aikaan peräkkäisten arvojen spektrin muodossa. erikorkuisten sävyjen äänenvoimakkuustasosta. Sen jälkeen aivot muuttavat tämän tiedon kaikille tutuksi.
Matemaattinen Fourier-muunnos
Äänia altojen tai muiden värähtelevien prosessien muuntaminen (valosäteilystä ja v altameren vuorovedestä tähtien tai auringon aktiivisuuden sykleiksi) voidaan myös suorittaa matemaattisilla menetelmillä. Joten näitä tekniikoita käyttämällä on mahdollista hajottaa funktioita esittämällä värähteleviä prosesseja sinimuotoisten komponenttien joukona, toisin sanoen a altoilevina käyrinä, jotkamene matal alta korkealle, sitten takaisin matalalle, kuten meren a alto. Fourier-muunnos - muunnos, jonka toiminto kuvaa kunkin tiettyä taajuutta vastaavan sinimuodon vaihetta tai amplitudia. Vaihe on käyrän aloituspiste ja amplitudi on sen korkeus.
Fourier-muunnos (esimerkit näkyvät kuvassa) on erittäin tehokas työkalu, jota käytetään useilla tieteenaloilla. Joissakin tapauksissa sitä käytetään keinona ratkaista melko monimutkaisia yhtälöitä, jotka kuvaavat dynaamisia prosesseja, jotka tapahtuvat valon, lämmön tai sähköenergian vaikutuksesta. Muissa tapauksissa sen avulla voit määrittää monimutkaisten värähtelysignaalien säännölliset komponentit, minkä ansiosta voit tulkita oikein erilaisia kemian, lääketieteen ja tähtitieteen kokeellisia havaintoja.
Historiallista taustaa
Ensimmäinen henkilö, joka käytti tätä menetelmää, oli ranskalainen matemaatikko Jean Baptiste Fourier. Myöhemmin hänen mukaansa nimettyä muunnosa käytettiin alun perin kuvaamaan lämmönjohtavuusmekanismia. Fourier vietti koko aikuisikänsä tutkien lämmön ominaisuuksia. Hän teki v altavan panoksen matemaattiseen teoriaan algebrallisten yhtälöiden juurten määrittämisessä. Fourier oli analyysiprofessori ammattikorkeakoulussa, Egyptin instituutin sihteeri, oli keisarillisen palveluksessa, jossa hän erottui Torinoon johtavan tien rakentamisen aikana (hänen johdollaan yli 80 tuhatta neliökilometriä malariaasuot). Kaikki tämä voimakas toiminta ei kuitenkaan estänyt tiedemiestä tekemästä matemaattista analyysiä. Vuonna 1802 hän johti yhtälön, joka kuvaa lämmön etenemistä kiinteissä aineissa. Vuonna 1807 tiedemies löysi menetelmän tämän yhtälön ratkaisemiseksi, jota kutsuttiin "Fourier-muunnokseksi".
Lämmönjohtavuusanalyysi
Tutkija käytti matemaattista menetelmää kuvaamaan lämmönjohtavuuden mekanismia. Kätevä esimerkki, jossa laskennassa ei ole vaikeuksia, on lämpöenergian eteneminen yhteen osaan upotetun rautarenkaan läpi tulissa. Kokeiden suorittamiseksi Fourier lämmitti osan tästä renkaasta kuumaksi ja hautasi sen hienoon hiekkaan. Sen jälkeen hän mittasi lämpötilan sen toiselta puolelta. Aluksi lämmön jakautuminen on epäsäännöllistä: osa renkaasta on kylmää ja toinen kuumaa, näiden vyöhykkeiden välillä voidaan havaita jyrkkä lämpötilagradientti. Lämmön leviämisen aikana metallin koko pinnalla se kuitenkin muuttuu tasaisemmaksi. Joten pian tämä prosessi ottaa sinusoidin muodon. Aluksi graafi kasvaa tasaisesti ja myös pienenee tasaisesti, täsmälleen kosinin tai sinifunktion muutoslakien mukaisesti. A alto tasoittuu vähitellen ja sen seurauksena lämpötila muuttuu samaksi koko renkaan pinnalla.
Tämän menetelmän kirjoittaja ehdotti, että alkuperäinen epäsäännöllinen jakauma voidaan hajottaa useiksi alkeissiniaaleiksi. Jokaisella niistä on oma vaihe (alkuasento) ja oma lämpötilamaksimi. Lisäksi jokainen tällainen komponentti muuttuu minimistä maksimiin ja takaisin täydellä kierroksella renkaan ympäri kokonaislukumäärän kertoja. Komponenttia, jolla oli yksi jakso, kutsuttiin perusharmoniseksi, ja arvoa, jossa on kaksi tai useampi jakso, kutsuttiin toiseksi ja niin edelleen. Joten lämpötilamaksimia, vaihetta tai paikkaa kuvaavaa matemaattista funktiota kutsutaan jakaumafunktion Fourier-muunnokseksi. Tiedemies pelkisti yksittäisen komponentin, jota on vaikea kuvata matemaattisesti, helppokäyttöiseksi työkaluksi - kosini- ja sinisarjaksi, jotka summaavat alkuperäisen jakauman.
Analysoinnin ydin
Soveltamalla tätä analyysiä lämmön etenemisen muutokseen kiinteän kappaleen läpi, jolla on rengasmainen muoto, matemaatikko päätteli, että sinimuotoisen komponentin jaksojen lisääminen johtaisi sen nopeaan vaimenemiseen. Tämä näkyy selvästi perus- ja toisessa harmonisessa. Jälkimmäisessä lämpötila saavuttaa maksimi- ja vähimmäisarvot kahdesti yhdellä kierrolla ja edellisessä vain kerran. Osoittautuu, että lämmön kattama etäisyys toisessa harmonisessa on puolet perusaallon etäisyydestä. Lisäksi toisessa k altevuus on myös kaksi kertaa jyrkempi kuin ensimmäisessä. Siksi, koska voimakkaampi lämpövirta kulkee kaksi kertaa lyhyemmän matkan, tämä harmoninen vaimenee neljä kertaa nopeammin kuin perusa alto ajan funktiona. Tulevaisuudessa tämä prosessi on vielä nopeampi. Matemaatikko uskoi, että tämän menetelmän avulla voit laskea lämpötilan alkujakauman prosessin ajan kuluessa.
Haaste aikalaisille
Fourier-muunnosalgoritmi haastoi tuolloin matematiikan teoreettiset perusteet. 1800-luvun alussa merkittävimmät tiedemiehet, mukaan lukien Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre ja Biot, eivät hyväksyneet hänen lausuntoaan, jonka mukaan alkuperäinen lämpötilajakauma on hajotettu komponenteiksi perusharmonisten ja korkeampien taajuuksien muodossa. Tiedeakatemia ei kuitenkaan voinut sivuuttaa matemaatikon saamia tuloksia ja myönsi hänelle palkinnon lämmönjohtavuuden lakien teoriasta sekä sen vertaamisesta fysikaalisiin kokeisiin. Fourier'n lähestymistavassa päävastuu oli se, että epäjatkuva funktio on esitetty useiden jatkuvien sinifunktioiden summana. Loppujen lopuksi ne kuvaavat repeytyneitä suoria ja kaarevia linjoja. Tiedemiehen aikalaiset eivät koskaan kohdanneet vastaavaa tilannetta, jossa epäjatkuvia funktioita kuvattiin jatkuvien funktioiden yhdistelmällä, kuten neliöllinen, lineaarinen, sinimuotoinen tai eksponentiaalinen. Siinä tapauksessa, että matemaatikko oli väitteissään oikeassa, trigonometrisen funktion äärettömän sarjan summa tulisi vähentää täsmällisesti askelittain. Tuolloin tällainen lausunto vaikutti absurdilta. Epäilyksistä huolimatta jotkut tutkijat (esim. Claude Navier, Sophie Germain) ovat kuitenkin laajentaneet tutkimuksen alaa ja vienneet ne lämpöenergian jakautumisen analyysin ulkopuolelle. Samaan aikaan matemaatikot kamppailivat edelleen kysymyksen kanssa siitä, voidaanko useiden sinimuotoisten funktioiden summa pelkistää epäjatkuvan funktion tarkkaan esitykseen.
200 vuotta vanhahistoria
Tämä teoria on kehittynyt kahden vuosisadan aikana, nyt se on vihdoin muodostunut. Sen avulla spatiaaliset tai ajalliset toiminnot jaetaan sinimuotoisiin komponentteihin, joilla on oma taajuus, vaihe ja amplitudi. Tämä muunnos saadaan kahdella eri matemaattisella menetelmällä. Ensimmäistä niistä käytetään, kun alkuperäinen funktio on jatkuva, ja toista - kun sitä edustaa joukko erillisiä yksittäisiä muutoksia. Jos lauseke saadaan arvoista, jotka määritetään diskreettien välien avulla, se voidaan jakaa useisiin sinimuotoisiin lausekkeisiin, joilla on diskreetit taajuudet - alimmasta ja sitten kahdesti, kolme kertaa ja niin edelleen korkeammalla kuin pää. Tällaista summaa kutsutaan Fourier-sarjaksi. Jos alkulausekkeelle annetaan arvo jokaiselle reaaliluvulle, se voidaan jakaa useiksi sinimuotoisiksi kaikista mahdollisista taajuuksista. Sitä kutsutaan yleisesti Fourier-integraaliksi, ja ratkaisu sisältää funktion integraalimuunnoksia. Riippumatta siitä, miten muunnos saadaan, kullekin taajuudelle on määritettävä kaksi numeroa: amplitudi ja taajuus. Nämä arvot ilmaistaan yhtenä kompleksilukuna. Monimutkaisten muuttujien lausekkeiden teoria yhdessä Fourier-muunnoksen kanssa mahdollisti laskelmien suorittamisen erilaisten sähköpiirien suunnittelussa, mekaanisten värähtelyjen analysoinnissa, aallon etenemismekanismin tutkimuksessa ja paljon muuta.
Fourier-muunnos tänään
Tänä päivänä tämän prosessin tutkiminen on rajoittunut pääasiassa tehokkaan löytämiseensiirtymämenetelmät funktiosta sen muunnetussa muodossa ja päinvastoin. Tätä ratkaisua kutsutaan suoraksi ja käänteiseksi Fourier-muunnokseksi. Mitä se tarkoittaa? Integraalin määrittämiseksi ja suoran Fourier-muunnoksen tuottamiseksi voidaan käyttää matemaattisia tai analyyttisiä menetelmiä. Huolimatta siitä, että tiettyjä vaikeuksia niiden käytössä syntyy käytännössä, useimmat integraalit on jo löydetty ja sisällytetty matemaattisiin hakuteoksiin. Numeeristen menetelmien avulla voidaan laskea lausekkeita, joiden muoto perustuu kokeelliseen tietoon, tai funktioita, joiden integraalit eivät ole saatavilla taulukoissa ja joita on vaikea esittää analyyttisessä muodossa.
Ennen tietokoneiden tuloa tällaisten muunnosten laskeminen oli erittäin työlästä, ne vaativat useiden aritmeettisten operaatioiden manuaalista suorittamista, mikä riippui a altofunktiota kuvaavien pisteiden lukumäärästä. Laskelmien helpottamiseksi nykyään on olemassa erityisiä ohjelmia, jotka ovat mahdollistaneet uusien analyyttisten menetelmien käyttöönoton. Joten vuonna 1965 James Cooley ja John Tukey loivat ohjelmiston, joka tunnettiin nimellä "Fast Fourier Transform". Sen avulla voit säästää aikaa laskelmiin vähentämällä kertolaskujen määrää käyrän analysoinnissa. Nopea Fourier-muunnosmenetelmä perustuu käyrän jakamiseen suureen määrään yhtenäisiä näytearvoja. Vastaavasti kertolaskujen määrä puolitetaan samalla pistemäärän vähennyksellä.
Fourier-muunnoksen käyttäminen
TämäProsessia käytetään useilla tieteenaloilla: lukuteoriassa, fysiikassa, signaalinkäsittelyssä, kombinatoriikassa, todennäköisyysteoriassa, kryptografiassa, tilastotiedoissa, oceanologiassa, optiikassa, akustiikassa, geometriassa ja muissa. Sen runsaat käyttömahdollisuudet perustuvat useisiin hyödyllisiin ominaisuuksiin, joita kutsutaan "Fourier-muunnosominaisuuksiksi". Harkitse niitä.
1. Funktiomuunnos on lineaarinen operaattori ja sopivalla normalisoinnilla on unitaarinen. Tämä ominaisuus tunnetaan Parsevalin lauseena tai yleisesti Plancherelin lauseena tai Pontryaginin dualismina.
2. Muutos on palautuva. Lisäksi käänteisellä tuloksella on melkein sama muoto kuin suorassa ratkaisussa.
3. Sinimuotoiset kantalausekkeet ovat omia differentioituja funktioita. Tämä tarkoittaa, että tällainen esitys muuttaa lineaariset yhtälöt vakiokertoimella tavallisiksi algebrallisiksi yhtälöiksi.
4. "Konvoluutio"-lauseen mukaan tämä prosessi muuttaa kompleksisen operaation alkeiskertolaskuksi.
5. Diskreetti Fourier-muunnos voidaan laskea nopeasti tietokoneella "nopealla" menetelmällä.
Fourier-muunnoksen lajikkeet
1. Useimmiten tätä termiä käytetään tarkoittamaan jatkuvaa muunnosa, joka tarjoaa minkä tahansa neliöintegroitavan lausekkeen monimutkaisten eksponentiaalisten lausekkeiden summana, joilla on tietyt kulmataajuudet ja amplitudit. Tällä lajilla on useita eri muotoja, jotka voivateroavat vakiokertoimilla. Jatkuva menetelmä sisältää muunnostaulukon, joka löytyy matemaattisista hakuteoista. Yleistetty tapaus on murtolukumuunnos, jonka avulla annettu prosessi voidaan nostaa vaadittuun todelliseen tehoon.
2. Jatkuva tila on yleistys Fourier-sarjan varhaisesta tekniikasta, joka on määritelty erilaisille jaksollisille funktioille tai lausekkeille, jotka ovat olemassa rajoitetulla alueella ja edustavat niitä sinia altosarjoina.
3. Diskreetti Fourier-muunnos. Tätä menetelmää käytetään tietotekniikassa tieteellisiin laskelmiin ja digitaaliseen signaalinkäsittelyyn. Tämän tyyppisen laskennan suorittamiseksi tarvitaan funktioita, jotka määrittävät yksittäisiä pisteitä, jaksollisia tai rajattuja alueita diskreetissä joukossa jatkuvien Fourier-integraalien sijaan. Signaalimuunnos esitetään tässä tapauksessa sinia altojen summana. Samalla "nopea"-menetelmän käyttö mahdollistaa diskreettien ratkaisujen soveltamisen kaikkiin käytännön ongelmiin.
4. Ikkunallinen Fourier-muunnos on klassisen menetelmän yleistetty muoto. Toisin kuin standardiratkaisussa, kun käytetään signaalispektriä, joka otetaan tietyn muuttujan koko olemassaolon alueella, tässä vain paikallinen taajuusjakauma on erityisen kiinnostava, edellyttäen että alkuperäinen muuttuja (aika) säilyy..
5. Kaksiulotteinen Fourier-muunnos. Tätä menetelmää käytetään työskentelyyn kaksiulotteisten tietotaulukoiden kanssa. Tässä tapauksessa muunnos suoritetaan ensin yhteen suuntaan ja sitten sisäänmuu.
Johtopäätös
Tänään Fourier-menetelmä on juurtunut lujasti eri tieteenaloihin. Esimerkiksi vuonna 1962 DNA:n kaksoiskierteen muoto löydettiin käyttämällä Fourier-analyysiä yhdistettynä röntgendiffraktioon. Jälkimmäiset keskittyivät DNA-kuitujen kiteisiin, minkä seurauksena säteilyn diffraktiolla saatu kuva tallennettiin filmille. Tämä kuva antoi tietoa amplitudin arvosta käytettäessä Fourier-muunnosta tiettyyn kiderakenteeseen. Vaihetiedot saatiin vertaamalla DNA:n diffraktiokarttaa karttoihin, jotka saatiin samanlaisten kemiallisten rakenteiden analysoinnista. Tämän seurauksena biologit ovat palauttaneet kiderakenteen - alkuperäisen tehtävän.
Fourier-muunnoksilla on v altava rooli avaruuden, puolijohde- ja plasmafysiikan, mikroa altouunien akustiikan, merentutkimuksen, tutkan, seismologian ja lääketieteellisten tutkimusten tutkimuksessa.
