Yksi geometrian aksioomista sanoo, että minkä tahansa kahden pisteen kautta on mahdollista piirtää yksi suora. Tämä aksiooma todistaa, että on olemassa ainutlaatuinen numeerinen lauseke, joka kuvaa yksilöllisesti määritellyn yksiulotteisen geometrisen objektin. Mieti artikkelissa kysymystä kahden pisteen läpi kulkevan suoran yhtälön kirjoittamisesta.
Mikä on piste ja suora?
Ennen kuin harkitaan kysymystä eri pisteiden läpi kulkevan yhtälön suoran rakentamisesta avaruudessa ja tasossa, on määriteltävä tietyt geometriset objektit.
Piste määräytyy yksilöllisesti koordinaattijoukon perusteella tietyssä koordinaattiakselijärjestelmässä. Niiden lisäksi pisteelle ei ole muita ominaisuuksia. Hän on nollaulotteinen esine.
Kun puhutaan suorasta viivasta, jokainen ihminen kuvittelee viivan, joka on kuvattu valkoisella paperiarkilla. Samalla on mahdollista antaa tarkka geometrinen määritelmätämä esine. Suora on sellainen pisteiden kokoelma, joille kunkin niiden yhdistäminen kaikkiin muihin muodostaa joukon rinnakkaisia vektoreita.
Tätä määritelmää käytetään asetettaessa suoran vektoriyhtälöä, jota käsitellään alla.
Koska mikä tahansa viiva voidaan merkitä mieliv altaisen pituisella segmentillä, sen sanotaan olevan yksiulotteinen geometrinen esine.
Numerovektorifunktio
Yhtälö kulkevan suoran kahden pisteen kautta voidaan kirjoittaa eri muodoissa. Kolmiulotteisissa ja kaksiulotteisissa tiloissa tärkein ja intuitiivisesti ymmärrettävä numeerinen lauseke on vektori.
Oletetaan, että on olemassa jokin suunnattu segmentti u¯(a; b; c). 3D-avaruudessa vektori u¯ voi alkaa mistä tahansa pisteestä, joten sen koordinaatit määrittelevät äärettömän joukon rinnakkaisia vektoreita. Jos kuitenkin valitsemme tietyn pisteen P(x0; y0; z0) ja laitamme se on vektorin u¯ alku, jolloin kertomalla tämä vektori mieliv altaisella reaaliluvulla λ voidaan saada kaikki yhden suoran pisteet avaruudessa. Eli vektoriyhtälö kirjoitetaan seuraavasti:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Ilmeisesti, jos kyseessä on taso, numeerinen funktio saa muotoa:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Tämän tyyppisen yhtälön etu verrattuna muihin (segmentteihin, kanonisiin,yleinen muoto) on siinä, että se sisältää eksplisiittisesti suuntavektorin koordinaatit. Jälkimmäistä käytetään usein määrittämään, ovatko suorat yhdensuuntaiset vai kohtisuorat.
Yleistä segmenteissä ja kanoninen funktio suoralle kaksiulotteisessa avaruudessa
Ongelmia ratkottaessa on joskus kirjoitettava kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö tietyssä, tietyssä muodossa. Siksi on syytä antaa muita tapoja määrittää tämä geometrinen objekti kaksiulotteisessa avaruudessa (yksinkertaisuuden vuoksi tarkastelemme tapausta tasossa).
Aloitetaan yleisestä yhtälöstä. Sen muoto on:
Ax + By + C=0
Yleensä tasossa suoran yhtälö kirjoitetaan tässä muodossa, vain y on eksplisiittisesti määritelty x:n kautta.
Muuta nyt yllä oleva lauseke seuraavasti:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Tätä lauseketta kutsutaan segmenteissä olevaksi yhtälöksi, koska kunkin muuttujan nimittäjä osoittaa, kuinka kauan jana leikkaa vastaavalla koordinaattiakselilla suhteessa aloituspisteeseen (0; 0).
On vielä annettava esimerkki kanonisesta yhtälöstä. Tätä varten kirjoitamme vektoriyhtälön eksplisiittisesti:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Ilmoita parametri λ tästä ja yhtälöidään tuloksena olevat yhtälöt:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Viimeistä yhtälöä kutsutaan yhtälöksi kanonisessa tai symmetrisessä muodossa.
Jokainen niistä voidaan muuntaa vektoriksi ja päinvastoin.
Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö: käännöstekniikka
Takaisin artikkelin kysymykseen. Oletetaan, että avaruudessa on kaksi pistettä:
M(x1; y1; z1) ja N(x 2; y2; z2)
Niiden läpi kulkee ainoa suora, jonka yhtälö on erittäin helppo muodostaa vektorimuotoon. Tätä varten laskemme suunnatun segmentin MN¯ koordinaatit, meillä on:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Ei ole vaikea arvata, että tämä vektori ohjaa suoraa, jonka yhtälö on hankittava. Kun tiedät, että se kulkee myös M:n ja N:n kautta, voit käyttää minkä tahansa koordinaatteja vektorilausekkeessa. Sitten haluttu yhtälö saa muotoa:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Kaksiulotteisen avaruuden tapauksessa saadaan samanlainen yhtäläisyys ilman muuttujan z osallistumista.
Heti kun rivin vektoriyhtälö on kirjoitettu, se voidaan kääntää mihin tahansa muuhun ongelman kysymyksen vaatimaan muotoon.
Tehtävä:kirjoita yleinen yhtälö
Tiedetään, että suora kulkee pisteiden läpi, joiden koordinaatit (-1; 4) ja (3; 2). On tarpeen muodostaa niiden läpi kulkevan suoran yhtälö yleisessä muodossa, joka ilmaisee y:n muodossa x.
Ongelman ratkaisemiseksi kirjoitamme ensin yhtälön vektorimuodossa. Vektorin (opas) koordinaatit ovat:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Silloin suoran yhtälön vektorimuoto on seuraava:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Se tulee kirjoittaa yleismuodossa muodossa y(x). Kirjoitamme tämän yhtälön uudelleen eksplisiittisesti, ilmaisemme parametrin λ ja suljemme sen pois yhtälöstä:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
Saadusta kanonisesta yhtälöstä ilmaisemme y:n ja tulemme vastaukseen ongelman kysymykseen:
y=-0,5x + 3,5
Tämän yhtälön pätevyys voidaan tarkistaa korvaamalla tehtävälausekkeessa määritettyjen pisteiden koordinaatit.
Ongelma: suora viiva, joka kulkee janan keskustan läpi
Ratkaistaan nyt yksi mielenkiintoinen ongelma. Oletetaan, että on annettu kaksi pistettä M(2; 1) ja N(5; 0). Tiedetään, että suora kulkee pisteitä yhdistävän janan keskipisteen läpi ja on kohtisuorassa siihen nähden. Kirjoita janan keskikohdan läpi kulkevan suoran yhtälö vektorimuodossa.
Haluttu numeerinen lauseke voidaan muodostaa laskemalla tämän keskipisteen koordinaatti ja määrittämällä suuntavektori, jokasegmentti muodostaa kulman 90o.
Janan keskipiste on:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Lasketaan nyt vektorin MN¯ koordinaatit:
MN¯=N - M=(3; -1)
Koska halutun suoran suuntavektori on kohtisuorassa MN¯:n suhteen, niiden skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla. Tämän avulla voit laskea ohjausvektorin tuntemattomat koordinaatit (a; b):
a3 - b=0=>
b=3a
Kirjoita nyt vektoriyhtälö:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Tässä olemme korvanneet tuotteen aλ uudella parametrilla β.
Olemme siis tehneet janan keskustan läpi kulkevan suoran yhtälön.
