Fysiikassa pyörivien kappaleiden tai tasapainossa olevien järjestelmien ongelmien tarkastelu suoritetaan käyttämällä "voimamomentin" käsitettä. Tässä artikkelissa tarkastellaan voimamomentin kaavaa sekä sen käyttöä tämäntyyppisten ongelmien ratkaisemiseen.
Voiman hetki fysiikassa
Kuten johdannossa todettiin, tämä artikkeli keskittyy järjestelmiin, jotka voivat pyöriä joko akselin tai pisteen ympäri. Harkitse esimerkkiä tällaisesta mallista, joka näkyy alla olevassa kuvassa.
Näemme, että harmaa vipu on kiinnitetty pyörimisakseliin. Vivun päässä on jonkinasteinen musta kuutio, johon voima vaikuttaa (punainen nuoli). On intuitiivisesti selvää, että tämän voiman tuloksena on vivun pyöriminen akselin ympäri vastapäivään.
Voimamomentti on fysiikan suure, joka on yhtä suuri kuin kiertoakselin ja voiman kohdistamispisteen yhdistävän säteen (kuvassa vihreä vektori) ja ulkoisen voiman vektoritulo itse. Eli akselin ympärillä olevan voiman momentin kaava kirjoitetaanseuraavasti:
M¯=r¯F¯
Tämän tuotteen tulos on vektori M¯. Sen suunta määräytyy kertojavektoreiden eli r¯ ja F¯ tuntemisen perusteella. Ristitulon määritelmän mukaan M¯:n on oltava kohtisuorassa vektorien r¯ ja F¯ muodostamaan tasoon nähden ja suunnattu oikean käden säännön mukaisesti (jos oikean käden neljä sormea asetetaan ensimmäisellä kerrotulla sormella vektori toisen loppua kohti, niin peukalo osoittaa minne haluttu vektori on suunnattu). Kuvasta näet mihin vektori M¯ on suunnattu (sininen nuoli).
Skalaarimerkintä M¯
Edellisen kappaleen kuvassa voima (punainen nuoli) vaikuttaa vipuun 90° kulmassao. Yleisessä tapauksessa sitä voidaan käyttää täysin missä tahansa kulmassa. Harkitse alla olevaa kuvaa.
Tässä nähdään, että voima F vaikuttaa jo vipuun L tietyssä kulmassa Φ. Tässä järjestelmässä kaava voimamomentille suhteessa pisteeseen (näkyy nuolella) skalaarimuodossa on muotoa:
M=LFsin(Φ)
Laukeesta seuraa, että voimamomentti M on sitä suurempi, mitä lähempänä voiman F vaikutussuunta on kulmaa 90o suhteessa L Päinvastoin, jos F vaikuttaa L:tä pitkin, niin sin(0)=0 ja voima ei luo momenttia (M=0).
Kun tarkastellaan voimamomenttia skalaarimuodossa, käytetään usein käsitettä "voimavipu". Tämä arvo on akselin välinen etäisyys (pistekierto) ja vektori F. Sovellettaessa tätä määritelmää yllä olevaan kuvaan voidaan sanoa, että d=Lsin(Φ) on voiman vipu (yhtälö seuraa trigonometrisen funktion "sini" määritelmästä). Voiman vivun avulla hetken M kaava voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:
M=dF
M:n fyysinen merkitys
Tarkasteltu fysikaalinen suure määrittää ulkoisen voiman F kyvyn kohdistaa kiertovaikutus järjestelmään. Kehon saattamiseksi kiertoliikkeeseen on tarpeen ilmoittaa sille jokin hetki M.
Erinomainen esimerkki tästä prosessista on huoneen oven avaaminen tai sulkeminen. Pitämällä kahvasta kiinni, henkilö ponnistelee ja kääntää oven saranoillaan. Jokainen voi tehdä sen. Jos yrität avata oven toimimalla siihen lähellä saranoita, sinun on ponnisteltava suuresti sen siirtämiseksi.
Toinen esimerkki on mutterin löysääminen jakoavaimella. Mitä lyhyempi tämä avain on, sitä vaikeampi tehtävän suorittaminen on.
Nämä ominaisuudet osoitetaan olkapään ylittävän voimamomentin kaavalla, joka annettiin edellisessä kappaleessa. Jos M katsotaan vakioarvoksi, niin mitä pienempi d, sitä suurempaa F on käytettävä tietyn voimamomentin luomiseksi.
Useita vaikuttavia voimia järjestelmässä
Yllä tarkasteltiin tapauksia, joissa vain yksi voima F vaikuttaa pyörimään kykenevään järjestelmään, mutta entä jos tällaisia voimia on useita? Tämä tilanne on todellakin yleisempi, koska voimat voivat vaikuttaa järjestelmääneri luonne (painovoima, sähköinen, kitka, mekaaninen ja muut). Kaikissa näissä tapauksissa tuloksena oleva voimamomentti M¯ voidaan saada käyttämällä kaikkien momenttien Mi¯ vektorisummaa, eli:
M¯=∑i(Mi¯), missä i on vahvuusluku Fi
Momenttien additiivisuuden ominaisuudesta seuraa tärkeä johtopäätös, jota kutsutaan Varignonin lauseeksi ja joka on nimetty 1600-luvun lopun - 1700-luvun alun matemaatikon - ranskalaisen Pierre Varignonin mukaan. Siinä lukee: "Kaikkien tarkasteltavaan järjestelmään vaikuttavien voimien momenttien summa voidaan esittää yhden voiman momenttina, joka on yhtä suuri kuin kaikkien muiden summa ja jota sovelletaan tiettyyn pisteeseen." Matemaattisesti lause voidaan kirjoittaa seuraavasti:
∑i(Mi¯)=M¯=d∑i (Fi¯)
Tätä tärkeää lausetta käytetään usein käytännössä kappaleiden kiertoon ja tasapainoon liittyvien ongelmien ratkaisemiseen.
Toimiiko voiman hetki?
Analysoimalla yllä olevia kaavoja skalaari- tai vektorimuodossa, voimme päätellä, että M:n arvo on työlästä. Itse asiassa sen mitta on Nm, joka SI:ssä vastaa joulea (J). Itse asiassa voimamomentti ei ole työ, vaan vain määrä, joka pystyy tekemään sen. Jotta tämä tapahtuisi, järjestelmässä on oltava ympyräliike ja pitkäaikainen toiminta M. Siksi voimamomentin työskentelykaava kirjoitetaan seuraavasti:
A=Mθ
BTässä lausekkeessa θ on kulma, jonka läpi kierto tapahtui voimamomentilla M. Tämän seurauksena työn yksikkö voidaan kirjoittaa muodossa Nmrad tai Jrad. Esimerkiksi arvo 60 Jrad osoittaa, että kun sitä kierretään 1 radiaanilla (noin 1/3 ympyrästä), voima F, joka luo hetken M, joka teki 60 joulea työtä. Tätä kaavaa käytetään usein ratkaistaessa ongelmia järjestelmissä, joissa kitkavoimat vaikuttavat, kuten alla esitetään.
Voiman ja vauhdin momentti
Kuten näkyy, hetken M vaikutus järjestelmään johtaa pyörivän liikkeen esiintymiseen siinä. Jälkimmäiselle on ominaista määrä nimeltä "vauhti". Se voidaan laskea kaavalla:
L=Iω
Tässä I on hitausmomentti (arvo, jolla on sama rooli pyörimisessä kuin massalla kappaleen lineaarisessa liikkeessä), ω on kulmanopeus, se on suhteessa lineaarinopeuteen kaavalla ω=v/r.
Molemmat hetket (vauhti ja voima) liittyvät toisiinsa seuraavalla lausekkeella:
M=Iα, missä α=dω / dt on kulmakiihtyvyys.
Annetaan toinen kaava, joka on tärkeä ongelmien ratkaisemiseksi voimamomenttien toiminnan kann alta. Tämän kaavan avulla voit laskea pyörivän kappaleen kineettisen energian. Hän näyttää tältä:
Ek=1/2Iω2
Seuraavaksi esittelemme kaksi ongelmaa ratkaisuineen, joissa näytämme, kuinka harkittuja fyysisiä kaavoja käytetään.
Useiden kappaleiden tasapaino
Ensimmäinen tehtävä liittyy järjestelmän tasapainoon, jossa useat voimat vaikuttavat. KäytössäAlla oleva kuva esittää järjestelmää, johon vaikuttaa kolme voimaa. On tarpeen laskea, minkä massan esine on ripustettava tästä vivusta ja missä vaiheessa se on tehtävä, jotta tämä järjestelmä on tasapainossa.
Tehtävän ehdoista voidaan ymmärtää, että sen ratkaisemiseksi tulee käyttää Varignonin lausetta. Ongelman ensimmäiseen osaan voidaan vastata välittömästi, koska vipuun ripustettavan esineen paino on:
P=F1 - F2 + F3=20 - 10 + 25=35 H
Tässä olevat merkit on valittu ottaen huomioon, että vipua vastapäivään kiertävä voima luo negatiivisen momentin.
Pisteen d sijainti, johon tämä paino tulee ripustaa, lasketaan kaavalla:
M1 - M2 + M3=dP=720 - 510 + 325=d35=> d=165/35=4, 714 m
Huomaa, että painovoimamomentin kaavalla laskettiin kolmen voiman synnyttämän arvon M ekvivalenttiarvo. Jotta järjestelmä olisi tasapainossa, on tarpeen ripustaa 35 N painava kappale pisteeseen 4, 714 m akselista vivun toiselle puolelle.
Levyn siirtoongelma
Seuraavan ongelman ratkaisu perustuu kitkavoiman momentin ja pyörimiskappaleen liike-energian kaavan käyttöön. Tehtävä: Annettu kiekko, jonka säde on r=0,3 metriä ja joka pyörii nopeudella ω=1 rad/s. On tarpeen laskea kuinka pitkälle se voi kulkea pinnalla, jos vierintäkitkakerroin on Μ=0,001.
Tämä ongelma on helpoin ratkaista, jos käytät energian säilymisen lakia. Meillä on levyn alkuperäinen kineettinen energia. Kun se alkaa rullata, kaikki tämä energia kuluu pinnan lämmittämiseen kitkavoiman vaikutuksesta. Kun molemmat suureet rinnastetaan, saadaan lauseke:
Iω2/2=ΜN/rrθ
Kaavan ensimmäinen osa on levyn kineettinen energia. Toinen osa on kiekon reunaan kohdistetun kitkavoiman momentin F=ΜN/r työ (M=Fr).
Oten huomioon, että N=mg ja I=1/2mr2, laskemme θ:
θ=mr2 ω2/(4Μmg)=r 2 ω2/(4Μ g)=0, 32 1 2/(40,0019,81)=2,29358 rad
Koska 2pi radiaania vastaa 2pir:n pituutta, saadaan, että vaadittu etäisyys, jonka levy kattaa, on:
s=θr=2,293580,3=0,688 m tai noin 69 cm
Huomaa, että levyn massa ei vaikuta tähän tulokseen.
