Kosinin derivaatta löytyy analogisesti sinin derivaatan kanssa, todistuksen perusta on funktion rajan määrittely. Voit käyttää toista menetelmää käyttämällä trigonometrisiä pelkistyskaavoja kulmien kosinille ja sinille. Ilmaise yksi funktio toisella - kosini sinillä ja erottele sini monimutkaisen argumentin avulla.
Harkitse ensimmäistä esimerkkiä kaavan (Cos(x)) johtamisesta'
Anna merkityksettömän pieni lisäys Δx funktion y=Cos(x) argumentille x. Argumentin х+Δх uudella arvolla saadaan funktiolle Cos(х+Δх) uusi arvo. Tällöin funktion lisäys Δy on yhtä suuri kuin Cos(х+Δx)-Cos(x).
Funktion inkrementin suhde Δх:hen on: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Suoritetaan identtiset muunnokset tuloksena olevan murtoluvun osoittajassa. Muista kaava kulmien kosinien erolle, tuloksena on tulo -2Sin (Δx / 2) kertaa Sin (x + Δx / 2). Löydämme tämän tuotteen osamäärän lim rajan arvolla Δx, koska Δx pyrkii nollaan. Tiedetään, että ensimmäinen(tätä kutsutaan ihanaksi) raja lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) on yhtä suuri kuin 1 ja raja -Sin(x+Δx/2) on yhtä suuri kuin -Sin(x) Δx:nä pyrkii nollaan. Kirjoita tulos muistiin: (Cos(x))' derivaatta on yhtä suuri kuin - Sin(x).
Jotkut suosivat toista tapaa johtaa sama kaava
Trigonometriasta tiedetään: Cos(x) on yhtä kuin Sin(0, 5 ∏-x), samoin Sin(x) on yhtä suuri kuin Cos(0, 5 ∏-x). Sitten erotetaan kompleksifunktio - lisäkulman sini (kosinin x sijasta).
Saamme tulon Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', koska sinin x derivaatta on yhtä suuri kuin kosini X. Siirrytään toiseen kaavaan Sin(x)=Cos(0.5 ∏-x) korvattaessa kosini sinillä, ottaen huomioon, että (0.5 ∏-x)'=-1. Nyt saadaan -Sin(x). Joten, kosinin derivaatta löytyy, y'=-Sin(x) funktiolle y=Cos(x).
Neliön kosinijohdannainen
Yleisesti käytetty esimerkki, jossa käytetään kosinijohdannaista. Funktio y=Cos2(x) on vaikea. Etsitään ensin potenssifunktion differentiaali eksponentin 2 kanssa, se on 2·Cos(x), sitten kerrotaan se derivaatalla (Cos(x))', joka on yhtä suuri kuin -Sin(x). Saamme y'=-2 Cos(x) Sin(x). Kun käytämme kaavaa Sin(2x), kaksoiskulman siniä, saamme lopullisen yksinkertaistetunvastauksen y'=-Sin(2x)
Hyperboliset funktiot
Niitä käytetään monien teknisten tieteenalojen tutkimuksessa: esimerkiksi matematiikassa ne helpottavat integraalien laskemista, differentiaaliyhtälöiden ratkaisua. Ne ilmaistaan trigonometrisinä funktioina kuvitteellisilla funktioillaargumentti, joten hyperbolinen kosini ch(x)=Cos(i x), missä i on imaginaariyksikkö, hyperbolinen sini sh(x)=Sin(i x).
Hyperbolisen kosinin derivaatta lasketaan melko yksinkertaisesti.
Otetaan huomioon funktio y=(ex+e-x) /2, tämä ja on hyperbolinen kosini ch(x). Käytämme sääntöä kahden lausekkeen summan derivaatan löytämiseen, sääntöä vakiotekijän (Const) poistamiseksi derivaatan etumerkistä. Toinen termi 0,5 e-x on kompleksifunktio (sen derivaatta on -0,5 e-x), 0,5 eх – ensimmäinen lukukausi. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' voidaan kirjoittaa toisella tavalla: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, koska johdannainen (e - x)' on -1 kertaa e-x. Tuloksena on ero, ja tämä on hyperbolinen sini sh(x).Tulostulo: (ch(x))'=sh(x).
Katsotaanpa esimerkkiä kuinka laske funktion derivaatta y=ch(x
3+1).Hyperbolisen kosinidifferentiointisäännön mukaan kompleksiargumentilla y'=sh(x
3+1) (x 3+1)', jossa (x3+1)'=3 x 2+0. Vastaus: tämän funktion johdannainen on 3 x
2sh(x3+1).
Osattujen funktioiden taulukkojohdannaiset y=ch(x) ja y=Cos(x)
Esimerkkejä ratkaistaessa niitä ei tarvitse joka kerta erotella ehdotetun kaavion mukaan, riittää, kun käytät päättelyä.
Esimerkki. Erota funktio y=Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Helppo laskea (käytä taulukkotietoja), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
