Geometria on matematiikan haara, joka tutkii avaruuden rakenteita ja niiden välisiä suhteita. Se vuorostaan koostuu myös osista, ja yksi niistä on stereometria. Se mahdollistaa avaruudessa sijaitsevien tilavuushahmojen ominaisuuksien tutkimisen: kuutio, pyramidi, pallo, kartio, sylinteri jne.
Kartio on kappale euklidisessa avaruudessa, joka rajaa kartiomaisen pinnan ja tason, jolla sen generaattorien päät sijaitsevat. Sen muodostuminen tapahtuu suorakulmaisen kolmion pyörimisprosessissa minkä tahansa sen jalan ympärillä, joten se kuuluu vallankumouskappaleisiin.
Kartiokomponentit
Seuraavat kartiotyypit erotetaan toisistaan: vino (tai vino) ja suora. Vino on se, jonka akseli leikkaa kantansa keskipisteen ei suorassa kulmassa. Tästä syystä tällaisen kartion korkeus ei ole sama kuin akseli, koska se on segmentti, joka lasketaan rungon yläosasta tasolleenpohja 90°.
Sitä kartiota, jonka akseli on kohtisuorassa kantaansa vastaan, kutsutaan suoraksi kartioksi. Tällaisen geometrisen kappaleen akseli ja korkeus ovat samat, koska siinä oleva kärki sijaitsee pohjan halkaisijan keskikohdan yläpuolella.
Kartio koostuu seuraavista elementeistä:
- Ympyrä, joka on sen perusta.
- Side.
- Piste, joka ei ole pohjan tasossa, jota kutsutaan kartion huipuksi.
- Segmentit, jotka yhdistävät geometrisen kappaleen pohjan ympyrän pisteet sen huipulle.
Kaikki nämä segmentit ovat kartion generatriceja. Ne ovat vinossa geometrisen kappaleen kantaan nähden, ja suoran kartion tapauksessa niiden projektiot ovat yhtä suuret, koska kärki on yhtä kaukana perusympyrän pisteistä. Siten voimme päätellä, että säännöllisessä (suorassa) kartiossa generaattorit ovat yhtä suuret, eli niillä on sama pituus ja ne muodostavat samat kulmat akselin (tai korkeuden) ja kannan kanssa.
Koska vinossa (tai k altevassa) kiertokappaleessa kärki on siirtynyt suhteessa perustason keskipisteeseen, tällaisen kappaleen generaattoreiden pituudet ja projektiot ovat erilaiset, koska jokainen niistä on eri etäisyydellä mistä tahansa kahdesta kantaympyrän pisteestä. Lisäksi niiden väliset kulmat ja kartion korkeus ovat myös erilaiset.
Generaattorien pituus oikeassa kartiossa
Kuten aiemmin kirjoitettu, korkeus suorassa geometrisessa pyörimiskappaleessa on kohtisuorassa kannan tasoon nähden. Siten kannan generatriisi, korkeus ja säde muodostavat kartioon suorakulmaisen kolmion.
Toisin sanoen, kun tiedät kannan säteen ja korkeuden, Pythagoraan lauseen kaavan avulla voit laskea generatriisin pituuden, joka on yhtä suuri kuin kantasäteen neliöiden summa ja korkeus:
l2 =r2+ h2 tai l=√r 2 + h2
jossa l on generatrix;
r – säde;
h – korkeus.
Generatiivinen vinossa kartiossa
Sen perusteella, että vinossa tai vinossa kartiossa generaattorit eivät ole saman pituisia, niitä ei voida laskea ilman lisärakenteita ja laskelmia.
Ensinnäkin sinun on tiedettävä korkeus, akselin pituus ja pohjan säde.
Näillä tiedoilla voit laskea akselin ja korkeuden välissä olevan säteen osan Pythagoraan lauseen kaavalla:
r1=√k2 - h2
jossa r1 on akselin ja korkeuden välinen osa säteestä;
k – akselin pituus;
h – korkeus.
Kun lisäät säteen (r) ja sen akselin ja korkeuden välissä olevan osan (r1), saat selville oikean puolen koko puolen. kolmio, jonka muodostaa kartion generatriksi, sen korkeus- ja halkaisijaosa:
R=r + r1
jossa R on kolmion jalka, jonka muodostavat pohjan korkeus, generatrix ja osa halkaisijasta;
r – perussäde;
r1 – osa akselin ja korkeuden välistä sätettä.
Käyttäen samaa Pythagoran lauseen kaavaa, voit selvittää kartion generaattorin pituuden:
l=√h2+ R2
tai laskematta R:tä erikseen, yhdistä nämä kaksi kaavaa yhdeksi:
l=√h2 + (r + r1)2.
Huolimatta siitä, onko kyseessä suora vai vino kartio ja millaisia syöttötietoja, kaikki menetelmät generatriisin pituuden löytämiseksi päätyvät aina yhteen tulokseen - Pythagoran lauseen käyttöön.
Kartioosa
Kartion aksiaalinen leikkaus on taso, joka kulkee sen akselia tai korkeutta pitkin. Suorassa kartiossa tällainen leikkaus on tasakylkinen kolmio, jossa kolmion korkeus on rungon korkeus, sen sivut ovat generaattorit ja kanta on pohjan halkaisija. Tasasivuisessa geometrisessa kappaleessa aksiaalinen leikkaus on tasasivuinen kolmio, koska tässä kartiossa kannan ja generaattorien halkaisija ovat yhtä suuret.
Aksiaalisen leikkauksen taso suorassa kartiossa on sen symmetriataso. Syynä tähän on se, että sen yläosa on pohjan keskikohdan yläpuolella, eli aksiaalileikkauksen taso jakaa kartion kahteen identtiseen osaan.
Koska korkeus ja akseli eivät täsmää k altevassa kappaleessa, aksiaalileikkauksen taso ei välttämättä sisällä korkeutta. Jos tällaiseen kartioon on mahdollista rakentaa joukko aksiaalisia poikkileikkauksia, koska tähän on noudatettava vain yhtä ehtoa - sen tulee kulkea vain akselin läpi, niin vain yksi tason aksiaalinen leikkaus, joka kuuluu tason korkeuteen. tämä kartio voidaan piirtää, koska ehtojen määrä kasvaa, ja kuten tiedetään, kaksi viivaa (yhdessä) voi kuuluavain yksi kone.
Osa-alue
Aiemmin mainitun kartion aksiaalinen leikkaus on kolmio. Tämän perusteella sen pinta-ala voidaan laskea kolmion pinta-alan kaavalla:
S=1/2dh tai S=1/22rh
jossa S on poikkileikkausala;
d – pohjan halkaisija;
r – säde;
h – korkeus.
Viistossa eli vinossa kartiossa akselin suuntainen leikkaus on myös kolmio, joten sen poikkileikkausala lasketaan samalla tavalla.
äänenvoimakkuus
Koska kartio on kolmiulotteinen kuvio kolmiulotteisessa avaruudessa, voimme laskea sen tilavuuden. Kartion tilavuus on luku, joka kuvaa tätä kappaletta tilavuusyksikössä, eli m3. Laskenta ei riipu siitä, onko se suora vai vino (viisto), koska näiden kahden kappaletyypin kaavat eivät eroa toisistaan.
Kuten aiemmin todettiin, suoran kartion muodostuminen johtuu suorakulmaisen kolmion kiertymisestä sen yhtä jalkaa pitkin. K alteva tai vino kartio muodostetaan eri tavalla, koska sen korkeus on siirtynyt poispäin rungon perustason keskustasta. Tällaiset rakenteen erot eivät kuitenkaan vaikuta sen tilavuuden laskentatapaan.
Tilavuuslaskenta
Kaava minkä tahansa kartion tilavuudelle näyttää tältä:
V=1/3πhr2
jossa V on kartion tilavuus;
h – korkeus;
r – säde;
π - vakio on 3, 14.
Kartion tilavuuden laskemiseksi sinulla on oltava tiedot rungon pohjan korkeudesta ja säteestä.
Jos haluat laskea kappaleen korkeuden, sinun on tiedettävä kannan säde ja sen generaattorin pituus. Koska säde, korkeus ja generatriisi yhdistetään suorakulmaiseksi kolmioksi, korkeus voidaan laskea Pythagoraan lauseen kaavalla (a2+ b2=c 2 tai meidän tapauksessamme h2+ r2=l2 , missä l - generatrix). Tässä tapauksessa korkeus lasketaan irrottamalla neliöjuuri hypotenuusan ja toisen haaran neliöiden välisestä erosta:
a=√c2- b2
Toisin sanoen kartion korkeus on yhtä suuri kuin arvo, joka saadaan, kun neliöjuuri erotetaan generatriisin pituuden neliön ja kannan säteen neliön välisestä erotuksesta:
h=√l2 - r2
Laskemalla korkeus tällä menetelmällä ja tietäen sen pohjan säteen, voit laskea kartion tilavuuden. Tässä tapauksessa generatriisilla on tärkeä rooli, koska se toimii apuelementtinä laskelmissa.
Samaan tapaan, jos tiedät kappaleen korkeuden ja sen generatrixin pituuden, voit löytää sen kannan säteen irrottamalla generatrixin neliön ja korkeuden neliön välisen eron neliöjuuren:
r=√l2 - h2
Laske sitten kartion tilavuus käyttämällä samaa kaavaa kuin yllä.
Kallistettu kartiotilavuus
Koska kartion tilavuuden kaava on sama kaikille pyörimiskappaleille, ero sen laskennassa on korkeuden haku.
Kalletetun kartion korkeuden selvittämiseksi syöttötiedoissa on oltava generatriisin pituus, kannan säde ja keskipisteen välinen etäisyyspohja ja rungon korkeuden leikkauspiste sen pohjan tason kanssa. Tämän tietäen voit helposti laskea sen osan kantahalkaisijasta, joka on suorakulmaisen kolmion kanta (joka muodostuu pohjan korkeudesta, generatriksista ja tasosta). Laske sitten Pythagoraan lauseen avulla kartion korkeus ja sen jälkeen sen tilavuus.
