Yksi kuvioista, joka esiintyy ratkaistaessa geometrisia tehtäviä avaruudessa, on kartio. Se, toisin kuin polyhedra, kuuluu kiertohahmojen luokkaan. Pohditaan artikkelissa, mitä se tarkoittaa geometriassa, ja tutkitaan kartion eri osien ominaisuuksia.
Kartio geometriassa
Oletetaan, että tasossa on jokin käyrä. Se voi olla paraabeli, ympyrä, ellipsi ja niin edelleen. Ota piste, joka ei kuulu määritettyyn tasoon, ja yhdistä kaikki käyrän pisteet siihen. Tuloksena olevaa pintaa kutsutaan kartioksi tai yksinkertaisesti kartioksi.
Jos alkuperäinen käyrä on suljettu, kartiomainen pinta voidaan täyttää aineella. Tällä tavalla saatu kuvio on kolmiulotteinen kappale. Sitä kutsutaan myös kartioksi. Useita paperikartioita on esitetty alla.
Kartiomaista pintaa löytyy jokapäiväisessä elämässä. Esimerkiksi jäätelötötterillä tai raidallisella liikennekartiolla on tämä muoto, joka on suunniteltu kiinnittämään kuljettajien jajalankulkijat.
Kartiotyypit
Kuten arvata saattaa, tarkasteltavat luvut eroavat toisistaan käyrätyypin mukaan, jolle ne on muodostettu. On esimerkiksi pyöreä kartio tai elliptinen. Tätä käyrää kutsutaan kuvion pohjaksi. Pohjan muoto ei kuitenkaan ole ainoa ominaisuus, joka mahdollistaa kartioiden luokittelun.
Toinen tärkeä ominaisuus on korkeuden sijainti suhteessa alustaan. Kartion korkeus on suora jana, joka lasketaan kuvan ylhäältä pohjan tasoon ja on kohtisuorassa tätä tasoa vastaan. Jos korkeus leikkaa pohjan geometrisessa keskustassa (esimerkiksi ympyrän keskellä), kartio on suora, jos kohtisuora segmentti putoaa mihin tahansa muuhun pohjan pisteeseen tai sen ulkopuolelle, niin kuva on vino.
Jatkossa artikkelissa tarkastellaan vain pyöreää suoraa kartiota tarkasteltavan hahmoluokan kirkkaana edustajana.
Kartioelementtien geometriset nimet
Yllä sanottiin, että kartiolla on pohja. Sitä rajoittaa ympyrä, jota kutsutaan kartion ohjaimeksi. Segmenttejä, jotka yhdistävät ohjaimen pisteeseen, joka ei ole pohjan tasossa, kutsutaan generaattoreiksi. Generaattorien kaikkien pisteiden joukkoa kutsutaan kuvion kartiomaiseksi tai sivupinnaksi. Pyöreässä oikeanpuoleisessa kartiossa kaikilla generaattoreilla on sama pituus.
Pistettä, jossa generaattorit leikkaavat, kutsutaan kuvion yläpääksi. Toisin kuin polyhedra, kartiolla on yksi kärki ja eireuna.
Kuvan yläosan ja ympyrän keskikohdan kautta kulkevaa suoraa kutsutaan akseliksi. Akseli sisältää suoran kartion korkeuden, joten se muodostaa suoran kulman pohjan tason kanssa. Tämä tieto on tärkeä kartion aksiaalisen leikkauksen pinta-alaa laskettaessa.
Pyöreä suora kartio - kiertokuva
Tarkasteltu kartio on melko symmetrinen kuvio, joka voidaan saada kolmion kiertymisen tuloksena. Oletetaan, että meillä on kolmio, jolla on suora kulma. Kartion saamiseksi riittää, että pyörität tätä kolmiota yhden jalan ympäri alla olevan kuvan mukaisesti.
Voidaan nähdä, että pyörimisakseli on kartion akseli. Yksi jaloista on yhtä suuri kuin hahmon korkeus, ja toisesta jalusta tulee pohjan säde. Kolmion hypotenuusa pyörimisen seurauksena kuvaa kartiopintaa. Se on kartion generatrix.
Tällä menetelmällä pyöreän suoran kartion saamiseksi on kätevää tutkia kuvion lineaaristen parametrien: korkeuden h, pyöreän kannan säteen r ja ohjaimen g välistä matemaattista suhdetta. Vastaava kaava seuraa suorakulmaisen kolmion ominaisuuksista. Se on lueteltu alla:
g2=h2+ r2.
Koska meillä on yksi yhtälö ja kolme muuttujaa, tämä tarkoittaa, että pyöreän kartion parametrien yksilöllinen asettaminen edellyttää mitkä tahansa kaksi määrää.
Kartion leikkaukset tasosta, joka ei sisällä kuvion kärkeä
Kysymys kuvion osien rakentamisesta ei oletriviaali. Tosiasia on, että kartion pinnan leikkauksen muoto riippuu kuvion ja sekantin suhteellisesta sijainnista.
Oletetaan, että leikkaamme kartion tason kanssa. Mikä on tämän geometrisen operaation tulos? Leikkauksen muotovaihtoehdot näkyvät alla olevassa kuvassa.
Vaaleanpunainen osa on ympyrä. Se muodostuu kuvion leikkauspisteestä tason kanssa, joka on yhdensuuntainen kartion pohjan kanssa. Nämä ovat kohtisuorassa kuvan akseliin nähden. Leikkaustason yläpuolelle muodostunut kuvio on alkuperäisen k altainen kartio, mutta jonka pohjassa on pienempi ympyrä.
Vihreä osa on ellipsi. Se saadaan, jos leikkaustaso ei ole yhdensuuntainen alustan kanssa, vaan se leikkaa vain kartion sivupinnan. Tason yläpuolelta leikattua hahmoa kutsutaan elliptiseksi vinoksi kartioksi.
Sininen ja oranssi osa ovat parabolisia ja hyperbolisia. Kuten kuvasta näkyy, ne saadaan, jos leikkaustaso leikkaa samanaikaisesti kuvion sivupinnan ja pohjan.
Kartion tarkasteltavien osien pinta-alojen määrittämiseksi on tarpeen käyttää kaavoja vastaavalle tasolle. Esimerkiksi ympyrälle tämä on luku Pi kerrottuna säteen neliöllä, ja ellipsillä tämä on Pi:n sekä pienemmän ja suuren puoliakselin pituuden tulo:
ympyrä: S=pir2;
ellipsi: S=piab.
Kartion yläosan sisältävät osiot
Mieti nyt vaihtoehtoja osille, jotka syntyvät, jos leikkaustaso onkulkea kartion yläosan läpi. Kolme tapausta on mahdollista:
- Osa on yksittäinen piste. Esimerkiksi taso, joka kulkee kärjen läpi ja on yhdensuuntainen kannan kanssa, antaa juuri sellaisen leikkauksen.
- Leikkaus on suora. Tämä tilanne syntyy, kun taso tangentti kartiomaista pintaa. Leikkauksen suora on tässä tapauksessa kartion generatriisi.
- Aksiaalinen osa. Se muodostuu, kun taso sisältää paitsi kuvion yläosan, myös sen koko akselin. Tässä tapauksessa taso on kohtisuorassa pyöreään pohjaan nähden ja jakaa kartion kahteen yhtä suureen osaan.
Ilmeisesti kahden ensimmäisen tyyppisen osion pinta-alat ovat nolla. Mitä tulee kartion poikkileikkauspinta-alaan 3. tyypille, tätä asiaa käsitellään tarkemmin seuraavassa kappaleessa.
Aksiaalinen leikkaus
Yllä mainittiin, että kartion aksiaalinen leikkaus on kuvio, joka muodostuu, kun kartio leikkaa sen akselin kautta kulkevan tason. On helppo arvata, että tämä osa edustaa alla olevassa kuvassa näkyvää kuvaa.
Tämä on tasakylkinen kolmio. Kartion aksiaalisen leikkauksen kärki on tämän kolmion kärki, joka muodostuu identtisten sivujen leikkauspisteestä. Jälkimmäiset ovat yhtä suuria kuin kartion generatrixin pituus. Kolmion kanta on kartion kannan halkaisija.
Kartion aksiaalisen leikkauksen pinta-alan laskeminen vähennetään tuloksena olevan kolmion alueen löytämiseen. Jos alustan säde r ja kartion korkeus h ovat alun perin tiedossa, niin tarkasteltavan osan S pinta-ala on:
S=hr.
Tämälauseke on seurausta vakiokaavan soveltamisesta kolmion pinta-alalle (puolet korkeuden tuloista kantaa).
Huomaa, että jos kartion generatriisi on yhtä suuri kuin sen pyöreän kannan halkaisija, niin kartion aksiaalinen leikkaus on tasasivuinen kolmio.
Kolmioleikkaus muodostuu, kun leikkaustaso on kohtisuorassa kartion pohjaan nähden ja kulkee sen akselin läpi. Mikä tahansa muu taso, joka on yhdensuuntainen nimetyn kanssa, antaa hyperbolin leikkauksessa. Jos taso kuitenkin sisältää kartion kärjen ja leikkaa sen kantaa ei halkaisijan kautta, tuloksena oleva leikkaus on myös tasakylkinen kolmio.
Kartion lineaaristen parametrien määrittämisongelma
Näytetään, kuinka aksiaalileikkauksen alueelle kirjoitettua kaavaa käytetään geometrisen ongelman ratkaisemiseen.
On tunnettua, että kartion aksiaalisen leikkauksen pinta-ala on 100 cm2. Tuloksena oleva kolmio on tasasivuinen. Mikä on kartion korkeus ja pohjan säde?
Koska kolmio on tasasivuinen, sen korkeus h on suhteessa sivun a pituuteen seuraavasti:
h=√3/2a.
Ottamalla huomioon, että kolmion sivu on kaksi kertaa kartion kannan säde ja korvaamalla tämän lausekkeen poikkileikkausalan kaavassa, saadaan:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Sitten kartion korkeus on:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
On vielä korvattava alueen arvo ongelman tilallaja saat vastauksen:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
Millä alueilla on tärkeää tietää tarkasteltavien osien parametrit?
Erityyppisten kartioleikkausten tutkiminen ei ole vain teoreettista mielenkiintoa, vaan sillä on myös käytännön sovelluksia.
Ensinnäkin on huomioitava aerodynamiikan alue, jossa kartioprofiilien avulla voidaan luoda ihanteellisia sileitä muotoja kiinteistä kappaleista.
Toiseksi kartioleikkaukset ovat lentoratoja, joita pitkin avaruuskohteet liikkuvat gravitaatiokentissä. Minkä tyyppinen leikkaus edustaa järjestelmän kosmisten kappaleiden liikerataa, määräytyy niiden massojen, absoluuttisten nopeuksien ja niiden välisten etäisyyksien suhteen.
