Avaruuden lukuja tarkasteltaessa syntyy usein ongelmia niiden pinta-alan määrittämisessä. Yksi tällainen hahmo on kartio. Mieti artikkelissa, mikä on pyöreällä pohjalla varustetun kartion sivupinta sekä katkaistu kartio.
Kartio pyöreällä pohjalla
Ennen kuin siirrymme kartion sivupinnan tarkasteluun, näytämme millainen kuvio se on ja miten se saadaan geometrisilla menetelmillä.
Otetaan suorakulmainen kolmio ABC, jossa AB ja AC ovat jalkoja. Laitetaan tämä kolmio jalan AC päälle ja käännetään sitä jalan AB ympäri. Tämän seurauksena sivut AC ja BC kuvaavat alla olevan kuvan kahta pintaa.
Pyörittämällä saatua lukua kutsutaan pyöreäksi suoraksi kartioksi. Se on pyöreä, koska sen kanta on ympyrä, ja suora, koska kuvion ylhäältä piirretty kohtisuora (piste B) leikkaa ympyrän sen keskellä. Tämän kohtisuoran pituutta kutsutaan korkeudeksi. Ilmeisesti se on yhtä suuri kuin jalka AB. Korkeus merkitään yleensä kirjaimella h.
Korkeuden lisäksi tarkasteltua kartiota kuvaa kaksi lineaarista ominaisuutta:
- generating tai generatrix (hypotenuse BC);
- perussäde (jalka AC).
Säde merkitään kirjaimella r ja generaattori g:llä. Sitten Pythagoraan lauseen huomioon ottaen voidaan kirjoittaa tarkasteltavalle kuviolle tärkeä yhtäläisyys:
g2=h2+ r2
Kartiomainen pinta
Kaikki generatriisit muodostavat kartiomaisen tai lateraalisen kartion pinnan. Ulkonäöltään on vaikea sanoa, mitä litteää hahmoa se vastaa. Jälkimmäinen on tärkeää tietää määritettäessä kartiomaisen pinnan pinta-alaa. Tämän ongelman ratkaisemiseksi käytetään pyyhkäisymenetelmää. Se koostuu seuraavasta: pinta leikataan mieliv altaisesti mieliv altaista generatriisia pitkin ja sitten se avataan tasossa. Tällä pyyhkäisymenetelmällä muodostuu seuraava tasainen kuvio.
Kuten arvata saattaa, ympyrä vastaa kantaa, mutta pyöreä sektori on kartiomainen pinta, josta olemme kiinnostuneita. Sektoria rajoittaa kaksi generatriisia ja kaari. Jälkimmäisen pituus on täsmälleen yhtä suuri kuin pohjan kehän kehä (pituus). Nämä ominaisuudet määrittävät yksiselitteisesti kaikki pyöreän sektorin ominaisuudet. Emme anna matemaattisia välilaskuja, vaan kirjoita heti lopullinen kaava, jonka avulla voit laskea kartion sivupinnan alueen. Kaava on:
Sb=pigr
Kartiomaisen pinnan pinta-ala Sb on yhtä suuri kuin kahden parametrin ja Pi:n tulo.
Katkaistu kartio ja sen pinta
Jos otamme tavallisen kartion ja leikkaamme sen yläosan yhdensuuntaisella tasolla, jäljelle jää katkaistu kartio. Sen sivupintaa rajoittaa kaksi pyöreää alustaa. Merkitään niiden säteet R:llä ja r:llä. Kuvan korkeutta merkitään h:lla ja generaattoria g:llä. Alla on paperileikkaus tälle kuviolle.
Voidaan nähdä, että sivupinta ei ole enää pyöreä sektori, se on pinta-al altaan pienempi, koska keskiosa leikattiin siitä pois. Kehitys on rajoitettu neljään viivaan, joista kaksi on suorasegmenttigeneraattoreita, kaksi muuta ovat kaaria, joiden pituudet vastaavat katkaistun kartion kannan ympyrät.
Sivupinta Sblaskettu seuraavasti:
Sb=pig(r + R)
Generatrix, säteet ja korkeus liittyvät toisiinsa seuraavalla yhtälöllä:
g2=h2+ (R - r)2
Kuvujen alueiden tasa-arvoongelma
Annetaan kartio, jonka korkeus on 20 cm ja pohjan säde 8 cm. On tarpeen löytää katkaistun kartion korkeus, jonka sivupinnalla on sama pinta-ala kuin tällä kartiolla. Katkaistu hahmo on rakennettu samalle alustalle ja yläpohjan säde on 3 cm.
Kirjoitetaan ensin ylös kartion ja katkaistun hahmon pinta-alojen yhtäläisyysehto. Meillä on:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
Kirjoitetaan nyt lausekkeet kunkin muodon generatriisille:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Korvaa g1 ja g2 yhtäläisten alueiden kaavaan ja neliöi vasen ja oikea puoli, saamme:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
Mistä saamme lausekkeen h2:
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
Emme yksinkertaista tätä yhtäläisyyttä, vaan yksinkertaisesti korvaamme ehdosta tunnetut tiedot:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14,85 cm
Siksi, jotta kuvioiden sivupintojen pinta-alat olisivat yhtä suuret, katkaistun kartion parametrien on oltava: R=8 cm, r=3 cm, h2≈ 14, 85 cm.
