Kvantitatiivinen kiertoliikkeen dynamiikan ja kinematiikan tutkiminen edellyttää materiaalin pisteen ja jäykän kappaleen hitausmomentin tuntemista suhteessa pyörimisakseliin. Käsittelemme artikkelissa, mistä parametrista puhumme, ja annamme myös kaavan sen määrittämiseksi.
Yleistä tietoa fyysisestä määrästä
Määritellään ensin materiaalipisteen ja jäykän kappaleen hitausmomentti ja sitten näytetään, miten sitä tulee käyttää käytännön ongelmien ratkaisemisessa.
Näytettyjen fyysisten ominaisuuksien alla pisteelle, jonka massa on m ja joka pyörii akselin ympäri etäisyydellä r, tarkoitetaan seuraavaa arvoa:
I=mr².
Jos tästä seuraa, että tutkitun parametrin mittayksikkö on kilogrammaa neliömetriä kohden (kgm²).
Jos akselin ympärillä olevan pisteen sijaan pyörii monimutkaisen muotoinen kappale, jonka sisällä on mieliv altainen massajakauma, niin sen hitausmomentti määräytyysiis:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Missä ρ on kappaleen tiheys. Integraalikaavan avulla voit määrittää I:n arvon ehdottomasti mille tahansa kiertojärjestelmälle.
Hitausmomentilla on täsmälleen sama merkitys pyörimiselle kuin massalla translaatioliikkeelle. Kaikki tietävät esimerkiksi, että lattiamoppia on helpoin pyörittää sen kahvan läpi kulkevan akselin ympäri kuin kohtisuorassa. Tämä johtuu siitä, että hitausmomentti ensimmäisessä tapauksessa on paljon pienempi kuin toisessa.
Arvostan erimuotoisia vartaloja
Kiertofysiikan tehtäviä ratkaistaessa on usein tarpeen tietää tietyn geometrisen muotoisen kappaleen, esimerkiksi sylinterin, pallon tai tangon, hitausmomentti. Jos sovelletaan edellä kirjoitettua kaavaa I:lle, on helppo saada vastaava lauseke kaikille merkityille kappaleille. Alla on kaavat joillekin niistä:
tanko: I=1/12ML²;
sylinteri: I=1/2MR²;
pallo: I=2/5MR².
Tässä olen annettu pyörimisakselille, joka kulkee kehon massakeskuksen kautta. Sylinterin tapauksessa akseli on samansuuntainen kuvan generaattorin kanssa. Muiden geometristen kappaleiden hitausmomentti ja kiertoakselien sijainnin vaihtoehdot löytyvät vastaavista taulukoista. Huomaa, että I eri kuvioiden määrittämiseen riittää, että tiedät vain yhden geometrisen parametrin ja kappaleen massan.
Steinerin lause ja kaava
Hitausmomentti voidaan määrittää, jos pyörimisakseli sijaitsee jollain etäisyydellä kehosta. Tätä varten sinun tulee tietää tämän janan pituus ja kappaleen arvo IO suhteessa sen massakeskipisteen kautta kulkevaan akseliin, jonka tulee olla samansuuntainen kappaleen alla olevan akselin kanssa. huomioon. Parametrin IO ja tuntemattoman arvon I välisen yhteyden muodostaminen on kiinteästi Steinerin lauseessa. Materiaalin pisteen ja jäykän kappaleen hitausmomentti kirjoitetaan matemaattisesti seuraavasti:
I=IO+ Mh2.
Tässä M on kappaleen massa, h on etäisyys massakeskipisteestä pyörimisakseliin, jonka suhteen on tarpeen laskea I. Tämä lauseke on helppo saada itse, jos käytä I:n integraalikaavaa ja ota huomioon, että kaikki kappaleen pisteet ovat etäisyyksillä r=r0 + h.
Steinerin lause yksinkertaistaa suuresti I:n määritelmää monissa käytännön tilanteissa. Jos esimerkiksi sinun on löydettävä I sauvalle, jonka pituus on L ja jonka massa on M suhteessa akseliin, joka kulkee sen pään kautta, Steinerin lausetta soveltamalla voit kirjoittaa:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Voit viitata vastaavaan taulukkoon ja nähdä, että se sisältää täsmälleen tämän kaavan ohuelle tangolle, jonka päässä on pyörimisakseli.
Hetkeyhtälö
Pyöritysfysiikassa on kaava, jota kutsutaan momenttien yhtälöksi. Se näyttää tältä:
M=Iα.
Tässä M on voimamomentti, α on kulmakiihtyvyys. Kuten näette, aineellisen pisteen ja jäykän kappaleen hitausmomentti ja voimamomentti liittyvät lineaarisesti toisiinsa. Arvo M määrittää jonkin voiman F mahdollisuuden luoda pyörimisliikettä kiihtyvyydellä α järjestelmässä. Laske M käyttämällä seuraavaa yksinkertaista lauseketta:
M=Fd.
Missä d on hetken olake, joka on yhtä suuri kuin etäisyys voimavektorista F kiertoakseliin. Mitä pienempi varsi d, sitä vähemmän voiman on pystyttävä saamaan aikaan järjestelmän pyörimisen.
Momenttien yhtälö on täysin yhdenmukainen Newtonin toisen lain kanssa. Tässä tapauksessa I näyttelee inertiamassan roolia.
Esimerkki ongelmanratkaisusta
Kuvitellaan järjestelmä, joka on sylinteri, joka on kiinnitetty pystyakselille painottomalla vaakatasolla. Tiedetään, että sylinterin pyörimisakseli ja pääakseli ovat yhdensuuntaiset keskenään ja niiden välinen etäisyys on 30 cm. Sylinterin massa on 1 kg ja sen säde on 5 cm Voima 10 Pyörimisradan N tangentti vaikuttaa kuvioon, jonka vektori kulkee sylinterin pääakselin läpi. On tarpeen määrittää kuvion kulmakiihtyvyys, jonka tämä voima aiheuttaa.
Lasketaan ensin I-sylinterin hitausmomentti. Käytä tätä varten Steiner-lausetta, meillä on:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Ennen kuin käytät momenttiyhtälöä, sinun on tehtävä semääritä voimamomentti M. Tässä tapauksessa meillä on:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Nyt voit määrittää kiihtyvyyden:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
Laskettu kulmakiihtyvyys osoittaa, että joka sekunti sylinterin nopeus kasvaa 5,2 kierrosta sekunnissa.
