Fysiikassa ympyräliikkeitä tekeviä kappaleita kuvataan yleensä kaavoilla, jotka sisältävät kulmanopeuden ja kulmakiihtyvyyden sekä sellaisia suureita kuin pyörimismomentit, voimat ja hitaus. Tarkastellaanpa tarkemmin näitä käsitteitä artikkelissa.
Kiertohetki akselin ympäri
Tätä fyysistä määrää kutsutaan myös kulmamomentiksi. Sana "vääntömomentti" tarkoittaa, että pyörimisakselin asema otetaan huomioon määritettäessä vastaavaa ominaisuutta. Joten hiukkasen, jonka massa on m ja joka pyörii nopeudella v akselin O ympäri ja joka sijaitsee etäisyydellä r jälkimmäisestä, kulmamomentti kuvataan seuraavalla kaavalla:
L¯=r¯mv¯=r¯p¯, missä p¯ on hiukkasen liikemäärä.
Etumerkki "¯" ilmaisee vastaavan suuren vektoriluonteen. Kulmamomenttivektorin L¯ suunta määräytyy oikean käden säännöllä (neljä sormea on suunnattu vektorin r¯ lopusta p¯:n loppuun ja vasen peukalo näyttää minne L¯ suunnataan). Kaikkien nimettyjen vektorien ohjeet näkyvät artikkelin pääkuvassa.
MilloinKäytännön ongelmia ratkoessaan he käyttävät kulmamomentin kaavaa skalaarin muodossa. Lisäksi lineaarinen nopeus korvataan kulmanopeudella. Tässä tapauksessa L:n kaava näyttäisi tältä:
L=mr2ω, missä ω=vr on kulmanopeus.
Arvo mr2 on merkitty kirjaimella I ja sitä kutsutaan hitausmomentiksi. Se luonnehtii pyörimisjärjestelmän inertiaominaisuuksia. Yleensä L:n lauseke kirjoitetaan seuraavasti:
L=Iω.
Tämä kaava ei päde vain pyöriville hiukkasille, joiden massa on m, vaan myös mille tahansa mieliv altaisen muotoiselle kappaleelle, joka tekee ympyräliikkeitä jonkin akselin ympäri.
Hiitausmomentti I
Yleensä edellisessä kappaleessa antamani arvo lasketaan kaavalla:
I=∑i(miri 2).
Tässä i osoittaa sen elementin numeron, jonka massa on mi, joka sijaitsee etäisyydellä ri kiertoakselista. Tämän lausekkeen avulla voit laskea mieliv altaisen muotoisen epähomogeenisen kappaleen. Ihanteellisimmille kolmiulotteisille geometrisille kuvioille tämä laskelma on jo tehty, ja saadut hitausmomentin arvot syötetään vastaavaan taulukkoon. Esimerkiksi homogeeniselle kiekolle, joka tekee ympyräliikkeitä akselinsa ympäri, joka on kohtisuorassa sen tasoon nähden ja kulkee massakeskipisteen kautta, I=mr2/2.
Ymmärtääkseen pyörimishitausmomentin I fyysisen merkityksen, on vastattava kysymykseen, millä akselilla moppia on helpompi pyörittää: millä akselilla kulkee moppia pitkin. Tai sellaisen, joka on kohtisuorassa siihen nähden? Toisessa tapauksessa sinun on käytettävä enemmän voimaa, koska mopin tämän asennon hitausmomentti on suuri.
L:n säilyttämislaki
Vääntömomentin muutos ajan myötä kuvataan alla olevalla kaavalla:
dL/dt=M, missä M=rF.
Tässä M on olakkeeseen r kohdistuvan ulkoisen voiman F momentti pyörimisakselin ympäri.
Kaava osoittaa, että jos M=0, niin kulmaliikemäärän L muutosta ei tapahdu, eli se pysyy muuttumattomana mieliv altaisen pitkän ajan riippumatta järjestelmän sisäisistä muutoksista. Tämä tapaus kirjoitetaan lausekkeena:
I1ω1=I2ω 2.
Toisin sanoen kaikki muutokset hetken I järjestelmässä johtavat kulmanopeuden ω muutoksiin siten, että niiden tulo pysyy vakiona.
Esimerkki tämän lain ilmentymisestä on taitoluistelun urheilija, joka heittäen kätensä ulos ja painaen niitä vartaloa vasten muuttaa I:ään, mikä näkyy hänen pyörimisnopeuden ω muutoksena.
Maan kierto Auringon ympäri ongelma
Ratkaistaan yksi mielenkiintoinen ongelma: yllä olevien kaavojen avulla on tarpeen laskea planeettamme pyörimishetki sen kiertoradalla.
Koska muiden planeettojen painovoima voidaan jättää huomiotta, ja myöskun otetaan huomioon, että Auringosta Maahan vaikuttavan gravitaatiovoiman momentti on nolla (olkapää r=0), niin L=vakio. L:n laskemiseen käytämme seuraavia lausekkeita:
L=Iω; I=mr2; ω=2pi/T.
Tässä oletetaan, että Maata voidaan pitää materiaalina pisteenä, jonka massa on m=5,9721024kg, koska sen mitat ovat paljon pienemmät kuin etäisyys Auringosta r=149,6 miljoonaa km. T=365, 256 päivää - planeetan kierrosaika tähtensä ympäri (1 vuosi). Korvaamalla kaikki tiedot yllä olevaan lausekkeeseen, saamme:
L=Iω=5, 9721024(149, 6109) 223, 14/(365, 256243600)=2, 661040kgm2 /s.
Kulman liikemäärän laskettu arvo on jättimäinen planeetan suuren massan, sen suuren kiertoradan nopeuden ja v altavan tähtitieteellisen etäisyyden vuoksi.
