Katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala ja tilavuus: kaavat ja esimerkki tyypillisen ongelman ratkaisusta

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-02 17:46

Kun kolmiulotteisessa avaruudessa kuvioiden ominaisuuksia tutkitaan stereometrian puitteissa, joutuu usein ratkaisemaan tilavuuden ja pinta-alan määrittämistä koskevia tehtäviä. Tässä artikkelissa näytämme kuinka lasketaan katkaistun pyramidin tilavuus ja sivupinta-ala tunnettujen kaavojen avulla.

Pyramidi geometriassa

Geometriassa tavallinen pyramidi on hahmo avaruudessa, joka on rakennettu jollekin tasaiselle n-kulmiolle. Kaikki sen kärjet ovat yhteydessä yhteen pisteeseen, joka sijaitsee monikulmion tason ulkopuolella. Esimerkiksi tässä on valokuva, jossa näkyy viisikulmainen pyramidi.

Tämä kuvio muodostuu kasvoista, pisteistä ja reunoista. Viisikulmaista pintaa kutsutaan pohjaksi. Loput kolmiomaiset pinnat muodostavat sivupinnan. Kaikkien kolmioiden leikkauspiste on pyramidin pääpiste. Jos kohtisuora lasketaan siitä pohjaan, leikkauspisteen sijainnille on kaksi vaihtoehtoa:

• geometrisessa keskustassa, niin pyramidia kutsutaan suoraksi;
• ei sisällägeometrinen keskipiste, silloin kuvio on vino.

Edelleen tarkastelemme vain suoria lukuja, joilla on säännöllinen n-kulmainen kanta.

Mikä tämä luku on - katkaistu pyramidi?

Katkaistun pyramidin tilavuuden määrittämiseksi on ymmärrettävä selvästi, mistä kuviosta on kyse. Selvitetään tämä ongelma.

Otetaan leikkaustaso, joka on yhdensuuntainen tavallisen pyramidin kannan kanssa, ja leikataan sillä osa sivupinnasta. Jos tämä operaatio tehdään yllä olevan viisikulmaisen pyramidin kanssa, saat sellaisen kuvan kuin alla olevassa kuvassa.

Kuvasta näkyy, että tässä pyramidissa on jo kaksi alustaa ja ylempi on samanlainen kuin alempi, mutta se on kooltaan pienempi. Sivupintaa ei enää edusta kolmiot, vaan puolisuunnikkaat. Ne ovat tasakylkisiä ja niiden lukumäärä vastaa pohjan sivujen lukumäärää. Katkaistulla hahmolla ei ole pääpistettä, kuten säännöllisessä pyramidissa, ja sen korkeus määräytyy yhdensuuntaisten kantapohjien välisen etäisyyden mukaan.

Yleisessä tapauksessa, jos tarkasteltava kuvio muodostuu n-kulmaisista kannoista, sillä on n+2 pintaa tai sivua, 2n kärkeä ja 3n reunaa. Toisin sanoen katkaistu pyramidi on monitahoinen.

Kaava katkaistun pyramidin tilavuudelle

Muista, että tavallisen pyramidin tilavuus on 1/3 sen korkeuden ja pohjapinta-alan tulosta. Tämä kaava ei sovellu katkaistulle pyramidille, koska siinä on kaksi emästä. Ja sen volyymion aina pienempi kuin sama arvo tavalliselle luvulle, josta se on johdettu.

Siirrymättä lausekkeen saamisen matemaattisiin yksityiskohtiin, esitämme lopullisen kaavan katkaistun pyramidin tilavuudelle. Se on kirjoitettu seuraavasti:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Tässä S₁ ja S_{2 ovat alemman ja ylemmän kannan alueet, vastaavasti, h on kuvion korkeus. Kirjoitettu lauseke ei kelpaa vain suoralle säännölliselle katkaistulle pyramidille, vaan myös mille tahansa tämän luokan hahmolle. Lisäksi peruspolygonien tyypistä riippumatta. Ainoa ehto, joka rajoittaa lausekkeen V käyttöä, on tarve, että pyramidin kantat ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa.}

Tämän kaavan ominaisuuksia tutkimalla voidaan tehdä useita tärkeitä johtopäätöksiä. Joten, jos ylemmän kannan pinta-ala on nolla, tulemme tavallisen pyramidin V:n kaavaan. Jos kantojen pinta-alat ovat keskenään yhtä suuret, saadaan kaava prisman tilavuudelle.

Miten määritetään sivupinta-ala?

Katkaistun pyramidin ominaisuuksien tunteminen edellyttää paitsi kykyä laskea sen tilavuus, myös tietää kuinka määrittää sivupinnan pinta-ala.

Katkaistu pyramidi koostuu kahdesta tyypistä:

• tasakylkiset puolisuunnikkaat;
• polygonaaliset pohjat.

Jos kantoissa on säännöllinen monikulmio, niin sen pinta-alan laskenta ei edusta suurtavaikeuksia. Tätä varten sinun tarvitsee vain tietää sivun a pituus ja niiden lukumäärä n.

Sivupinnan tapauksessa sen pinta-alan laskeminen sisältää tämän arvon määrittämisen kullekin n puolisuunnikkaan. Jos n-kulmio on oikea, niin sivupinta-alan kaava on:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Tässä h_b on puolisuunnikkaan korkeus, jota kutsutaan hahmon apoteemiksi. Suuret a₁ ja a_{2ovat säännöllisten n-kulmioiden sivujen pituuksia.}

Jokaiselle säännölliselle n-kulmaiselle katkaistulle pyramidille apoteema h_b voidaan määrittää yksilöllisesti parametrien a₁ ja a _{avulla. 2ja muodon korkeus h.}

Kuvun tilavuuden ja pinta-alan laskentatehtävä

Säännöllinen kolmiomainen katkaistu pyramidi. Tiedetään, että sen korkeus h on 10 cm ja pohjien sivujen pituudet 5 cm ja 3 cm. Mikä on katkaistun pyramidin tilavuus ja sen sivupinnan pinta-ala?

Lasketaan ensin arvo V. Tehdäksesi tämä, etsi tasasivuisten kolmioiden alueet, jotka sijaitsevat kuvion kannassa. Meillä on:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10,825 cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3,897 cm²

Korvaa tiedot kaavaan V, saamme halutun tilavuuden:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

Sivupinnan määrittämiseksi sinun tulee tietääapoteemin pituus h_{b. Ottaen huomioon vastaavan suorakulmaisen kolmion pyramidin sisällä, voimme kirjoittaa sille yhtälön:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10,017 cm}

Apoteemin arvo ja kolmiomaisten kantajen sivut korvataan lausekkeella S_{b ja saamme vastauksen:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10.0173(5+3)/2 ≈ 120.2cm²

Täten vastasimme kaikkiin ongelman kysymyksiin: V ≈ 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.