Kysymys laskea tilakuvioiden tilavuus on tärkeää useiden käytännön geometrian ongelmien ratkaisemisessa. Yksi yleisimmistä muodoista on pyramidi. Tässä artikkelissa tarkastelemme pyramidin tilavuuden kaavoja, sekä täydellisiä että katkaistuja.
Pyramidi kolmiulotteisena hahmona
Kaikki tietävät Egyptin pyramideista, joten heillä on hyvä käsitys siitä, mistä hahmosta keskustellaan. Egyptiläiset kivirakenteet ovat kuitenkin vain erikoistapaus v altavasta pyramidiluokasta.
Katsoteltu geometrinen objekti on yleisesti ottaen monikulmiokanta, jonka kukin kärkipiste on kytketty johonkin avaruuden pisteeseen, joka ei kuulu perustasoon. Tämä määritelmä johtaa kuvioon, joka koostuu yhdestä n-kulmiosta ja n kolmiosta.
Jokainen pyramidi koostuu n+1 pinnasta, 2n reunasta ja n+1 pisteestä. Koska tarkasteltavana oleva luku on täydellinen monitahoinen, merkittyjen elementtien lukumäärät noudattavat Eulerin yhtälöä:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Järjessä oleva monikulmio antaa pyramidin nimen,esimerkiksi kolmiomainen, viisikulmainen ja niin edelleen. Alla olevassa kuvassa näkyy sarja erilaisia pyramideja.
Pistettä, jossa kuvion n kolmiota on yhdistetty, kutsutaan pyramidin huipuksi. Jos kohtisuora lasketaan siitä pohjaan ja se leikkaa sen geometrisessa keskustassa, niin tällaista kuvaa kutsutaan suoraksi. Jos tämä ehto ei täyty, kyseessä on k alteva pyramidi.
Suoraa kuviota, jonka kanta muodostuu tasasivuisesta (tasakulmaisesta) n-kulmiosta, kutsutaan säännölliseksi.
Pyramidin tilavuuskaava
Pyramidin tilavuuden laskemiseksi käytämme integraalilaskentaa. Tätä varten jaamme kuvion pohjan kanssa samansuuntaisilla leikkaustasoilla äärettömään määrään ohuita kerroksia. Alla olevassa kuvassa on nelikulmainen pyramidi, jonka korkeus on h ja sivun pituus L, jossa ohut leikkauskerros on merkitty nelikulmiolla.
Jokaisen tällaisen kerroksen pinta-ala voidaan laskea kaavalla:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Tässä A0 on kannan pinta-ala, z on pystysuoran koordinaatin arvo. Voidaan nähdä, että jos z=0, niin kaava antaa arvon A0.
Pyramidin tilavuuden kaavan saamiseksi sinun tulee laskea integraali koko kuvion korkeudelta, eli:
V=∫h0(A(z)dz).
Korvaamalla riippuvuuden A(z) ja laskemalla antiderivaata saadaan lauseke:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Saimme kaavan pyramidin tilavuudelle. V:n arvon löytämiseksi riittää kertomalla luvun korkeus kantapinnalla ja jakamalla tulos kolmella.
Huomaa, että tuloksena oleva lauseke pätee mieliv altaisen tyyppisen pyramidin tilavuuden laskemiseen. Eli se voi olla vinossa ja sen kanta voi olla mieliv altainen n-kulmio.
Oikea pyramidi ja sen tilavuus
Yllä olevassa kappaleessa saatua yleiskaavaa tilavuudelle voidaan tarkentaa, kun kyseessä on pyramidi, jolla on oikea kanta. Tällaisen pohjan pinta-ala lasketaan seuraavalla kaavalla:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Tässä L on säännöllisen monikulmion sivun pituus, jossa on n kärkeä. Symboli pi on luku pi.
Korvaamalla lausekkeen A0 yleiseen kaavaan, saadaan säännöllisen pyramidin tilavuus:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Esimerkiksi kolmiopyramidille tämä kaava johtaa seuraavaan lausekkeeseen:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Tavallisen nelikulmaisen pyramidin tilavuuskaava on:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Säännöllisten pyramidien tilavuuden määrittäminen edellyttää niiden pohjan sivun ja kuvion korkeuden tuntemista.
Katkaistu pyramidi
Oletetaan, että otimmemieliv altaisen pyramidin ja leikkaa pois osan sen sivupinnasta, joka sisältää huipun. Jäljelle jäävää hahmoa kutsutaan katkaistuksi pyramidiksi. Se koostuu jo kahdesta n-kulmaisesta kannasta ja n:stä puolisuunnikkaasta, jotka yhdistävät ne. Jos leikkaustaso oli yhdensuuntainen kuvion pohjan kanssa, muodostetaan katkaistu pyramidi, jossa on samansuuntaiset samanlaiset kantat. Eli toisen sivujen pituudet saadaan kertomalla toisen sivun pituudet jollain kertoimella k.
Yllä olevassa kuvassa on katkaistu säännöllinen kuusikulmainen pyramidi. Voidaan nähdä, että sen ylempi kanta, kuten alempi, muodostuu säännöllisestä kuusikulmiosta.
Katkaistun pyramidin tilavuuden kaava, joka voidaan johtaa samank altaisella integraalilaskolla kuin annettu, on:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Missä A0 ja A1 ovat alemman (suuren) ja ylemmän (pienen) kantakohdan alueita. Muuttuja h on katkaistun pyramidin korkeus.
Kheopsin pyramidin tilavuus
On mielenkiintoista ratkaista ongelma, joka liittyy Egyptin suurimman pyramidin sisällä olevan tilavuuden määrittämiseen.
Vuonna 1984 brittiläiset egyptiologit Mark Lehner ja Jon Goodman määrittelivät Cheops-pyramidin tarkat mitat. Sen alkuperäinen korkeus oli 146,50 metriä (tällä hetkellä noin 137 metriä). Rakenteen kunkin neljän sivun keskipituus oli 230 363 metriä. Pyramidin pohja on neliön muotoinen suurella tarkkuudella.
Käyttäkäämme annettuja lukuja tämän kivijättiläisen tilavuuden määrittämiseen. Koska pyramidi on säännöllinen nelikulmainen, sille pätee kaava:
V4=1/3L2h.
Korvaa luvut, saamme:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Kheops-pyramidin tilavuus on lähes 2,6 miljoonaa m3. Vertailun vuoksi toteamme, että olympia- altaan tilavuus on 2,5 tuhatta m3. Eli koko Cheops-pyramidin täyttämiseen tarvitaan yli 1000 näitä altaita!
