Kun tutkitaan mitä tahansa tilahahmoa, on tärkeää osata laskea sen tilavuus. Tämä artikkeli tarjoaa kaavan säännöllisen nelikulmaisen pyramidin tilavuudelle ja näyttää myös, kuinka tätä kaavaa tulisi käyttää esimerkkinä ongelmien ratkaisusta.
Mistä pyramidista puhumme?
Jokainen lukiolainen tietää, että pyramidi on monitahoinen, joka koostuu kolmioista ja monikulmiosta. Jälkimmäinen on kuvion perusta. Kolmioilla on yksi yhteinen sivu kannan kanssa ja ne leikkaavat yhdessä pisteessä, joka on pyramidin huippu.
Jokaiselle pyramidille on tunnusomaista pohjan sivujen pituus, sivureunojen pituus ja korkeus. Jälkimmäinen on kohtisuora segmentti, joka on laskettu pohjaan kuvan yläosasta.
Säännöllinen nelikulmainen pyramidi on nelikulmainen hahmo, jonka korkeus leikkaa tämän neliön keskellään. Ehkä tunnetuin esimerkki tämäntyyppisistä pyramideista on muinaiset egyptiläiset kivirakenteet. Alla on valokuvaCheopsin pyramidit.
Tutkittavalla kuviolla on viisi pintaa, joista neljä on identtisiä tasakylkisiä kolmioita. Sille on myös tunnusomaista viisi kärkeä, joista neljä kuuluu pohjaan, ja kahdeksan reunaa (4 pohjan reunaa ja 4 sivupintojen reunaa).
Nelikulmaisen pyramidin tilavuuden kaava on oikea
Kyseisen hahmon tilavuus on osa tilaa, jota rajaa viisi sivua. Tämän tilavuuden laskemiseksi käytämme seuraavaa pyramidin pohjan kanssa yhdensuuntaisen viipaleen pinta-alan riippuvuutta pystykoordinaatista z:
Sz=So (h - z/h)2
Tässä So on neliön pohjan pinta-ala. Jos korvaamme kirjoitetun lausekkeen z=h, saamme Sz nolla-arvon. Tämä z:n arvo vastaa siivua, joka sisältää vain pyramidin huipun. Jos z=0, niin saadaan perusalueen arvo So.
Pyramidin tilavuus on helppo löytää, jos tunnet funktion Sz(z), tätä varten riittää, että kuvio leikataan äärettömään määrään kerrokset samansuuntaisesti pohjan kanssa ja suorita sitten integrointi. Noudatan tätä tekniikkaa, saamme:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
Koska S0 onneliön pohjan pinta-ala, sitten, merkitsemällä neliön sivua kirjaimella a, saamme kaavan säännöllisen nelikulmaisen pyramidin tilavuudelle:
V=1/3a2h.
Käytetään nyt esimerkkejä ongelmanratkaisusta näyttääksemme, kuinka tätä lauseketta tulee soveltaa.
Pyramidin tilavuuden määrittämisongelma sen apoteemin ja sivureunan kautta
Pyramidin apoteemi on sen sivuttaiskolmion korkeus, joka on laskettu pohjan sivulle. Koska kaikki kolmiot ovat yhtä suuria säännöllisessä pyramidissa, myös niiden apoteemit ovat samat. Merkitään sen pituus symbolilla hb. Merkitse sivureuna muodossa b.
Kun tiedät, että pyramidin apoteemi on 12 cm ja sen sivureuna on 15 cm, laske säännöllisen nelikulmaisen pyramidin tilavuus.
Edelliseen kappaleeseen kirjoitettu kuvion tilavuuden kaava sisältää kaksi parametria: sivun pituus a ja korkeus h. Tällä hetkellä emme tunne heistä yhtään, joten katsotaanpa heidän laskelmiaan.
Neliön a sivun pituus on helppo laskea, jos käytät Pythagoraan lausetta suorakulmaiselle kolmiolle, jossa hypotenuusa on reuna b ja jalat ovat apoteemi h b ja puolet alustan sivusta a/2. Saamme:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Korvaamalla tunnetut arvot ehdosta, saadaan arvo a=18 cm.
Pyramidin korkeuden h laskemiseksi voit tehdä kaksi asiaa: harkita suorakaiteen muotoistakolmio, jossa on hypotenuusa-sivureuna tai hypotenuusa-apoteemi. Molemmat menetelmät ovat samanlaisia ja sisältävät saman määrän matemaattisia operaatioita. Pysähdytään kolmion tarkastelussa, jossa hypotenuusa on apoteemi hb. Sen jalat ovat h ja a / 2. Sitten saamme:
h=√(tb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7, 937 cm.
Nyt voit käyttää kaavaa äänenvoimakkuudelle V:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 cm 3.
Siten säännöllisen nelikulmaisen pyramidin tilavuus on noin 0,86 litraa.
Kheopsin pyramidin tilavuus
Nyt ratkaistaan mielenkiintoinen ja käytännössä tärkeä ongelma: etsitään Gizan suurimman pyramidin tilavuus. Kirjallisuudesta tiedetään, että rakennuksen alkuperäinen korkeus oli 146,5 metriä ja pohjan pituus 230,363 metriä. Näiden lukujen avulla voimme soveltaa kaavaa V:n laskemiseen. Saamme:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Tulostunut arvo on lähes 2,6 miljoonaa m3. Tämä tilavuus vastaa kuution tilavuutta, jonka sivu on 137,4 metriä.
