Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin sivupinnan pinta-ala: kaavoja ja esimerkkejä ongelmista

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-02 17:46

Tyypillisiä geometrisia ongelmia tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa ovat erimuotoisten pinta-alojen määrittelyongelmat. Tässä artikkelissa esitämme kaavan säännöllisen nelikulmaisen pyramidin sivupinnan pinta-alalle.

Mikä on pyramidi?

Annetaan pyramidille tiukka geometrinen määritelmä. Oletetaan, että on olemassa monikulmio, jossa on n sivua ja n kulmaa. Valitsemme mieliv altaisen avaruuden pisteen, joka ei ole määritellyn n-kulman tasossa, ja yhdistämme sen monikulmion jokaiseen kärkeen. Saadaan kuvio, jolla on jonkin verran tilavuutta, jota kutsutaan n-kulmaiseksi pyramidiksi. Esitetään esimerkiksi alla olevassa kuvassa, miltä viisikulmainen pyramidi näyttää.

Kaksi tärkeää elementtiä missä tahansa pyramidissa ovat sen pohja (n-gon) ja huippu. Nämä elementit on yhdistetty toisiinsa n kolmiolla, jotka eivät yleensä ole keskenään samanarvoisia. Pudotettu kohtisuorassaylhäältä alas kutsutaan hahmon korkeudeksi. Jos se leikkaa pohjan geometrisessa keskustassa (yhtää monikulmion massakeskuksen kanssa), tällaista pyramidia kutsutaan suoraksi. Jos tämän ehdon lisäksi kanta on säännöllinen monikulmio, koko pyramidia kutsutaan säännölliseksi. Alla oleva kuva näyttää, miltä tavalliset pyramidit näyttävät kolmion, nelikulmaisen, viisikulmaisen ja kuusikulmaisen pohjan kanssa.

Pyramidipinta

Ennen kuin käsittelemme säännöllisen nelikulmaisen pyramidin sivupinnan pinta-alaa, meidän tulisi keskittyä itse pinnan käsitteeseen.

Kuten edellä mainittiin ja kuvissa näkyy, mikä tahansa pyramidi muodostuu pintojen tai sivujen joukosta. Yksi sivu on kanta ja n sivua ovat kolmioita. Koko kuvion pinta on sen kunkin sivun pinta-alojen summa.

Pintaa on kätevää tutkia esimerkiksi hahmon avautumisesta. Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin skannaus on esitetty alla olevissa kuvissa.

Näemme, että sen pinta-ala on yhtä suuri kuin neljän samanlaisen tasakylkisen kolmion alueen ja neliön pinta-alan summa.

Kaikkien kuvion sivut muodostavien kolmioiden kokonaispinta-alaa kutsutaan sivupinnan pinta-alaksi. Seuraavaksi näytämme, kuinka se lasketaan säännölliselle nelikulmaiselle pyramidille.

Nelikulmaisen säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-ala

Laskeaksesi lateraalisen alueenmääritetyn kuvan pintaan, siirrymme jälleen yllä olevaan skannaukseen. Oletetaan, että tiedämme neliön kannan sivun. Merkitään se symbolilla a. Voidaan nähdä, että jokaisella neljästä identtisestä kolmiosta on kanta, jonka pituus on a. Jotta voit laskea niiden kokonaispinta-alan, sinun on tiedettävä tämä arvo yhdelle kolmiolle. Geometrian kurssista tiedetään, että kolmion pinta-ala S_{t on yhtä suuri kuin kannan ja korkeuden tulo, joka tulee jakaa puoliksi. Eli:}

S_t=1/2h_ba.

Missä h_b on kantaan a piirretyn tasakylkisen kolmion korkeus. Pyramidille tämä korkeus on apoteemi. Nyt on vielä kerrottava tuloksena oleva lauseke 4:llä, jotta saadaan kyseessä olevan pyramidin sivupinnan pinta-ala S_b:

S_b=4S_t=2h_ba.

Tämä kaava sisältää kaksi parametria: apoteemi ja pohjan sivu. Jos jälkimmäinen tunnetaan useimmissa tehtävien olosuhteissa, niin edellinen on laskettava muiden suureiden tiedossa. Tässä ovat kaavat apoteeman h_{b laskemiseksi kahdelle tapaukselle:}

• kun sivujousteen pituus tiedetään;
• kun pyramidin korkeus tiedetään.

Jos merkitsemme sivureunan (tasakylkisen kolmion sivun) pituutta symbolilla L, niin apoteema h_{b määritetään kaavalla:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Tämä lauseke on seurausta Pythagoran lauseen soveltamisesta lateraaliseen pintakolmioon.

Jos tiedetäänpyramidin korkeus h, niin apoteema h_{b voidaan laskea seuraavasti:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Tämän lausekkeen saaminen ei myöskään ole vaikeaa, jos tarkastellaan pyramidin sisällä suorakulmaista kolmiota, jonka muodostavat jalat h ja a/2 sekä hypotenuusa h_b.

Näytetään, kuinka näitä kaavoja käytetään ratkaisemalla kaksi mielenkiintoista tehtävää.

Ongelma tunnetussa pinta-alassa

On tunnettua, että säännöllisen nelikulmaisen pyramidin sivupinta-ala on 108 cm². On tarpeen laskea sen apoteemin pituuden arvo h_{b, jos pyramidin korkeus on 7 cm.}

Kirjoitetaan kaava korkeuden läpi kulkevan sivupinnan alueelle S_{b. Meillä on:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Tässä vain korvasimme vastaavan apoteemakaavan lausekkeelle S_{b. Neliötetään yhtälön molemmat puolet:}

S_b²=4a²h² + a^4.

Löydäksesi a:n arvon, tehdään muuttujien muutos:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Korvaamme nyt tunnetut arvot ja ratkaisemme toisen asteen yhtälön:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Kirjoitimme vain tämän yhtälön positiivisen juuren. Silloin pyramidin pohjan sivut ovat:

a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 cm.

Saat apoteeman pituuden,käytä vain kaavaa:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 katso}

Cheops-pyramidin sivupinta

Määritä Egyptin suurimman pyramidin sivupinta-alan arvo. Tiedetään, että sen pohjalla on neliö, jonka sivun pituus on 230,363 metriä. Rakenteen korkeus oli alun perin 146,5 metriä. Korvaa nämä luvut vastaavaan kaavaan S_{b, saamme:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Löyty arvo on hieman suurempi kuin 17 jalkapallokentän pinta-ala.