Prisma on melko yksinkertainen geometrinen kolmiulotteinen hahmo. Joillakin koululaisilla on kuitenkin ongelmia sen pääominaisuuksien määrittämisessä, jonka syy liittyy yleensä väärin käytettyyn terminologiaan. Tässä artikkelissa pohditaan, mitä prismat ovat, miksi niitä kutsutaan, ja kuvataan myös yksityiskohtaisesti oikea nelikulmainen prisma.
Prisma geometriassa
Kolmiulotteisten hahmojen tutkiminen on stereometrian tehtävä - tärkeä osa tilageometriaa. Stereometriassa prisma ymmärretään sellaisena kuviona, joka muodostuu mieliv altaisen litteän monikulmion rinnakkaissiirrolla tietyllä etäisyydellä avaruudessa. Rinnakkaissiirto tarkoittaa liikettä, jossa kierto polygonin tasoon nähden kohtisuorassa olevan akselin ympäri on täysin poissuljettu.
Kuvaillun prisman saamismenetelmän tuloksena muodostuu kuvio, jota rajoittaa kaksimonikulmiot, joilla on samat mitat, jotka sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa, ja tietty määrä suunnikkaita. Niiden lukumäärä on sama kuin monikulmion sivujen (pisteiden) lukumäärä. Identtisiä polygoneja kutsutaan prisman kannaksi, ja niiden pinta-ala on kantojen pinta-ala. Kaksi kantaa yhdistävät rinnakkaiset muodostavat sivupinnan.
Prismaelementit ja Eulerin lause
Koska tarkasteltavana oleva kolmiulotteinen kuvio on monitahoinen eli se muodostuu joukosta leikkaavia tasoja, sille on ominaista tietty määrä pisteitä, reunoja ja pintoja. Ne ovat kaikki prisman elementtejä.
1700-luvun puolivälissä sveitsiläinen matemaatikko Leonhard Euler loi yhteyden monitahoisen peruselementtien lukumäärän välille. Tämä suhde kirjoitetaan seuraavalla yksinkertaisella kaavalla:
Reunojen lukumäärä=kärkien lukumäärä + pintojen määrä - 2
Tämä tasa-arvo on totta kaikille prismille. Otetaan esimerkki sen käytöstä. Oletetaan, että on säännöllinen nelikulmainen prisma. Hän on kuvassa alla.
Voidaan nähdä, että sen kärkipisteiden määrä on 8 (4 kullekin nelikulmaiselle kannalle). Sivujen tai pintojen lukumäärä on 6 (2 pohjaa ja 4 sivusuorakulmiota). Silloin sen reunojen määrä on:
Ruokien lukumäärä=8 + 6 - 2=12
Kaikki ne voidaan laskea, jos viittaat samaan kuvaan. Kahdeksan reunaa on pohjien kohdalla ja neljä reunaa kohtisuorassa näihin pohjaan nähden.
Prismien täydellinen luokitus
Tämä luokittelu on tärkeää ymmärtää, jotta et joudu myöhemmin hämmentyneeseen terminologiaan ja käytä oikeita kaavoja laskeaksesi esimerkiksi kuvioiden pinta-alan tai tilavuuden.
Jokaiselle mieliv altaisen muotoiselle prismille voidaan erottaa 4 ominaisuutta, jotka kuvaavat sitä. Listataan ne:
- Monikulmion kulmien lukumäärän perusteella pohjassa: kolmio, viisikulmainen, kahdeksankulmainen ja niin edelleen.
- Monikulmiotyyppi. Se voi olla oikein tai väärin. Esimerkiksi suorakulmainen kolmio on epäsäännöllinen, mutta tasasivuinen kolmio on oikea.
- Monikulmion kuperuuden tyypin mukaan. Se voi olla kovera tai kupera. Kuperat prismat ovat yleisimpiä.
- Kaluston ja sivusuunnikalien välisissä kulmissa. Jos kaikki nämä kulmat ovat yhtä suuria kuin 90o, niin ne puhuvat suorasta prismasta, jos kaikki eivät ole oikein, niin sellaista kuvaa kutsutaan vinoksi.
Kaikista näistä kohdista haluaisin keskittyä viimeiseen. Suoraa prismaa kutsutaan myös suorakaiteen muotoiseksi prismaksi. Tämä johtuu siitä, että sille suunnikkaat ovat yleensä suorakulmioita (joissakin tapauksissa ne voivat olla neliöitä).
Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa on viisikulmainen kovera suorakaiteen muotoinen tai suora kuvio.
Tavallinen nelikulmainen prisma
Tämän prisman kanta on säännöllinen nelikulmio, eli neliö. Yllä oleva kuva on jo osoittanut, miltä tämä prisma näyttää. Lisäksi kaksi ruutua, että hänrajoita ylä- ja alaosaa, se sisältää myös 4 suorakulmiota.
Meritsetään säännöllisen nelikulmaisen prisman kannan sivua kirjaimella a, sen sivureunan pituus merkitään kirjaimella c. Tämä pituus on myös hahmon korkeus. Sitten tämän prisman koko pinnan pinta-ala ilmaistaan kaavalla:
S=2a2+ 4ac=2a(a + 2c)
Tässä ensimmäinen termi kuvaa emästen osuutta kokonaispinta-alasta, toinen termi on sivupinnan pinta-ala.
Ottaen huomioon sivujen pituuksien käyttöönotetut nimitykset, kirjoitamme kaavan kyseessä olevan kuvion tilavuudelle:
V=a2c
Toisin sanoen tilavuus lasketaan neliön pohjan pinta-alan ja sivureunan pituuden tulona.
Kuution muoto
Kaikki tuntevat tämän ihanteellisen kolmiulotteisen hahmon, mutta harvat ihmiset ajattelivat, että se on säännöllinen nelikulmainen prisma, jonka sivu on yhtä suuri kuin neliön kannan sivun pituus, eli c=a.
Kuution kokonaispinta-alan ja tilavuuden kaavat ovat muotoa:
S=6a2
V=a3
Koska kuutio on prisma, joka koostuu kuudesta identtisestä neliöstä, mitä tahansa niiden rinnakkaista paria voidaan pitää kantana.
Kuutio on erittäin symmetrinen hahmo, joka luonnossa toteutuu monien metallimateriaalien ja ionikiteiden kidehilojen muodossa. Esimerkiksi kullan, hopean, kuparin ja pöydän ristikotsuolat ovat kuutioisia.
