Dihedral-kulmat ja niiden laskentakaava. Dihedraalinen kulma nelikulmaisen säännöllisen pyramidin pohjassa

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-02 17:46

Geometriassa kuvioiden tutkimiseen käytetään kahta tärkeää ominaisuutta: sivujen pituuksia ja niiden välisiä kulmia. Tilakuvioiden tapauksessa näihin ominaisuuksiin lisätään dihedraaliset kulmat. Mietitään, mikä se on, ja kuvataan myös menetelmä näiden kulmien määrittämiseksi pyramidin esimerkin avulla.

Dihedraalikulman käsite

Kaikki tietävät, että kaksi leikkaavaa suoraa muodostavat kulman leikkauspisteensä kärjen kanssa. Tämä kulma voidaan mitata astemittarilla tai laskea se trigonometristen funktioiden avulla. Kahden suoran kulman muodostamaa kulmaa kutsutaan lineaariseksi.

Kuvittele nyt, että kolmiulotteisessa avaruudessa on kaksi tasoa, jotka leikkaavat suorassa viivassa. Ne näkyvät kuvassa.

Dihedraalinen kulma on kahden leikkaavan tason välinen kulma. Aivan kuten lineaarinen, se mitataan asteina tai radiaaneina. Jos mihin tahansa pisteeseen viivalla, jota pitkin tasot leikkaavat, palauta kaksi kohtisuoraa,näissä tasoissa, niin niiden välinen kulma on haluttu kaksitahoinen. Helpoin tapa määrittää tämä kulma on käyttää tasojen yleisiä yhtälöitä.

Tasojen yhtälö ja niiden välisen kulman kaava

Mikä tahansa avaruuden tason yhtälö kirjoitetaan yleisesti seuraavasti:

A × x + B × y + C × z + D=0.

Tässä x, y, z ovat tasoon kuuluvien pisteiden koordinaatit, kertoimet A, B, C, D ovat joitain tunnettuja lukuja. Tämän yhtälön mukavuus dihedraalisten kulmien laskennassa on, että se sisältää eksplisiittisesti tason suuntavektorin koordinaatit. Merkitsemme sen n¯:lla. Sitten:

n¯=(A; B; C).

Vektori n¯ on kohtisuorassa tasoon nähden. Kahden tason välinen kulma on yhtä suuri kuin niiden suuntavektorien n₁¯ ja n₂¯ välinen kulma. Matematiikasta tiedetään, että kahden vektorin muodostama kulma määräytyy yksiselitteisesti niiden skalaaritulosta. Tämän avulla voit kirjoittaa kaavan kahden tason välisen dihedraalikulman laskemiseksi:

φ=arccos (|(n₁¯ × n₂¯)| / (|n₁ ¯| × |n₂¯|)).

Jos korvaamme vektorien koordinaatit, kaava kirjoitetaan eksplisiittisesti:

φ=arccos (|A₁ × A₂ + B₁ × B ₂ + C₁ × C₂| / (√(A₁ 2 ^{+ B}12 ^{+ C}12 ^{) × √(A}22^+B22 ^{+ C}22^))).

Osoittimen modulo-merkkiä käytetään vain terävän kulman määrittämiseen, koska kaksitahoinen kulma on aina pienempi tai yhtä suuri kuin 90^o.

Pyramidi ja sen kulmat

Pyramidi on kuvio, joka muodostuu yhdestä n-kulmiosta ja n kolmiosta. Tässä n on kokonaisluku, joka on yhtä suuri kuin monikulmion sivujen lukumäärä, joka on pyramidin kanta. Tämä tilahahmo on monitahoinen tai monitahoinen, koska se koostuu litteistä pinnoista (sivuista).

Pyramidi-polyedrin kaksitahoisia kulmia voi olla kahta tyyppiä:

• kannan ja sivun välissä (kolmio);
• kahden puolen välissä.

Jos pyramidia pidetään säännöllisenä, sille on helppo määrittää nimetyt kulmat. Tätä varten on laadittava tasojen yhtälö käyttämällä kolmen tunnetun pisteen koordinaatteja ja käytettävä sitten kulman φ.

yllä olevassa kappaleessa annettua kaavaa.

Alla annamme esimerkin, jossa näytämme kuinka löytää kaksikulmaiset kulmat nelikulmaisen säännöllisen pyramidin pohjasta.

Nelikulmainen säännöllinen pyramidi ja kulma sen pohjassa

Oletetaan, että annetaan säännöllinen pyramidi, jolla on neliömäinen kanta. Neliön sivun pituus on a, kuvion korkeus on h. Etsi pyramidin kannan ja sivun välinen kulma.

Asetetaan koordinaattijärjestelmän origo neliön keskelle. Sitten pisteiden koordinaatitKuvassa näkyvät A, B, C, D ovat:

A=(a/2; -a/2; 0);

B=(a/2; a/2; 0);

C=(-a/2; a/2; 0);

D=(0; 0; h).

Tarkastellaan tasoja ACB ja ADB. Ilmeisesti ACB-tason suuntavektori n₁¯ on:

₁¯=(0; 0; 1).

Määrittääksesi ADB-tason suuntavektorin n₂¯, toimi seuraavasti: etsi kaksi siihen kuuluvaa mieliv altaista vektoria, esimerkiksi AD¯ ja AB¯, laske sitten heidän vektorityönsä. Sen tulos antaa koordinaatit n₂¯. Meillä on:

AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);

AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);

₂¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a²/2).

Koska vektorin kertominen ja jakaminen luvulla ei muuta sen suuntaa, muunnamme tuloksena olevan n₂¯ jakamalla sen koordinaatit -a:lla, saamme:

₂¯=(h; 0; a/2).

Olemme määrittäneet vektoriohjaimet n₁¯ ja n₂¯ ACB-kanta- ja ADB-sivutasoille. Jää käyttää kaavaa kulman φ:

φ=arccos (|(n₁¯ × n₂¯)| / (|n₁ ¯| × |n₂¯|))=arccos (a / (2 × √h^¯ + a 2^/4)).

Muunna tuloksena oleva lauseke ja kirjoita se uudelleen seuraavasti:

φ=arccos (a / √(a²+ 4 × h²)).

Olemme saaneet kaavan säännöllisen nelikulmaisen pyramidin kaksikulmaiselle kannalle. Kun tiedät kuvan korkeuden ja sen sivun pituuden, voit laskea kulman φ. Esimerkiksi Cheopsin pyramidissa, jonka pohjasivu on 230,4 metriä ja alkukorkeus 146,5 metriä, kulma φ on 51,8^o.

Nelikulmaisen säännöllisen pyramidin dihedral-kulma voidaan määrittää myös geometrisella menetelmällä. Tätä varten riittää, kun tarkastellaan suorakulmaista kolmiota, jonka muodostaa korkeus h, puolet kantan pituudesta a/2 ja tasakylkisen kolmion apoteemi.