Geometriassa pisteen jälkeen suora on ehkä yksinkertaisin elementti. Sitä käytetään kaikkien monimutkaisten hahmojen rakentamisessa tasossa ja kolmiulotteisessa tilassa. Tässä artikkelissa tarkastellaan suoran yleistä yhtälöä ja ratkaistaan muutama ongelma sen avulla. Aloitetaan!
Suora geometriassa
Kaikki tietävät, että muodot, kuten suorakulmio, kolmio, prisma, kuutio ja niin edelleen, muodostuvat leikkaavista suorista viivoista. Geometriassa suora on yksiulotteinen kohde, joka voidaan saada siirtämällä tietty piste vektoriin, jolla on sama tai vastakkainen suunta. Ymmärtääksesi tätä määritelmää paremmin, kuvittele, että avaruudessa on jokin piste P. Otetaan mieliv altainen vektori u¯ tähän avaruuteen. Sitten mikä tahansa suoran piste Q voidaan saada seuraavien matemaattisten operaatioiden tuloksena:
Q=P + λu¯.
Tässä λ on mieliv altainen luku, joka voi olla positiivinen tai negatiivinen. Jos tasa-arvokirjoita yllä koordinaatteina, niin saamme seuraavan suoran yhtälön:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Tätä yhtälöä kutsutaan suoran yhtälöksi vektorimuodossa. Ja vektoria u¯ kutsutaan oppaaksi.
Yleinen yhtälö suorasta tasosta
Jokainen opiskelija voi kirjoittaa sen muistiin ilman vaikeuksia. Mutta useimmiten yhtälö kirjoitetaan näin:
y=kx + b.
Missä k ja b ovat mieliv altaisia lukuja. Numeroa b kutsutaan vapaaksi jäseneksi. Parametri k on yhtä suuri kuin suoran ja x-akselin leikkauspisteen muodostaman kulman tangentti.
Yllä oleva yhtälö ilmaistaan suhteessa muuttujaan y. Jos esitämme sen yleisemmässä muodossa, saamme seuraavan merkinnän:
Ax + By + C=0.
On helppo osoittaa, että tämä suoran yleisen yhtälön tasolle kirjoittamisen muoto on helppo muuntaa edelliseen muotoon. Tätä varten vasen ja oikea osa tulee jakaa kertoimella B ja ilmaista y.
Yllä oleva kuva näyttää kahden pisteen kautta kulkevan suoran.
Viiva 3D-avaruudessa
Jatketaan tutkimusta. Pohdimme kysymystä siitä, kuinka suoran yhtälö yleisessä muodossa annetaan tasossa. Jos käytämme artikkelin edellisessä kappaleessa annettua merkintää spatiaaliseen tapaukseen, mitä saamme? Kaikki on yksinkertaista - ei enää suora, vaan taso. Todellakin, seuraava lauseke kuvaa tasoa, joka on yhdensuuntainen z-akselin kanssa:
Ax + By + C=0.
Jos C=0, niin tällainen taso kulkeez-akselin läpi. Tämä on tärkeä ominaisuus.
Kuinka sitten olla avaruuden suoran yleisen yhtälön kanssa? Ymmärtääksesi, kuinka sitä kysytään, sinun on muistettava jotain. Kaksi tasoa leikkaavat tietyn suoran. Mitä tämä tarkoittaa? Vain se, että yleinen yhtälö on tulos kahden yhtälöjärjestelmän ratkaisemisesta tasoille. Kirjoitetaan tämä järjestelmä:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Tämä järjestelmä on avaruuden suoran yleinen yhtälö. Huomaa, että tasot eivät saa olla yhdensuuntaisia toistensa kanssa, eli niiden normaalivektorien on oltava vinossa jossain kulmassa toisiinsa nähden. Muuten järjestelmällä ei ole ratkaisuja.
Yllä annoimme yhtälön vektorimuodon suoralle viivalla. Sitä on kätevä käyttää tämän järjestelmän ratkaisemisessa. Tätä varten sinun on ensin löydettävä näiden tasojen normaalien vektoritulo. Tämän operaation tulos on suoran suuntavektori. Sitten mikä tahansa linjaan kuuluva piste tulee laskea. Tätä varten sinun on asetettava mikä tahansa muuttuja tietyn arvon suuruiseksi, kaksi jäljellä olevaa muuttujaa löytyy ratkaisemalla pelkistetty järjestelmä.
Kuinka kääntää vektoriyhtälö yleiseksi? Vivahteita
Tämä on todellinen ongelma, joka voi syntyä, jos sinun on kirjoitettava suoran yleinen yhtälö käyttämällä kahden pisteen tunnettuja koordinaatteja. Näytämme esimerkin avulla, kuinka tämä ongelma ratkaistaan. Olkoon kahden pisteen koordinaatit tiedossa:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Yhtälö vektorimuodossa on melko helppo muodostaa. Suuntavektorin koordinaatit ovat:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Huomaa, että jos vähennämme Q-koordinaatit pisteen P koordinaateista, ei ole eroa, vektori muuttaa suuntaa vain päinvastaiseksi. Nyt sinun pitäisi ottaa mikä tahansa piste ja kirjoittaa muistiin vektoriyhtälö:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Yleisen suoran yhtälön kirjoittamiseksi parametri λ tulee ilmaista molemmissa tapauksissa. Ja sitten vertaa tuloksia. Meillä on:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Jäälle jää vain avata sulut ja siirtää kaikki yhtälön ehdot yhtälön toiselle puolelle, jotta saadaan yleinen lauseke kahden tunnetun pisteen kautta kulkevalle suoralle.
Kolmiulotteisen ongelman tapauksessa ratkaisualgoritmi säilyy, vain sen tulos on kahden yhtälön järjestelmä tasoille.
Tehtävä
On tarpeen tehdä yleinen yhtälösuora, joka leikkaa x-akselin kohdassa (-3, 0) ja on yhdensuuntainen y-akselin kanssa.
Aloitetaan ongelman ratkaiseminen kirjoittamalla yhtälö vektorimuodossa. Koska suora on yhdensuuntainen y-akselin kanssa, sen suuntavektori on seuraava:
u¯=(0, 1).
Sitten haluttu rivi kirjoitetaan seuraavasti:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Käännetään nyt tämä lauseke yleiseen muotoon, tätä varten ilmaistaan parametri λ:
- x=-3;
- y=λ.
Siten mikä tahansa muuttujan y arvo kuuluu riville, mutta vain muuttujan x yksittäinen arvo vastaa sitä. Siksi yleinen yhtälö on muodossa:
x + 3=0.
Ongelma suorassa avaruudessa
Tiedetään, että kaksi leikkaavaa tasoa annetaan seuraavilla yhtälöillä:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
On tarpeen löytää vektoriyhtälö suoralle, jota pitkin nämä tasot leikkaavat. Aloitetaan.
Kuten sanottiin, suoran suoran yleinen yhtälö kolmiulotteisessa avaruudessa on jo annettu kahden ja kolmen tuntemattoman järjestelmän muodossa. Ensinnäkin määritämme suuntavektorin, jota pitkin tasot leikkaavat. Kerrotaan normaalien vektorikoordinaatit tasoilla, saadaan:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Koska vektorin kertominen negatiivisella luvulla kääntää sen suunnan, voimme kirjoittaa:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Tovektorilausekkeen löytämiseksi suoralle viivalle pitäisi suuntavektorin lisäksi tietää jokin tämän suoran piste. Etsi, koska sen koordinaattien on täytettävä yhtälöjärjestelmä tehtävän ehdossa, niin löydämme ne. Laitetaan esimerkiksi x=0, niin saadaan:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Siten halutun suoran pisteellä on koordinaatit:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Sitten saamme vastauksen tähän ongelmaan, halutun suoran vektoriyhtälö näyttää tältä:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Ratkaisun oikeellisuus voidaan helposti tarkistaa. Tätä varten sinun on valittava mieliv altainen arvo parametrille λ ja korvattava saadut suoran pisteen koordinaatit molemmissa tasojen yhtälöissä, saat identiteetin molemmissa tapauksissa.
