Lento avaruudessa. Lentokoneiden sijainti avaruudessa

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-02 17:46

Taso on geometrinen kohde, jonka ominaisuuksia käytetään pisteiden ja suorien projektioiden muodostamisessa sekä kolmiulotteisten kuvioiden elementtien välisten etäisyyksien ja dihedraalisten kulmien laskemisessa. Pohditaan tässä artikkelissa, mitä yhtälöitä voidaan käyttää tasojen sijainnin tutkimiseen avaruudessa.

Tason määritelmä

Jokainen kuvittelee intuitiivisesti, mistä aiheesta keskustellaan. Geometri alta katsottuna taso on joukko pisteitä, joiden välissä olevien vektorien on oltava kohtisuorassa johonkin vektoriin nähden. Esimerkiksi, jos avaruudessa on m eri pistettä, niin niistä voidaan tehdä m(m-1) / 2 erilaista vektoria, jotka yhdistävät pisteet pareittain. Jos kaikki vektorit ovat kohtisuorassa johonkin suuntaan, niin tämä on riittävä ehto, että kaikki pisteet m kuuluvat samaan tasoon.

Yleinen yhtälö

Avaruusgeometriassa tasoa kuvataan yhtälöillä, jotka sisältävät yleensä kolme tuntematonta koordinaattia, jotka vastaavat x-, y- ja z-akseleita. Vastaanottajasaada yleinen yhtälö tasokoordinaateina avaruudessa, oletetaan, että on olemassa vektori n¯(A; B; C) ja piste M(x₀; y₀; z_{0). Näitä kahta kohdetta käyttämällä taso voidaan määrittää yksilöllisesti.}

Todellakin, oletetaan, että on jokin toinen piste P(x; y; z), jonka koordinaatit ovat tuntemattomia. Yllä annetun määritelmän mukaan vektorin MP¯ tulee olla kohtisuorassa n¯:n suhteen, eli niiden skalaaritulo on nolla. Sitten voimme kirjoittaa seuraavan lausekkeen:

(n¯MP¯)=0 tai

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Avaa sulut ja lisää uusi kerroin D, saamme lausekkeen:

Ax + By + Cz + D=0 missä D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Tätä lauseketta kutsutaan tason yleiseksi yhtälöksi. On tärkeää muistaa, että kertoimet x:n, y:n ja z:n edessä muodostavat vektorin n¯(A; B; C) koordinaatit kohtisuorassa tasoon nähden. Se on sama kuin normaali ja on opas koneelle. Yleisen yhtälön määrittämiseksi ei ole väliä mihin tämä vektori on suunnattu. Eli vektoreille n¯ ja -n¯ rakennetut tasot ovat samat.

Yllä olevassa kuvassa on taso, sille normaali vektori ja viiva, joka on kohtisuorassa tasoon nähden.

Akseleiden tason ja vastaavan yhtälön leikkaamat segmentit

Yleinen yhtälö mahdollistaa yksinkertaisten matemaattisten operaatioiden määrittämisenmissä kohdissa taso leikkaa koordinaattiakselit. On tärkeää tietää nämä tiedot, jotta sinulla on käsitys tason sijainnista avaruudessa, samoin kuin kuvattaessa sitä piirustuksissa.

Nimettyjen leikkauspisteiden määrittämiseksi käytetään segmenttien yhtälöä. Sitä kutsutaan niin, koska se sisältää eksplisiittisesti koordinaattiakseleiden tason leikkaamien segmenttien pituuksien arvot laskettaessa pisteestä (0; 0; 0). Otetaan tämä yhtälö.

Kirjoita tason yleinen lauseke seuraavasti:

Ax + By + Cz=-D

Vasen ja oikea osa voidaan jakaa -D:llä tasa-arvoa loukkaamatta. Meillä on:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 tai

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Suunnittele kunkin termin nimittäjät uudella symbolilla, saamme:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C sitten

x/p + y/q + z/r=1

Tämä on yllä mainittu yhtälö segmenteissä. Siitä seuraa, että kunkin termin nimittäjän arvo ilmaisee leikkauspisteen koordinaatin tason vastaavan akselin kanssa. Se esimerkiksi leikkaa y-akselin pisteessä (0; q; 0). Tämä on helppo ymmärtää, jos korvaat yhtälön nolla-x- ja z-koordinaatit.

Huomaa, että jos yhtälössä ei ole muuttujaa segmenteissä, tämä tarkoittaa, että taso ei leikkaa vastaavaa akselia. Jos esimerkiksi annetaan lauseke:

x/p + y/q=1

Tämä tarkoittaa, että taso katkaisee segmentit p ja q x- ja y-akselilta, vastaavasti, mutta se on yhdensuuntainen z-akselin kanssa.

Johtopäätös koneen käyttäytymisestä milloinjonkin muuttujan puuttuminen hänen yhtälössään pätee myös yleistyyppiselle lausekkeelle, kuten alla olevasta kuvasta näkyy.

Vektoriparametrinen yhtälö

On olemassa kolmannen tyyppinen yhtälö, joka mahdollistaa tason kuvaamisen avaruudessa. Sitä kutsutaan parametrivektoriksi, koska se annetaan kahdella tasolla olevalla vektorilla ja kahdella parametrilla, jotka voivat saada mieliv altaisia riippumattomia arvoja. Näytämme, kuinka tämä yhtälö voidaan saada.

Oletetaan pari tunnettua vektoria u ¯(a₁; b₁; c₁) ja v¯(a₂; b₂; c₂). Jos ne eivät ole yhdensuuntaisia, niitä voidaan käyttää tietyn tason asettamiseen kiinnittämällä jonkin näistä vektoreista tunnettuun pisteeseen M(x₀; y₀; z_{0). Jos mieliv altainen vektori MP¯ voidaan esittää lineaaristen vektorien u¯ ja v¯ yhdistelmänä, tämä tarkoittaa, että piste P(x; y; z) kuuluu samaan tasoon kuin u¯, v¯. Siten voimme kirjoittaa yhtäläisyyden:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Tai kirjoittamalla tämä yhtäläisyys koordinaatteina, saamme:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

Esitetty yhtälö on tason parametrinen vektoriyhtälö. ATvektoriavaruutta tasolla u¯ ja v¯ kutsutaan generaattoreiksi.

Seuraavaksi tehtävää ratkaistaessa näytetään, kuinka tämä yhtälö voidaan pelkistää tason yleismuotoon.

Avaruuden tasojen välinen kulma

Intuitiivisesti 3D-avaruudessa olevat tasot voivat joko leikata tai ei. Ensimmäisessä tapauksessa on mielenkiintoista löytää niiden välinen kulma. Tämän kulman laskeminen on vaikeampaa kuin viivojen välisen kulman, koska puhumme dihedraalisesta geometrisestä objektista. Kuitenkin jo mainittu koneen opasvektori tulee apuun.

Geometrisesti on todettu, että kahden leikkaavan tason välinen dihedraalinen kulma on täsmälleen sama kuin niiden ohjausvektorien välinen kulma. Merkitään nämä vektorit muodossa n¯(a₁; b₁; c_{1) ja n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). Niiden välisen kulman kosini määritetään skalaaritulosta. Eli itse tasojen välisessä tilassa oleva kulma voidaan laskea kaavalla:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Tässä nimittäjässä olevaa moduulia käytetään hylkäämään tylpän kulman arvo (leikkautuvien tasojen välillä se on aina pienempi tai yhtä suuri kuin 90o).

Koordinaattimuodossa tämä lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Tasot kohtisuorassa ja yhdensuuntaisessa

Jos tasot leikkaavat toisiaan ja niiden muodostama kaksitahoinen kulma on 90o, ne ovat kohtisuorassa. Esimerkki tällaisista tasoista on suorakaiteen muotoinen prisma tai kuutio. Nämä hahmot muodostuvat kuudesta tasosta. Nimettyjen kuvioiden jokaisessa kärjessä on kolme toisiaan vastaan kohtisuorassa olevaa tasoa.

Jotta saadaan selville, ovatko tarkastelut tasot kohtisuorassa, riittää laskea niiden normaalivektorien skalaaritulo. Riittävä ehto kohtisuoralle tasoavaruudessa on tämän tulon nolla-arvo.

Rinnakkaisita kutsutaan ei-leikkaaviksi tasoiksi. Joskus sanotaan myös, että yhdensuuntaiset tasot leikkaavat äärettömässä. Tasoavaruuden yhdensuuntaisuuden ehto on sama kuin suuntavektorien n₁¯ ja n_{2¯. Voit tarkistaa sen kahdella tavalla:}

1. Laske dihedraalisen kulman kosini (cos(φ)) käyttämällä skalaarituloa. Jos tasot ovat yhdensuuntaiset, arvo on 1.
2. Yritä esittää yksi vektori toisen kautta kertomalla jollakin numerolla, eli n₁¯=kn_{2¯. Jos tämä voidaan tehdä, vastaavat tasot ovatrinnakkain.}

Kuvassa on kaksi yhdensuuntaista tasoa.

Annetaan nyt esimerkkejä kahden mielenkiintoisen ongelman ratkaisemisesta saatujen matemaattisten tietojen avulla.

Kuinka saada yleinen muoto vektoriyhtälöstä?

Tämä on parametrinen vektorilauseke tasolle. Jotta operaatioiden kulun ja käytettävien matemaattisten temppujen ymmärtäminen olisi helpompaa, harkitse konkreettista esimerkkiä:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Laajenna tämä lauseke ja ilmaise tuntemattomat parametrit:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Sitten:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Avaamalla viimeisen lausekkeen sulut, saamme:

z=2x-2 + 3y - 6 tai

2x + 3y - z - 8=0

Olemme saaneet yhtälön yleisen muodon tehtävälausekkeessa määritellylle tasolle vektorimuodossa

Kuinka rakentaa taso kolmen pisteen läpi?

Voidaan piirtää yksi taso kolmen pisteen läpi, jos nämä pisteet eivät kuulu johonkin yksittäiseen suoraan. Algoritmi tämän ongelman ratkaisemiseksi koostuu seuraavasta toimintosarjasta:

• etsi kahden vektorin koordinaatit yhdistämällä tunnetut pisteet pareittain;
• laske heidän ristitulonsa ja hanki tasoon nähden normaalivektori;
• kirjoita yleinen yhtälö käyttämällä löydettyä vektoria jamikä tahansa kolmesta pisteestä.

Otetaan konkreettinen esimerkki. Annetut pisteet:

R(1; 2; 0), P(0; -3; 4), Q(1; -2; 2)

Kahden vektorin koordinaatit ovat:

RP¯(-1; -5; 4), PQ¯(1; 1; -2)

Heidän ristiintuotteensa on:

n¯=[RP¯PQ¯]=(6; 2; 4)

Ottamalla pisteen R koordinaatit, saamme vaaditun yhtälön:

6x + 2y + 4z -10=0 tai

3x + y + 2z -5=0

On suositeltavaa tarkistaa tuloksen oikeellisuus korvaamalla kahden jäljellä olevan pisteen koordinaatit tähän lausekkeeseen:

P:lle: 30 + (-3) + 24 -5=0;

Q:lle: 31 + (-2) + 22 -5=0

Huomaa, että vektorituloa ei voitu löytää, vaan tason yhtälö kirjoitetaan heti muistiin parametrivektorimuodossa.