Stereometria on geometrian osa, joka tutkii kuvioita, jotka eivät ole samassa tasossa. Yksi stereometrian tutkimuskohteista on prismat. Artikkelissa annamme prisman määritelmän geometrisesta näkökulmasta ja luetellaan myös lyhyesti sille ominaiset ominaisuudet.
Geometrinen kuvio
Prisman määritelmä geometriassa on seuraava: se on tilahahmo, joka koostuu kahdesta identtisestä n-kulmiosta, jotka sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa ja jotka on yhdistetty toisiinsa kärkipisteillään.
Prisman saaminen on helppoa. Kuvittele, että on kaksi identtistä n-kulmiota, missä n on sivujen tai pisteiden lukumäärä. Asetetaan ne niin, että ne ovat yhdensuuntaisia toistensa kanssa. Tämän jälkeen yhden polygonin kärjet tulee yhdistää toisen monikulmion vastaaviin kärkipisteisiin. Muodostuva kuvio koostuu kahdesta n-kulmaisesta sivusta, joita kutsutaan kantaviksi, ja n nelikulmaisesta sivusta, jotka ovat yleensä suunnikkaita. Suunkkaiden joukko muodostaa kuvion sivupinnan.
On vielä yksi tapa saada kyseinen kuvio geometrisesti. Joten jos otamme n-kulmion ja siirrämme sen toiselle tasolle käyttämällä samanpituisia yhdensuuntaisia segmenttejä, niin uudessa tasossa saamme alkuperäisen monikulmion. Sekä polygonit että kaikki niiden huipuista vedetyt yhdensuuntaiset segmentit muodostavat prisman.
Yllä olevassa kuvassa on kolmiomainen prisma. Sitä kutsutaan nimellä, koska sen kantat ovat kolmioita.
Elementit, jotka muodostavat hahmon
Yllä annettiin prisman määritelmä, josta käy selvästi ilmi, että hahmon pääelementit ovat sen pinnat tai sivut, jotka rajoittavat kaikkia prisman sisäisiä pisteitä ulkoavaruudesta. Mikä tahansa tarkasteltavan hahmon pinta kuuluu johonkin kahdesta tyypistä:
- sivu;
- perusteet.
Sivukappaleita on n, ja ne ovat suunnikkaat tai niiden tietyt tyypit (suorakulmiot, neliöt). Yleensä sivupinnat eroavat toisistaan. Pohjalla on vain kaksi pintaa, ne ovat n-kulmia ja ovat keskenään yhtä suuret. Siten jokaisella prismalla on n+2 sivua.
Figuurille on ominaista sivujen lisäksi sen kärkipisteet. Ne ovat pisteitä, joissa kolme kasvoa koskettavat samanaikaisesti. Lisäksi kaksi kolmesta pinnasta kuuluu aina sivupintaan ja yksi - pohjaan. Siten prismassa ei ole erikseen valittua yhtä kärkeä, koska esimerkiksi pyramidissa ne kaikki ovat samanarvoisia. Kuvan kärkien lukumäärä on 2n (n kappaletta jokaisellesyy).
Lopuksi prisman kolmas tärkeä elementti ovat sen reunat. Nämä ovat tietyn pituisia segmenttejä, jotka muodostuvat kuvion sivujen risteyksen seurauksena. Kuten kasvot, myös reunoilla on kaksi eri tyyppiä:
- tai vain sivujen muodostama;
- tai näkyvät suunnikkaan ja n-kulmaisen kannan sivun risteyksessä.
Reunojen lukumäärä on siis 3n, ja niistä 2n on toista tyyppiä.
Prismatyypit
Prismat voidaan luokitella useilla tavoilla. Ne kaikki perustuvat kuitenkin kahteen hahmon ominaisuuteen:
- n-hiilipohjan tyypistä;
- sivutyypissä.
Käännytään ensin toiseen ominaisuuteen ja määritellään suora ja vino prisma. Jos ainakin yksi sivu on yleisen tyyppinen suuntaviiva, niin kuvaa kutsutaan vinoksi tai vinoksi. Jos kaikki suunnikkaat ovat suorakulmioita tai neliöitä, niin prisma on suora.
Suoran prisman määritelmä voidaan antaa myös hieman eri tavalla: suora kuvio on prisma, jonka sivureunat ja pinnat ovat kohtisuorassa kantaansa nähden. Kuvassa on kaksi nelikulmaista hahmoa. Vasen on suora, oikea on vino.
Siirrytään nyt luokitteluun pohjassa olevan n-gonin tyypin mukaan. Sillä voi olla samat sivut ja kulmat tai erilaiset. Ensimmäisessä tapauksessa monikulmiota kutsutaan säännölliseksi. Jos tarkasteltavana oleva kuvio sisältää monikulmion, jolla on yhtä suurisivut ja kulmat ja on suora, niin sitä kutsutaan oikeaksi. Tämän määritelmän mukaan säännöllisen prisman pohjassa voi olla tasasivuinen kolmio, neliö, säännöllinen viisikulmio tai kuusikulmio ja niin edelleen. Luettelo oikeat luvut näkyvät kuvassa.
Prismojen lineaariset parametrit
Seuraavia parametreja käytetään kuvaamaan tarkasteltavien kuvien kokoa:
- korkeus;
- pohjasivut;
- sivuribien pituudet;
- 3D-lävistäjät;
- diagonaaliset sivut ja pohjat.
Tavallisissa prismoissa kaikki nimetyt suureet liittyvät toisiinsa. Esimerkiksi sivuripojen pituudet ovat samat ja samat kuin korkeus. Tietylle n-kulmaiselle säännölliselle kuviolle on olemassa kaavoja, joiden avulla voit määrittää loput millä tahansa kahdella lineaarisella parametrilla.
Muotoile pinta
Jos viitataan yllä olevaan prisman määritelmään, ei ole vaikeaa ymmärtää, mitä kuvion pinta edustaa. Pinta on kaikkien kasvojen pinta-ala. Suoralle prismmalle se lasketaan kaavalla:
S=2So + Poh
jossa So on kannan pinta-ala, Po on n-kulman ympärysmitta pohjassa, h on korkeus (jalkojen välinen etäisyys).
Kuvan tilavuus
Pinnan ohella harjoittelua varten on tärkeää tietää prisman tilavuus. Se voidaan määrittää seuraavalla kaavalla:
V=Soh
Tämälauseke pätee täysin kaikenlaisille prismille, mukaan lukien vinot ja epäsäännöllisten monikulmioiden muodostamat prismat.
Tavallisten prismien tilavuus on pohjan sivun pituuden ja kuvion korkeuden funktio. Vastaavan n-kulmaisen prisman kaavalla V on konkreettinen muoto.
