Kuusikulmaisen pyramidin tilavuuden kaava: esimerkki ongelman ratkaisemisesta

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-02 17:46

Avaruuskuvioiden tilavuuksien laskenta on yksi stereometrian tärkeistä tehtävistä. Tässä artikkelissa tarkastelemme kysymystä tällaisen monitahoisen tilavuuden määrittämisestä pyramidiksi ja annamme myös kaavan säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin tilavuudelle.

kuusikulmainen pyramidi

Katsotaan ensin, mikä luku on, jota käsitellään artikkelissa.

Otetaan mieliv altainen kuusikulmio, jonka sivut eivät välttämättä ole yhtä suuret toistensa kanssa. Oletetaan myös, että olemme valinneet avaruuden pisteen, joka ei ole kuusikulmion tasossa. Yhdistämällä kaikki jälkimmäisen kulmat valittuun pisteeseen, saamme pyramidin. Kaksi erilaista pyramidia, joissa on kuusikulmainen kanta, on esitetty alla olevassa kuvassa.

Voidaan nähdä, että kuusikulmion lisäksi kuvio koostuu kuudesta kolmiosta, joiden liitoskohtaa kutsutaan kärjeksi. Ero kuvattujen pyramidien välillä on, että niiden oikeanpuoleisen korkeus h ei leikkaa kuusikulmaista kantaa sen geometrisessa keskipisteessä ja vasemman hahmon korkeus putoaaaivan tuossa keskustassa. Tämän kriteerin ansiosta vasenta pyramidia kutsuttiin suoraksi ja oikeaa viistoksi.

Koska kuvion vasemman hahmon kanta muodostuu kuusikulmiosta, jonka sivut ja kulmat ovat yhtä suuret, sitä kutsutaan oikeaksi. Artikkelissa puhumme vain tästä pyramidista.

Kuusikulmaisen pyramidin tilavuus

Mieliv altaisen pyramidin tilavuuden laskemiseksi käy seuraava kaava:

V=1/3hS_o

Tässä h on kuvion korkeuden pituus, S_{o on sen pohjan pinta-ala. Määritetään säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin tilavuus tällä lausekkeella.}

Koska tarkasteltava kuvio perustuu tasasivuiseen kuusikulmioon, voit laskea sen pinta-alan käyttämällä seuraavaa yleislauseketta n-kulmiolle:

S=n/4a2ctg(pi/n)

Tässä n on kokonaisluku, joka on yhtä suuri kuin monikulmion sivujen (kulmien) lukumäärä, a on sen sivun pituus, kotangenttifunktio lasketaan asianmukaisten taulukoiden avulla.

Käyttämällä lauseketta arvolle n=6, saamme:

S₆=6/4a² ctg(pi/6)=√3/2a ²

Nyt on vielä korvattava tämä lauseke volyymin V yleiseen kaavaan:

V₆=S₆h=√3/2ha²

Täten tarkasteltavan pyramidin tilavuuden laskemiseksi on tiedettävä sen kaksi lineaarista parametria: pohjan sivun pituus ja kuvion korkeus.

Esimerkki ongelmanratkaisusta

Näytetään, kuinka saatua lauseketta V_{6 voidaan käyttää seuraavan ongelman ratkaisemiseen.}

Tiedetään, että säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin tilavuus on 100 cm3. Kuvan pohjan sivu ja korkeus on määritettävä, jos tiedetään, että ne liittyvät toisiinsa seuraavalla yhtäläisyydellä:

a=2t

Koska vain a ja h sisältyvät tilavuuden kaavaan, mikä tahansa näistä parametreista voidaan korvata sillä, ilmaistuna toisella. Esimerkiksi korvaamalla a, saamme:

V₆=√3/2h(2h)^2=>

h=∛(V_6/(2√3))

Löytääksesi hahmon korkeuden arvon, sinun on otettava tilavuudesta kolmannen asteen juuri, joka vastaa pituuden mittaa. Korvaamme pyramidin tilavuusarvon V_{6 ongelmalausekkeesta, saamme korkeuden:}

h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm

Koska alustan sivu on ongelman tilanteen mukaan kaksinkertainen löydetty arvo, saamme arvon sille:

a=2t=23, 0676=6, 1352cm

Kuusikulmaisen pyramidin tilavuus löytyy paitsi kuvion korkeuden ja sen pohjan sivun arvon perusteella. Sen laskemiseen riittää tietää kaksi erilaista pyramidin lineaarista parametria, esimerkiksi apoteema ja sivureunan pituus.