Jokainen lukion stereometriaa tutkiva opiskelija törmäsi kartioon. Tämän tilakuvan kaksi tärkeää ominaisuutta ovat pinta-ala ja tilavuus. Tässä artikkelissa näytämme, kuinka pyöreän kartion tilavuus selviää.
Pyöreä kartio suorakulmaisen kolmion kiertokuvana
Ennen kuin siirryt suoraan artikkelin aiheeseen, on tarpeen kuvata kartio geometrisesta näkökulmasta.
Olkoon joku suorakulmainen kolmio. Jos käännät sitä minkä tahansa jalan ympäri, tämän toiminnon tulos on haluttu kuva, joka näkyy alla olevassa kuvassa.
Tässä jalka AB on osa kartion akselia ja sen pituus vastaa kuvion korkeutta. Toinen haara (segmentti CA) on kartion säde. Pyörityksen aikana se kuvaa ympyrää, joka rajoittaa kuvion pohjaa. Hypotenuusaa BC kutsutaan kuvion generatriksiksi tai sen generatriksiksi. Piste B on kartion ainoa kärki.
Kun otetaan huomioon kolmion ABC ominaisuudet, voidaan kirjoittaa generaattorin g, säteen r ja korkeuden h välinen suhde seuraavastitasa-arvo:
g2=h2+ r2
Tämä kaava on hyödyllinen monien geometristen ongelmien ratkaisemisessa kyseessä olevan kuvion kanssa.
Kartion tilavuuskaava
Jokaisen tilahahmon tilavuus on avaruuden pinta-ala, jota tämän kuvion pinnat rajoittavat. Kartiolla on kaksi tällaista pintaa:
- Lateraalinen tai kartiomainen. Sen muodostavat kaikki generatriisit.
- Säätiö. Tässä tapauksessa se on ympyrä.
Hae kaava kartion tilavuuden määrittämiseksi. Tätä varten leikkaamme sen henkisesti useisiin kerroksiin, jotka ovat samansuuntaisia pohjan kanssa. Jokaisen kerroksen paksuus on dx, joka pyrkii olemaan nolla. Tason alue Sx etäisyydellä x kuvion yläreunasta on yhtä suuri kuin seuraava lauseke:
Sx=pir2x2/h 2
Tämän lausekkeen oikeellisuus voidaan varmistaa intuitiivisesti korvaamalla arvot x=0 ja x=h. Ensimmäisessä tapauksessa saamme alueen, joka on yhtä suuri kuin nolla, toisessa tapauksessa se on yhtä suuri kuin pyöreän pohjan pinta-ala.
Kartion tilavuuden määrittämiseksi sinun on laskettava yhteen pienet "tilavuudet" jokaisesta kerroksesta, eli sinun tulee käyttää integraalilaskentaa:
V=∫0h(pir2x 2/h2dx)=pir2/h2 ∫0h(x2dx)
Tämän integraalin laskeminen saa aikaan pyöreän kartion lopullisen kaavan:
V=1/3pir2h
On mielenkiintoista huomata, että tämä kaava on täysin samanlainen kuin mieliv altaisen pyramidin tilavuuden laskemiseen käytetty kaava. Tämä yhteensattuma ei ole sattumaa, sillä mistä tahansa pyramidista tulee kartio, kun sen reunojen lukumäärä kasvaa äärettömään.
Välimäärän laskentaongelma
On hyödyllistä antaa esimerkki ongelman ratkaisusta, joka osoittaa johdetun kaavan käytön tilavuudelle V.
Annetaan pyöreä kartio, jonka pohjapinta-ala on 37 cm2, ja kuvion generaattori on kolme kertaa säde. Mikä on kartion tilavuus?
Meillä on oikeus käyttää tilavuuskaavaa, jos tiedämme kaksi suuretta: korkeus h ja säde r. Etsitään kaavat, jotka määrittävät ne tehtävän ehdon mukaisesti.
Säde r voidaan laskea tuntemalla ympyrän pinta-ala So, meillä on:
So=pir2=>
r=√(So/pi)
Käyttäen tehtävän ehtoa kirjoitamme yhtälön generaattorille g:
g=3r=3√(So/pi)
Kun tiedät r:n ja g:n kaavat, laske korkeus h:
h=√(g2- r2)=√(9So /pi - So/pi)=√(8So/pi)
Löysimme kaikki tarvittavat parametrit. Nyt on aika liittää ne kaavaan V:
V=1/3pir2h=1/3piSo/pi√ (8So/pi)=So/3√(8So /pi)
Se on vielä korvattavaperusala So ja laske tilavuusarvo: V=119,75 cm3.
