Avaruushahmojen ominaisuuksien tutkimuksella on tärkeä rooli käytännön ongelmien ratkaisemisessa. Tiedettä, joka käsittelee hahmoja avaruudessa, kutsutaan stereometriaksi. Tässä artikkelissa tarkastelemme kiinteän geometrian näkökulmasta kartiota ja näytämme kuinka löytää kartion pinta-ala.
Kartio pyöreällä pohjalla
Yleisessä tapauksessa kartio on jollekin tasokäyrälle rakennettu pinta, jonka kaikki pisteet on yhdistetty segmenteillä yhdellä avaruuspisteellä. Jälkimmäistä kutsutaan kartion huipuksi.
Yllä olevasta määritelmästä käy selväksi, että käyrällä voi olla mieliv altainen muoto, kuten parabolinen, hyperbolinen, elliptinen ja niin edelleen. Käytännössä ja geometrian ongelmissa kuitenkin usein kohdataan pyöreä kartio. Se näkyy alla olevassa kuvassa.
Tässä symboli r tarkoittaa kuvion pohjassa sijaitsevan ympyrän sädettä, h on kohtisuora ympyrän tasoon nähden, joka piirretään kuvion ylhäältä. Sitä kutsutaan korkeudeksi. Arvo s on kartion generatriisi tai sen generatriisi.
Voidaan nähdä, että segmentit r, h ja smuodostaa suorakulmaisen kolmion. Jos sitä kierretään jalan h ympäri, hypotenuusa s kuvaa kartiomaista pintaa ja jalka r muodostaa kuvion pyöreän pohjan. Tästä syystä kartiota pidetään vallankumouksen hahmona. Kolme nimettyä lineaarista parametria on yhdistetty toisiinsa yhtäläisyydellä:
s2=r2+ h2
Huomaa, että annettu yhtälö pätee vain pyöreälle suoralle kartiolle. Suora hahmo on vain, jos sen korkeus putoaa tarkalleen perusympyrän keskelle. Jos tämä ehto ei täyty, kuvaa kutsutaan vinoksi. Ero suorien ja vinojen kartioiden välillä näkyy alla olevassa kuvassa.
Muodon kehittäminen
Kartion pinta-alan tutkiminen on kätevää, kun sitä tarkastellaan tasossa. Tätä tapaa esittää hahmojen pinta avaruudessa kutsutaan niiden kehitykseksi. Kartiolle tämä kehitys voidaan saada seuraavasti: sinun on otettava esimerkiksi paperista valmistettu hahmo. Leikkaa sitten pyöreä pohja saksilla kehän ympäriltä. Tämän jälkeen leikkaa kartiomainen pinta generatrixia pitkin ja käännä se tasoksi. Näiden yksinkertaisten toimintojen tuloksena syntyy kartio, joka näkyy alla olevassa kuvassa.
Kuten näet, kartion pinta voidaan todellakin esittää tasossa. Se koostuu seuraavista kahdesta osasta:
- ympyrä, jonka säde r edustaa kuvion kantaa;
- ympyräsektori, jonka säde on g, joka on kartiomainen pinta.
Kartion pinta-alan kaava sisältää molempien taittamattomien pintojen alueiden löytämisen.
Laske kuvion pinta-ala
Jaetaan tehtävä kahteen vaiheeseen. Ensin etsitään kartion pohjan pinta-ala, sitten kartiomaisen pinnan pinta-ala.
Ongelman ensimmäinen osa on helppo ratkaista. Koska säde r on annettu, riittää, että muistat ympyrän pinta-alan vastaavan lausekkeen pohjan alueen laskemiseksi. Kirjoita se ylös:
So=pi × r2
Jos sädettä ei tunneta, sinun tulee ensin löytää se käyttämällä sen, korkeuden ja generaattorin välistä relaatiokaavaa.
Kartion alueen löytämisongelman toinen osa on hieman monimutkaisempi. Huomaa, että ympyräsektori on rakennettu generatriisin säteeseen g ja sitä rajoittaa kaari, jonka pituus on yhtä suuri kuin ympyrän kehä. Tämän tosiasian avulla voit kirjoittaa osuuden ja löytää tarkasteltavan sektorin kulman. Merkitään se kreikkalaisella kirjaimella φ. Tämä kulma on yhtä suuri kuin:
2 × pi=>2 × pi × g;
φ=> 2 × pi × r;
φ=2 × pi × r / g
Kun tiedät ympyränmuotoisen sektorin keskikulman φ, voit käyttää sopivaa suhdetta sen alueen löytämiseen. Merkitään se symbolilla Sb. Se on yhtä suuri kuin:
2 × pi=>pi × g2;
φ=> Sb;
Sb=pi × g2 × φ / (2 × pi)=pi × r × g
Toisin sanoen kartiomaisen pinnan pinta-ala vastaa generaattorin g, kantaluvun r säteen ja luvun Pi tuloa.
Tieden, mitkä alueet molemmatTarkastellaan pintoja, voimme kirjoittaa lopullisen kaavan kartion pinta-alalle:
S=So+ Sb=pi × r2+ pi × r × g=pi × r × (r + g)
Kirjallinen lauseke olettaa kartion kahden lineaarisen parametrin tuntemista S:n laskemiseksi. Jos g tai r on tuntematon, ne löytyvät korkeuden h kautta.
Kartion pinta-alan laskemisen ongelma
Tiedetään, että pyöreän suoran kartion korkeus on yhtä suuri kuin sen halkaisija. On tarpeen laskea kuvion pinta-ala tietäen, että bitin kanta-ala on 50 cm2.
Kun tiedät ympyrän alueen, voit löytää kuvion säteen. Meillä on:
So=pi × r2=>
r=√(So /pi)
Etsitään nyt generaattori g h:n ja r:n suhteen. Ehdon mukaan kuvion korkeus h on yhtä suuri kuin kaksi sädettä r, jolloin:
h=2 × r;
g2=(2 × r)2+ r2=>
g=√5 × r=√(5 × So / pi)
Löydetyt g:n ja r:n kaavat tulee korvata lausekkeella kartion koko alueelta. Saamme:
S=So+ pi × √(So / pi) × √(5 × S o /pi)=So × (1 + √5)
Korvataan tuloksena olevaan lausekkeeseen kantaosan pinta-ala So ja kirjoitetaan vastaus: S ≈ 161,8 cm2.
