Kyky määrittää tilakuvioiden tilavuus on tärkeää geometristen ja käytännön ongelmien ratkaisemisessa. Yksi näistä hahmoista on prisma. Käsittelemme artikkelissa, mikä se on, ja näytämme kuinka lasketaan vinon prisman tilavuus.
Mitä prisma tarkoittaa geometriassa?
Tämä on säännöllinen monitahoinen (polyhedron), jonka muodostavat kaksi identtistä kantaa, jotka sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa, ja useat suunnikkaat, jotka yhdistävät merkityt kantat.
Prisman kantat voivat olla mieliv altaisia monikulmioita, kuten kolmio, nelikulmio, seitsemänkulmio ja niin edelleen. Lisäksi monikulmion kulmien (sivujen) määrä määrittää kuvion nimen.
Jokainen prisma, jolla on n-kulmainen kanta (n on sivujen lukumäärä), koostuu n+2 pinnasta, 2 × n pisteestä ja 3 × n reunasta. Annetuista luvuista voidaan nähdä, että prisman alkioiden lukumäärä vastaa Eulerin lausetta:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
Alla oleva kuva näyttää, miltä lasista valmistetut kolmio- ja nelikulmaiset prismat näyttävät.
Figuurityypit. Kallistuva prisma
Yllä on jo sanottu, että prisman nimi määräytyy pohjassa olevan polygonin sivujen lukumäärän mukaan. Sen rakenteessa on kuitenkin muita piirteitä, jotka määräävät kuvion ominaisuudet. Joten, jos kaikki suunnikkaat, jotka muodostavat prisman sivupinnan, esitetään suorakulmioilla tai neliöillä, niin tällaista kuvaa kutsutaan suoraksi. Suorassa prismassa kannan välinen etäisyys on yhtä suuri kuin minkä tahansa suorakulmion sivureunan pituus.
Jos jotkin tai kaikki sivut ovat suunnikaspiirroksia, puhumme vinosta prismasta. Sen korkeus on jo pienempi kuin sivurivan pituus.
Toinen kriteeri, jonka mukaan tarkasteltavat luvut luokitellaan, ovat sivujen pituudet ja monikulmion tyvessä olevat kulmat. Jos ne ovat yhtä suuret keskenään, monikulmio on oikea. Suoraa kuviota, jonka tyvissä on säännöllinen monikulmio, kutsutaan säännölliseksi. Sen kanssa on kätevä työskennellä pinta-alaa ja tilavuutta määritettäessä. K alteva prisma aiheuttaa tässä suhteessa vaikeuksia.
Alla olevassa kuvassa on kaksi neliömäistä prismaa. 90° kulma osoittaa peruseron suoran ja vinon prisman välillä.
Kaava kuvion tilavuuden määrittämiseksi
Prisman pintojen rajaamaa avaruuden osaa kutsutaan sen tilavuudeksi. Minkä tahansa tyyppisille tarkastetuille lukuille tämä arvo voidaan määrittää seuraavalla kaavalla:
V=h × So
Tässä symboli h tarkoittaa prisman korkeutta,joka on kahden kannan välisen etäisyyden mitta. Symboli So- yksi perusneliö.
Perusalue on helppo löytää. Ottaen huomioon, onko monikulmio säännöllinen vai ei, ja kun tiedät sen sivujen lukumäärän, sinun tulee soveltaa sopivaa kaavaa ja saada So. Esimerkiksi tavalliselle n-kulmiolle, jonka sivun pituus on a, alue on:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Nyt siirrytään korkeuteen h. Suoraan prismaan korkeuden määrittäminen ei ole vaikeaa, mutta vino prisma ei ole helppo tehtävä. Se voidaan ratkaista erilaisilla geometrisillä menetelmillä, alkaen tietyistä alkuehdoista. On kuitenkin olemassa yleinen tapa määrittää hahmon korkeus. Kuvataanpa sitä lyhyesti.
Ajatuksena on löytää etäisyys avaruuden pisteestä tasoon. Oletetaan, että taso on annettu yhtälöllä:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Sitten kone on etäisyyden päässä:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Jos koordinaattiakselit on järjestetty siten, että piste (0; 0; 0) on prisman alemman kannan tasossa, niin perustason yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:
z=0
Tämä tarkoittaa, että korkeuden kaava kirjoitetaansiis:
h=z1
Kuvan korkeuden määrittämiseksi riittää, kun etsit ylemmän kannan minkä tahansa pisteen z-koordinaatit.
Esimerkki ongelmanratkaisusta
Alla olevassa kuvassa on nelikulmainen prisma. K altevan prisman kanta on neliö, jonka sivu on 10 cm. Sen tilavuus on laskettava, jos tiedetään, että sivureunan pituus on 15 cm ja etusuuntaisen suuntaviivan terävä kulma on 70 °.
Koska kuvion korkeus h on myös suunnikkaan korkeus, määritämme sen pinta-alan kaavoilla h:n löytämiseksi. Merkitään suunnikkaan sivut seuraavasti:
a=10 cm;
b=15 cm
Sitten voit kirjoittaa sille seuraavat kaavat alueen Sp:
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
Mistä saamme:
h=b × sin (α)
Tässä α on suuntaviivan terävä kulma. Koska kanta on neliö, k altevan prisman tilavuuden kaava on muotoa:
V=a2 × b × sin (α)
Korvaamme ehdon tiedot kaavaan ja saamme vastauksen: V ≈ 1410 cm3.
