Viisikulmainen prisma geometrian tehtävien ratkaisemisessa on paljon harvinaisempi kuin kolmion, nelikulmaisen tai kuusikulmaisen prisman k altaiset prismat. Siitä huolimatta on hyödyllistä tarkastella tämän muodon perusominaisuuksia ja oppia piirtämään se.
Mikä on viisikulmainen prisma?
Tämä on kolmiulotteinen hahmo, jonka pohjat ovat viisikulmioita ja sivut suunnikkaat. Jos jokainen näistä suunnikasista on kohtisuorassa yhdensuuntaisiin kantaan nähden, niin tällaista prismaa kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi. Suorakaiteen muotoisen viisikulmaisen prisman sivupinta koostuu viidestä suorakulmiosta. Lisäksi jokaisen pohjan vieressä oleva sivu on yhtä suuri kuin viisikulmion sivun pituus.
Jos viisikulmio on säännöllinen, eli kaikki sen sivut ja kulmat ovat yhtä suuret keskenään, niin tällaista suorakulmaista prismaa kutsutaan säännölliseksi. Artikkelissa tarkastellaan tämän tietyn kuvan ominaisuuksia.
Prismaelementit
Hänelle, kuten mille tahansa prismille,seuraavat elementit ovat ominaisia:
- pinnat tai sivut ovat tasojen osia, jotka rajoittavat hahmon avaruudessa;
- tops - kolmen sivun leikkauspisteet;
- ribs - segmentit kuvion kahden sivun leikkauspisteestä.
Kaikkien nimettyjen elementtien numerot liittyvät toisiinsa seuraavalla yhtälöllä:
Reunojen lukumäärä=kärkien lukumäärä + pintojen määrä - 2
Tätä lauseketta kutsutaan monitahoisen Eulerin kaavaksi.
Viisikulmaisessa prismassa sivujen lukumäärä on seitsemän (kaksi kantaa + viisi suorakulmiota). Piikkien lukumäärä on 10 (viisi kutakin emästä kohti). Reunojen lukumäärä tässä tapauksessa on:
Ruokien lukumäärä=10 + 7 - 2=15
Kymmenen reunaa kuuluu prisman kantaan, ja viisi reunaa muodostavat suorakulmiot.
Kuinka piirtää viisikulmainen prisma?
Vastaus tähän kysymykseen riippuu tehtävästä. Jos on tarpeen piirtää mieliv altainen prisma, piirretään mikä tahansa viisikulmio. Piirrä sen jälkeen viisi samanpituista yhdensuuntaista segmenttiä viisikulmion kustakin kärjestä. Yhdistä sitten segmenttien yläpäät. Tuloksena on viisikulmainen mieliv altainen prisma.
Jos on tarpeen piirtää säännöllinen prisma, tehtävän koko monimutkaisuus laskee säännöllisen viisikulmion hankkimiseen. On olemassa useita tapoja piirtää tämä monikulmio. Tässä tarkastellaan vain kahta tapaa.
Ensimmäinen tapa on piirtää ympyrä kompassilla. Sitten piirretään mieliv altainen halkaisijaympyrä ja viisi kulmaa lasketaan siitä astemittarilla kohdassa 72o(572o=360o). Kutakin kulmaa laskettaessa ympyrään tehdään lovi. Suorakulmion rakentamiseksi on vielä yhdistettävä merkityt lovet suorilla segmenteillä.
Toisessa menetelmässä käytetään vain kompassia ja viivainta. Se on hieman monimutkainen verrattuna edelliseen. Alla on video, joka selittää yksityiskohtaisesti tämän koontiversion jokaisen vaiheen.
Huomaa, että viisikulmion piirtäminen on helppoa, jos yhdistät tähden päät. Jos ei ole tarpeen piirtää täsmälleen säännöllistä viisikulmiota, voit käyttää käsin piirrettyä tähtimenetelmää.
Heti kun viisikulmio on piirretty, piirrä viisi identtistä yhdensuuntaista segmenttiä jokaisesta sen kärjestä ja yhdistä niiden kärjet. Tuloksena on viisikulmainen prisma.
Muotoilualue
Mieti nyt, kuinka löytää viisikulmaisen prisman pinta-ala. Alla oleva kuva esittää sen kehitystä. Voidaan nähdä, että vaadittu pinta-ala muodostuu kahdesta identtisestä viisikulmiosta ja viidestä keskenään yhtä suuresta suorakulmiosta.
Kuvan koko pinnan pinta-ala ilmaistaan kaavalla:
S=2So+ 5Sp
Tässä indeksit o ja p tarkoittavat kantaa ja suorakulmiota. Merkitään viisikulmion sivun pituus a:lla ja hahmon korkeus h:lla. Sitten suorakulmiolle kirjoitamme:
Sp=ah
Laskeaksesi viisikulmion pinta-alan,käytä yleiskaavaa:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Missä n on monikulmion sivujen lukumäärä. Korvaamalla n=5, saamme:
S5=5/4a2ctg(pi/5) ≈ 1, 72a 2
Saadun yhtälön tarkkuus on 3 desimaalin tarkkuutta, mikä riittää ratkaisemaan kaikki ongelmat.
Nyt on vielä löydettävä pohjan ja sivupinnan saatujen alueiden summa. Meillä on:
S=21, 72a2 + 5ah=3, 44a2 + 5a h
Tulee muistaa, että tuloksena oleva kaava pätee vain suorakaiteen muotoiselle prismmalle. Kun kyseessä on vino kuvio, sen sivupinnan pinta-ala määritetään leikkauksen ympärysmitan tuntemisen perusteella, jonka on oltava kohtisuorassa kaikkiin suunnikkapiireihin nähden.
Kuvan tilavuus
Viisikulmaisen prisman tilavuuden laskentakaava ei eroa samank altaisesta lausekkeesta minkään muun prisman tai sylinterin os alta. Figuurin tilavuus on yhtä suuri kuin sen korkeuden ja pohjan pinta-alan tulo:
V=Soh
Jos kyseessä oleva prisma on suorakaiteen muotoinen, niin sen korkeus on suorakulmioiden muodostaman reunan pituus. Säännöllisen viisikulmion pinta-ala on laskettu yllä suurella tarkkuudella. Korvaa tämä arvo tilavuuden kaavaan ja hanki säännöllisen viisikulmaisen prisman tarvittava lauseke:
V=1, 72a2h
Siten lasketaan tilavuus ja pinta-alasäännöllinen viisikulmainen prisma on mahdollinen, jos kannan sivu ja kuvion korkeus tunnetaan.
