Geometriset hahmot avaruudessa ovat stereometrian tutkimuskohteena, jonka kurssin koululaiset käyvät läpi lukiossa. Tämä artikkeli on omistettu sellaiselle täydelliselle polyhedronille kuin prisma. Tarkastellaan tarkemmin prisman ominaisuuksia ja annetaan kaavat, jotka kuvaavat niitä kvantitatiivisesti.
Mikä on prisma?
Kaikki kuvittelevat, miltä laatikko tai kuutio näyttää. Molemmat hahmot ovat prismoja. Prismaluokka on kuitenkin paljon monipuolisempi. Geometriassa tälle kuviolle annetaan seuraava määritelmä: prisma on mikä tahansa monitahoinen avaruudessa, joka muodostuu kahdesta yhdensuuntaisesta ja identtisestä monikulmion sivusta ja useista suunnikasista. Figuurin identtisiä yhdensuuntaisia pintoja kutsutaan sen kannaksi (ylä- ja alapuoli). Parallelogrammit ovat kuvion sivupintoja, jotka yhdistävät alustan sivut toisiinsa.
Jos kantaa edustaa n-kulmio, jossa n on kokonaisluku, niin kuvio koostuu 2+n pinnasta, 2n pisteestä ja 3n reunasta. Pinnat ja reunat viittaavatyksi kahdesta tyypistä: joko ne kuuluvat sivupintaan tai pohjaan. Mitä tulee pisteisiin, ne ovat kaikki yhtä suuria ja kuuluvat prisman kantaan.
Tutkittavan luokan hahmotyypit
Tutkiessasi prisman ominaisuuksia, sinun tulee luetella tämän kuvion mahdolliset tyypit:
- Kupera ja kovera. Niiden välinen ero on monikulmion pohjan muodossa. Jos se on kovera, se on myös kolmiulotteinen hahmo ja päinvastoin.
- Suora ja vino. Suorassa prismassa sivupinnat ovat joko suorakulmioita tai neliöitä. Vinossa kuviossa sivupinnat ovat yleisen tyyppisiä suunnikkaita tai romboksia.
- Väärin ja oikein. Jotta tutkittava kuva olisi oikea, sen on oltava suora ja sillä on oltava oikea pohja. Esimerkki jälkimmäisistä ovat litteitä hahmoja, kuten tasasivuinen kolmio tai neliö.
Prisman nimi muodostetaan ottaen huomioon lueteltu luokitus. Esimerkiksi edellä mainittua suorakulmaista suuntaissärmiötä tai kuutiota kutsutaan säännölliseksi nelikulmaiseksi prismaksi. Säännöllisiä prismoja on niiden korkean symmetrian vuoksi kätevä tutkia. Niiden ominaisuudet ilmaistaan erityisten matemaattisten kaavojen muodossa.
Prisma-alue
Kun tarkastellaan sellaista prisman ominaisuutta sen pinta-alana, ne tarkoittavat sen kaikkien pintojen kokonaispinta-alaa. Tämä arvo on helpoin kuvitella, jos avaat kuvan, eli laajennat kaikki kasvot yhteen tasoon. AlhaallaKuvassa on esimerkki kahden prisman pyyhkäisystä.
Mieliv altaiselle prismalle sen pyyhkäisyalueen kaava yleismuodossa voidaan kirjoittaa seuraavasti:
S=2So+ bPsr.
Selvitetään merkintä. Arvo So on yhden kannan pinta-ala, b on sivureunan pituus, Psr on leikkauskehä, joka on kohtisuorassa kuvion sivusuunnikasille.
Kirjallista kaavaa käytetään usein k altevien prismien alueiden määrittämiseen. Säännöllisen prisman tapauksessa S:n lauseke saa tietyn muodon:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
Lausekkeen ensimmäinen termi edustaa säännöllisen prisman kahden kannan pinta-alaa, toinen termi on sivusuorakulmioiden pinta-ala. Tässä a on säännöllisen n-kulman sivun pituus. Huomaa, että säännöllisen prisman sivureunan b pituus on myös sen korkeus h, joten kaavassa b voidaan korvata h:lla.
Miten lasketaan kuvion tilavuus?
Prisma on suhteellisen yksinkertainen monitahoinen, jolla on korkea symmetria. Siksi sen tilavuuden määrittämiseksi on olemassa hyvin yksinkertainen kaava. Se näyttää tältä:
V=Soh.
Perusalan ja korkeuden laskeminen voi olla hankalaa, kun tarkastellaan vinoa epäsäännöllistä muotoa. Tämä ongelma ratkaistaan käyttämällä peräkkäistä geometrista analyysiä, joka sisältää tietoja sivusuunnikalien ja kantaosan välisistä dihedraalisista kulmista.
Jos prisma on oikea, niinV:n kaava muuttuu melko konkreettiseksi:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Kuten näet, säännöllisen prisman alue S ja tilavuus V määritetään yksiselitteisesti, jos sen kaksi lineaarista parametria tunnetaan.
Kolmiomainen säännöllinen prisma
Lopetetaan artikkeli tarkastelemalla säännöllisen kolmiomaisen prisman ominaisuuksia. Se muodostuu viidestä pinnasta, joista kolme on suorakulmioita (neliöitä) ja kaksi tasasivuisia kolmioita. Prismassa on kuusi kärkeä ja yhdeksän reunaa. Tämän prisman tilavuus- ja pinta-alakaavat kirjoitetaan alla:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2h.
Näiden ominaisuuksien lisäksi on myös hyödyllistä antaa kaava kuvion kannan apoteemille, joka on tasasivuisen kolmion korkeus ha:
ha=√3/2a.
Prisman sivut ovat identtisiä suorakulmioita. Niiden diagonaalien d pituudet ovat:
d=√(a2+ h2).
Kolmiomaisen prisman geometristen ominaisuuksien tuntemus on paitsi teoreettista myös käytännön mielenkiintoista. Tosiasia on, että tätä optisesta lasista valmistettua hahmoa käytetään kappaleiden säteilyspektrin tutkimiseen.
Lasiprisman läpi kulkeva valo hajoaa useiksi komponenttiväreiksi dispersioilmiön seurauksena, mikä luo edellytykset sähkömagneettisen vuon spektrikoostumuksen tutkimiselle.
