Geometria on kaunista, koska toisin kuin algebrassa, jossa ei aina ole selvää mitä ajattelet ja miksi, se antaa objektille näkyvyyttä. Tämä erilaisten kehojen upea maailma on koristeltu säännöllisillä polyhedrailla.
Yleistä tietoa tavallisesta polyhedrasta
Monien mukaan tavallisilla polyhedrailla tai kuten niitä kutsutaan myös platonisilla kiinteillä aineilla, on ainutlaatuisia ominaisuuksia. Näihin esineisiin liittyy useita tieteellisiä hypoteeseja. Kun alat tutkia näitä geometrisia kappaleita, ymmärrät, että et tiedä käytännössä mitään sellaisesta käsitteestä kuin säännöllinen polyhedra. Näiden esineiden esittely koulussa ei ole aina mielenkiintoista, joten monet eivät edes muista, mitä niitä kutsutaan. Useimmat ihmiset muistavat vain kuution. Yksikään geometrian kappaleista ei ole yhtä täydellinen kuin tavallinen polyhedra. Kaikki näiden geometristen kappaleiden nimet ovat peräisin muinaisesta Kreikasta. Ne tarkoittavat pintojen lukumäärää: tetraedri - nelisivuinen, heksaedri - kuusisivuinen, oktaedri - oktaedri, dodekaedri - kaksitoistasivuinen, ikosaedri - kaksikymmentäsivuinen. Kaikki nämä geometriset kappaleetoli tärkeä paikka Platonin maailmankaikkeuskäsityksessä. Neljä niistä personifioi alkuaineita tai kokonaisuuksia: tetraedri - tuli, ikosaedri - vesi, kuutio - maa, oktaedri - ilma. Dodekaedri sisälsi kaiken olemassa olevan. Sitä pidettiin tärkeimpänä, koska se oli maailmankaikkeuden symboli.
Monihedronin käsitteen yleistäminen
Molyhedri on kokoelma äärellistä määrää polygoneja siten, että:
- jonkin monikulmion jokainen sivu on samanaikaisesti vain yhden samalla puolella olevan muun monikulmion sivu;
- jokaisesta monikulmiosta pääset muihin vierekkäisiä polygoneja pitkin.
Monikulmiot, jotka muodostavat monitahoisen, ovat sen pinnat ja niiden sivut ovat reunoja. Monikulmioiden kärjet ovat monikulmion kärjet. Jos monikulmion käsite ymmärretään litteiksi suljetuiksi katkoviivoiksi, niin saadaan yksi monitahoisen määritelmä. Siinä tapauksessa, että tämä käsite tarkoittaa osaa tasosta, joka on rajoitettu katkoviivoilla, tulee ymmärtää pinta, joka koostuu monikulmiokappaleista. Kupera monitahoinen on kappale, joka sijaitsee tason toisella puolella sen pinnan vieressä.
Toinen määritelmä monitahoista ja sen elementeistä
Molyhedri on monikulmioista koostuva pinta, joka rajoittaa geometrista kappaletta. Ne ovat:
- ei-kupera;
- kupera (oikea ja väärä).
Säännöllinen polyhedri on kupera monitaho, jolla on suurin symmetria. Tavallisen monitahoisen elementit:
- tetraedri: 6 reunaa, 4 pintaa, 5 kärkeä;
- heksaedri (kuutio): 12, 6, 8;
- dodekaedri: 30, 12, 20;
- oktaedri: 12, 8, 6;
- ikosaedri: 30, 20, 12.
Eulerin lause
Se määrittää suhteen reunojen, pisteiden ja pintojen lukumäärän välillä, jotka ovat topologisesti vastaavia palloa. Laskemalla yhteen erilaisten säännöllisten monitahojen kärkien ja pintojen määrä (B + D) ja vertaamalla niitä reunojen määrään voidaan muodostaa yksi malli: pintojen ja pisteiden lukumäärän summa on yhtä suuri kuin reunojen lukumäärä (P) kasvatettu 2. Voit johtaa yksinkertaisen kaavan:
B + D=R + 2
Tämä kaava pätee kaikkiin kuperaan polyhedraan.
Perusmääritelmät
Säännöllisen polyhedronin käsitettä ei voi kuvata yhdellä lauseella. Se on merkityksellisempi ja laajempi. Jotta elin voidaan tunnustaa sellaiseksi, sen on täytettävä useita määritelmiä. Geometrinen kappale on siis säännöllinen monitahoinen, jos seuraavat ehdot täyttyvät:
- se on kupera;
- sama määrä reunoja konvergoi jokaisessa sen kärjessä;
- kaikki sen pinnat ovat säännöllisiä monikulmioita, jotka ovat yhtä suuret keskenään;
- kaikki sen dihedraaliset kulmat ovat yhtä suuret.
Tavallisen polyhedran ominaisuudet
Tavallisia monitahoja on 5 eri tyyppiä:
- Kuutio (heksaedri) - sen yläkulma on tasainen 90°. Siinä on 3-sivuinen kulma. Tasaisten kulmien summa yläosassa on 270°.
- Tetraedri - tasainen kulma ylhäällä - 60°. Siinä on 3-sivuinen kulma. Tasaisten kulmien summa yläosassa on 180°.
- Oktaedri - tasainen kärkikulma - 60°. Siinä on 4-sivuinen kulma. Tasaisten kulmien summa yläosassa on 240°.
- Dodekaedri - tasainen kulma kärjessä 108°. Siinä on 3-sivuinen kulma. Tasaisten kulmien summa yläosassa on 324°.
- Icosahedron - sen yläkulma on tasainen - 60°. Siinä on 5-sivuinen kulma. Tasaisten kulmien summa yläosassa on 300°.
Tavallisen monitahoisen alueen alue
Näiden geometristen kappaleiden pinta-ala (S) lasketaan säännöllisen monikulmion pinta-alana kerrottuna sen pintojen lukumäärällä (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
säännöllisen monitahoisen tilavuus
Tämä arvo lasketaan kertomalla säännöllisen pyramidin tilavuus, jonka pohjalla on säännöllinen monikulmio, pintojen lukumäärällä ja sen korkeus on piirretyn pallon säde (r):
V=1: 3rS
Tavallisen polyhedran tilavuudet
Kuten muillakin geometrisilla kappaleilla, tavallisilla monitahoilla on erilaisia tilavuuksia. Alla on kaavat, joilla voit laskea ne:
- tetraedri: α x 3√2: 12;
- oktaedri: α x 3√2: 3;
- ikosaedri; α x 3;
- heksaedri (kuutio): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodekaedri: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Tavallisen monitahoisen elementit
Heksaedri ja oktaedri ovat kaksoisgeometrisiä kappaleita. Toisin sanoen ne voidaan saada toisistaan, jos toisen pinnan painopiste otetaan toisen kärjeksi ja päinvastoin. Ikosaedri ja dodekaedri ovat myös kaksoiskappaleita. Ainoastaan tetraedri on kaksinainen itselleen. Euklidisen menetelmän mukaan heksaedrista saadaan dodekaedri rakentamalla "kattoja" kuution pinnoille. Tetraedrin kärjet ovat mitkä tahansa 4 kuution kärkeä, jotka eivät ole vierekkäin pareittain reunaa pitkin. Heksaedrista (kuutiosta) saat muita tavallisia monitahoja. Huolimatta siitä, että säännöllisiä polygoneja on lukemattomia, säännöllisiä monikulmioita on vain 5.
Säännöllisten polygonien säde
Kuhunkin geometriseen kappaleeseen liittyy 3 samankeskistä palloa:
- kuvattu, kulkee sen huippujen läpi;
- kirjoitettu koskettamalla sen kutakin pintaa sen keskellä;
- mediaani, koskettaa kaikkia reunoja keskellä.
Kuvatun pallon säde lasketaan seuraavalla kaavalla:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Kirjoitetun pallon säde lasketaan kaavalla:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
jossa θ on vierekkäisten pintojen välinen dihedraalinen kulma.
Mediaanipallon säde voidaan laskea seuraavalla kaavalla:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
jossa h-arvo=4, 6, 6, 10 tai 10. Piirrettyjen ja merkittyjen säteiden suhde on symmetrinen p:n ja q:n suhteen. Selasketaan kaavalla:
R/r=tg π/p x tg π/q
Molyhedran symmetria
Säännöllisten polyhedrien symmetria saa suurimman kiinnostuksen näihin geometrisiin kappaleisiin. Se ymmärretään sellaiseksi kehon liikkeeksi avaruudessa, joka jättää saman määrän pisteitä, kasvoja ja reunoja. Toisin sanoen symmetriamuunnoksen vaikutuksesta reuna, kärki, pinta joko säilyttää alkuperäisen asemansa tai siirtyy toisen reunan, kärjen tai pinnan alkuperäiseen sijaintiin.
Säännöllisten monitahojen symmetriaelementit ovat tyypillisiä kaiken tyyppisille geometrisille kappaleille. Tässä puhutaan identtisestä muunnoksesta, joka jättää minkä tahansa pisteen alkuperäiseen paikkaansa. Joten kun kierrät monikulmion prismaa, voit saada useita symmetrioita. Mikä tahansa niistä voidaan esittää heijastusten tuotteena. Symmetriaa, joka on parillisen määrän heijastuksia tulos, kutsutaan suoraksi. Jos se on parittoman määrän heijastuksia tulo, sitä kutsutaan käänteiseksi. Siten kaikki kierrokset suoran ympäri ovat suoraa symmetriaa. Mikä tahansa monitahoisen heijastus on käänteinen symmetria.
Ymmärtääksemme paremmin säännöllisten polyhedrien symmetriaelementtejä, voimme ottaa esimerkin tetraedrista. Mikä tahansa suora viiva, joka kulkee tämän geometrisen hahmon yhden kärjen ja keskustan läpi, kulkee myös sitä vastakkaisen kasvon keskustan läpi. Jokainen 120° ja 240° käännös linjan ympäri on monikko.tetraedrin symmetria. Koska sillä on 4 kärkeä ja 4 pintaa, suoraa symmetriaa on vain kahdeksan. Mikä tahansa reunan keskeltä ja tämän kappaleen keskustan läpi kulkevista viivoista kulkee sen vastakkaisen reunan keskeltä. Mikä tahansa 180°:n kierto suoran ympäri, jota kutsutaan puolikierrokseksi, on symmetriaa. Koska tetraedrissä on kolme paria reunaa, on olemassa kolme muuta suoraa symmetriaa. Edellä olevan perusteella voimme päätellä, että suorien symmetrioiden kokonaismäärä, mukaan lukien identtinen muunnos, saavuttaa kaksitoista. Tetraedrillä ei ole muita suoria symmetrioita, mutta sillä on 12 käänteistä symmetriaa. Siksi tetraedrille on ominaista yhteensä 24 symmetriaa. Selvyyden vuoksi voit rakentaa mallin tavallisesta tetraedristä pahvista ja varmistaa, että tässä geometrisessa kappaleessa on todella vain 24 symmetriaa.
Dodekaedri ja ikosaedri ovat lähimpänä kehon palloa. Ikosaedrilla on eniten kasvoja, suurin dihedraalinen kulma, ja se voidaan painaa tiukimmin piirrettyä palloa vasten. Dodekaedrilla on pienin kulmavirhe, suurin avaruuskulma kärjessä. Hän voi täyttää kuvatun pallonsa maksimaalisesti.
Pyhkäisee polyhedraa
Tavallisilla pakkaamattomilla polyhedrailla, jotka me kaikki liimattiin yhteen lapsuudessa, on monia käsitteitä. Jos on joukko polygoneja, joiden kumpikin puoli on identifioitu vain polyhedronin toisella puolella, sivujen tunnistamisen on täytettävä kaksi ehtoa:
- Jokaisesta polygonista voit siirtyä monikulmioiden yli, joilla ontunnistettu puoli;
- tunnistettujen sivujen on oltava yhtä pitkiä.
Nämä ehdot täyttävien monikulmioiden joukkoa kutsutaan monitahojen kehitykseksi. Jokaisella näistä elimistä on niitä useita. Joten esimerkiksi kuutiossa on niitä 11.
