Säännöllinen kuusikulmainen pyramidi. Tilavuuden ja pinta-alan kaavat. Geometrisen ongelman ratkaisu

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-02 17:46

Stereometria avaruuden geometrian haarana tutkii prismien, sylinterien, kartioiden, pallojen, pyramidien ja muiden kolmiulotteisten hahmojen ominaisuuksia. Tämä artikkeli on omistettu kuusikulmaisen säännöllisen pyramidin ominaisuuksien ja ominaisuuksien yksityiskohtaiselle katsaukselle.

Mitä pyramidia tutkitaan

Säännöllinen kuusikulmiopyramidi on avaruudessa oleva hahmo, jota rajoittaa yksi tasasivuinen ja tasakulmainen kuusikulmio sekä kuusi identtistä tasakylkistä kolmiota. Nämä kolmiot voivat myös olla tasasivuisia tietyissä olosuhteissa. Tämä pyramidi näkyy alla.

Tässä näkyy sama kuvio, vain yhdessä tapauksessa se on käännetty sivupinnallaan lukijaa kohti ja toisessa - sivureunallaan.

Säännöllisessä kuusikulmaisessa pyramidissa on 7 pintaa, jotka mainittiin yllä. Siinä on myös 7 kärkeä ja 12 reunaa. Toisin kuin prismoissa, kaikilla pyramidilla on yksi erityinen kärki, joka muodostuu sivusuunnan leikkauspisteestä.kolmiot. Tavallisessa pyramidissa sillä on tärkeä rooli, koska siitä hahmon pohjaan laskettu kohtisuora on korkeus. Lisäksi korkeus merkitään kirjaimella h.

Näytettyä pyramidia kutsutaan oikeaksi kahdesta syystä:

• sen pohjassa on kuusikulmio, jonka sivujen pituus on yhtä suuri ja kulmat ovat 120o;
• Pyramidin korkeus h leikkaa kuusikulmion tarkalleen sen keskipisteessä (leikkauspiste on samalla etäisyydellä kuusikulmion kaikilta sivuilta ja kaikista pisteistä).

Pinta-ala

Säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin ominaisuudet otetaan huomioon sen alueen määrittelyssä. Tätä varten on hyödyllistä avata kuva tasossa. Kaavamainen esitys siitä on esitetty alla.

Voidaan nähdä, että pyyhkäisypinta-ala ja siten koko tarkasteltavana olevan kuvan pinta on yhtä suuri kuin kuuden samanlaisen kolmion ja yhden kuusikulmion pinta-alojen summa.

Määritä kuusikulmion pinta-ala S_{6 käyttämällä yleiskaavaa säännölliselle n-kulmiolle:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Missä a on kuusikulmion sivun pituus.

Kolmion S₃ sivusivun pinta-ala löytyy, jos tiedät sen korkeuden arvon h_b:

S₃=1/2h_ba.

Koska kaikki kuusikolmiot ovat keskenään yhtä suuret, niin saadaan työlauseke kuusikulmiopyramidin pinta-alan määrittämiseksi oikealla pohjalla:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Pyramidin tilavuus

Aivan kuten pinta-alan, myös kuusikulmaisen säännöllisen pyramidin tilavuus on sen tärkeä ominaisuus. Tämä tilavuus lasketaan yleisellä kaavalla kaikille pyramideille ja kartioille. Kirjoita se ylös:

V=1/3S_oh.

Tässä symboli S_o on kuusikulmion pohjan alue, eli S_o=S _6.

Korvaamalla yllä oleva lauseke S_{6 V:n kaavaan, saadaan lopullinen yhtäläisyys säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin tilavuuden määrittämiseksi:}

V=√3/2a2h.

Esimerkki geometrisestä ongelmasta

Säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin sivureuna on kaksi kertaa perussivun pituus. Kun tiedät, että jälkimmäinen on 7 cm, on tarpeen laskea tämän luvun pinta-ala ja tilavuus.

Kuten arvata saattaa, tämän ongelman ratkaisuun kuuluu yllä saatujen lausekkeiden käyttö S:lle ja V:lle. Niitä ei kuitenkaan voida käyttää heti, koska emme tunne apoteemiä ja säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin korkeus. Lasketaan ne.

Apoteemi h_b voidaan määrittää ottamalla huomioon suorakulmainen kolmio, joka on rakennettu sivuille b, a/2 ja h_{b. Tässä b on sivureunan pituus. Käyttämällä ongelman ehtoa saamme:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13, 555 cm.}

Pyramidin korkeus h voidaan määrittää täsmälleen samalla tavalla kuin apoteemi, mutta nyt kannattaa harkita kolmiota, jonka sivut h, b ja a sijaitsevat pyramidin sisällä. Korkeus on:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 cm.}

Voidaan nähdä, että laskettu korkeusarvo on pienempi kuin apoteemin arvo, mikä pätee mille tahansa pyramidille.

Nyt voit käyttää tilavuuden ja alueen lausekkeita:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96cm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48cm^3.

Siten määrittääksesi yksiselitteisesti minkä tahansa säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin ominaisuuden, sinun on tiedettävä mitkä tahansa kaksi sen lineaarista parametria.