Matemaattisia ongelmia käytetään monissa tieteissä. Näitä ovat fysiikan, kemian, tekniikan ja taloustieteen lisäksi myös lääketiede, ekologia ja muut tieteenalat. Yksi tärkeä käsite, joka on hallittava, jotta voidaan löytää ratkaisuja tärkeisiin pulmiin, on funktion johdannainen. Sen fyysistä merkitystä ei ole ollenkaan niin vaikea selittää kuin se saattaa näyttää asian pohjimmiltaan tietämättömältä. Riittää, kun löytää tästä sopivia esimerkkejä tosielämästä ja arkipäivän tilanteista. Itse asiassa jokainen autoilija selviää samanlaisen tehtävän kanssa joka päivä, kun hän katsoo nopeusmittaria ja määrittää autonsa nopeuden tietyllä hetkellä kiinteänä ajankohtana. Loppujen lopuksi juuri tässä parametrissa on derivaatan fyysisen merkityksen ydin.
Kuinka löytää nopeus
Määritä tiellä liikkuvan henkilön nopeus, sillä kuka tahansa viidesluokkalainen voi helposti tietää kuljetun matkan ja matka-ajan. Tätä varten ensimmäinen annetuista arvoista jaetaan toisella. Muttajokainen nuori matemaatikko ei tiedä löytävänsä parhaillaan funktion ja argumentin lisäysten suhdetta. Itse asiassa, jos kuvittelemme liikkeen kaavion muodossa, piirtäen polun y-akselia pitkin ja ajan abskissaa pitkin, se on täsmälleen näin.
Jalankulkijan tai minkä tahansa muun kohteen nopeus, jonka määrittelemme suurella osalla polkua, liikkeen yhtenäiseksi katsoessa, voi hyvinkin muuttua. Fysiikassa on monia liikemuotoja. Se voidaan suorittaa paitsi jatkuvalla kiihtyvyydellä, myös hidastaa ja lisätä mieliv altaisella tavalla. On huomattava, että tässä tapauksessa liikettä kuvaava viiva ei ole enää suora. Graafisesti se voi ottaa monimutkaisimmat kokoonpanot. Mutta mille tahansa kaavion pisteelle voimme aina piirtää tangentin, jota edustaa lineaarinen funktio.
Ajasta riippuvan siirtymän muutoksen parametrin selkeyttämiseksi on tarpeen lyhentää mitattuja segmenttejä. Kun niistä tulee äärettömän pieniä, laskettu nopeus on hetkellinen. Tämä kokemus auttaa meitä määrittämään johdannaisen. Sen fyysinen merkitys seuraa myös loogisesti tällaisesta päättelystä.
Geometrian suhteen
Tiedetään, että mitä suurempi kappaleen nopeus on, sitä jyrkempi on kaavio siirtymän riippuvuudesta ajasta ja siten kaavion tangentin k altevuuskulmasta tietyssä pisteessä. Tällaisten muutosten ilmaisin voi olla x-akselin ja tangenttiviivan välisen kulman tangentti. Se vain määrittää derivaatan arvon ja lasketaan pituuksien suhteenvastapäätä viereistä jalkaa suorakulmaisessa kolmiossa, jonka muodostaa jostain pisteestä x-akselille pudotettu kohtisuora.
Tämä on ensimmäisen derivaatan geometrinen merkitys. Fyysinen paljastuu siinä, että meidän tapauksessamme vastakkaisen jalan arvo on kuljettu matka ja viereisen aika. Niiden suhde on nopeus. Ja taas tulemme siihen johtopäätökseen, että hetkellinen nopeus, joka määräytyy, kun molemmat aukot pyrkivät äärettömän pieneen, on derivaatan käsitteen olemus, osoittaen sen fyysistä merkitystä. Toinen derivaatta tässä esimerkissä on kehon kiihtyvyys, joka puolestaan osoittaa nopeuden muutosnopeuden.
Esimerkkejä johdannaisten löytämisestä fysiikasta
Dirivaata ilmaisee minkä tahansa funktion muutosnopeuden, vaikka emme puhukaan liikkeestä sanan kirjaimellisessa merkityksessä. Otetaanpa muutama konkreettinen esimerkki tämän osoittamiseksi selvästi. Oletetaan, että virran voimakkuus muuttuu ajasta riippuen seuraavan lain mukaan: I=0, 4t2. On löydettävä nopeuden arvo, jolla tämä parametri muuttuu prosessin 8. sekunnin lopussa. Huomaa, että itse haluttu arvo, kuten yhtälöstä voidaan päätellä, kasvaa jatkuvasti.
Sen ratkaisemiseksi sinun on löydettävä ensimmäinen derivaatta, jonka fyysistä merkitystä tarkasteltiin aiemmin. Tässä dI / dt=0,8t. Seuraavaksi löydämme sen arvolla t \u003d 8, saamme, että nopeus, jolla virran voimakkuus muuttuu, on 6,4 A / c. Tässä katsotaan niinvirta mitataan ampeereina ja aika, vastaavasti, sekunneissa.
Kaikki muuttuu
Näkyvä ympäröivä maailma, joka koostuu aineesta, muuttuu jatkuvasti ja on siinä tapahtuvien erilaisten prosessien liikkeessä. Niiden kuvaamiseen voidaan käyttää erilaisia parametreja. Jos niitä yhdistää riippuvuus, ne kirjoitetaan matemaattisesti funktiona, joka näyttää selvästi niiden muutokset. Ja missä liikettä on (missä tahansa muodossa se ilmaistaan), on olemassa myös johdannainen, jonka fyysistä merkitystä tarkastelemme tällä hetkellä.
Tässä tapauksessa seuraava esimerkki. Oletetaan, että kehon lämpötila muuttuu lain mukaan T=0, 2 t 2. Sinun pitäisi löytää sen kuumenemisnopeus 10. sekunnin lopussa. Ongelma ratkaistaan samalla tavalla kuin edellisessä tapauksessa. Eli löydämme derivaatan ja korvaamme siihen arvon t \u003d 10, saamme T \u003d 0, 4 t \u003d 4. Tämä tarkoittaa, että lopullinen vastaus on 4 astetta sekunnissa, eli lämmitysprosessi ja lämpötilan muutos asteina mitattuna tapahtuu juuri sellaisella nopeudella.
Käytännön ongelmien ratkaiseminen
Tietenkin tosielämässä kaikki on paljon monimutkaisempaa kuin teoreettisissa ongelmissa. Käytännössä määrien arvo määritetään yleensä kokeen aikana. Tässä tapauksessa käytetään laitteita, jotka antavat lukemia mittausten aikana tietyllä virheellä. Siksi laskelmissa on käsiteltävä parametrien likimääräisiä arvoja ja turvauduttava epämukavien lukujen pyöristämiseen,sekä muita yksinkertaistuksia. Kun tämä on otettu huomioon, siirrymme jälleen derivaatan fyysistä merkitystä koskeviin ongelmiin, koska ne ovat vain eräänlainen matemaattinen malli monimutkaisimmista luonnossa tapahtuvista prosesseista.
tulivuorenpurkaus
Kuvitellaan, että tulivuori purkautuu. Kuinka vaarallinen hän voi olla? Tähän kysymykseen vastaamiseksi on otettava huomioon monia tekijöitä. Yritämme majoittaa yhden niistä.
"Tulen hirviön" suusta heitetään kivet pystysuunnassa ylöspäin, ja niiden alkunopeus on 120 m/s niiden ulostulohetkestä ulos. On tarpeen laskea, kuinka paljon ne voivat saavuttaa enimmäiskorkeuden.
Halutun arvon löytämiseksi laadimme yhtälön metreinä mitatun korkeuden H riippuvuudelle muista arvoista. Näitä ovat alkunopeus ja aika. Kiihtyvyysarvon katsotaan olevan tiedossa ja se on suunnilleen 10 m/s2.
Osittainen johdannainen
Katsotaan nyt funktion derivaatan fyysistä merkitystä hieman eri kulmasta, koska yhtälö itsessään voi sisältää ei yhden vaan useita muuttujia. Esimerkiksi edellisessä tehtävässä tulivuoren tuuletusaukosta sinkoutuneiden kivien korkeuden riippuvuutta ei määrittänyt vain aikaominaisuuksien muutos, vaan myös alkunopeuden arvo. Jälkimmäistä pidettiin vakiona kiinteänä arvona. Mutta muissa tehtävissä, joissa on täysin erilaiset olosuhteet, kaikki voi olla toisin. Jos määrät, joista monimutkainenfunktio, useita, laskelmat tehdään alla olevien kaavojen mukaan.
Toistuvan derivaatan fyysinen merkitys on määritettävä tavalliseen tapaan. Tämä on nopeus, jolla funktio muuttuu jossain tietyssä pisteessä muuttujan parametrin kasvaessa. Se lasketaan siten, että kaikki muut komponentit otetaan vakioiksi, vain yhtä pidetään muuttujana. Sitten kaikki tapahtuu tavallisten sääntöjen mukaan.
Välitön neuvonantaja monissa asioissa
Ymmärtääkseen derivaatan fyysisen merkityksen, ei ole vaikeaa antaa esimerkkejä monimutkaisten ja monimutkaisten ongelmien ratkaisemisesta, joihin vastaus löytyy sellaisella tiedolla. Jos meillä on toiminto, joka kuvaa polttoaineenkulutuksen auton nopeudesta riippuen, voimme laskea millä viimeksi mainitun parametreilla bensankulutus on pienin.
Lääketieteessä voit ennustaa, kuinka ihmiskeho reagoi lääkärin määräämään lääkkeeseen. Lääkkeen ottaminen vaikuttaa useisiin fysiologisiin parametreihin. Näitä ovat muun muassa verenpaineen, sykkeen, kehon lämpötilan ja muiden muutosten muutokset. Kaikki ne riippuvat käytetyn lääkkeen annoksesta. Nämä laskelmat auttavat ennustamaan hoidon kulun sekä suotuisissa ilmenemismuodoissa että ei-toivotuissa onnettomuuksissa, jotka voivat vaikuttaa kuolemaan johtaviin muutoksiin potilaan kehossa.
Epäilemättä on tärkeää ymmärtää johdannaisen fyysinen merkitys teknisessäasioita, erityisesti sähkötekniikan, elektroniikan, suunnittelun ja rakentamisen aloilla.
Jarrutusmatka
Mietitään seuraavaa ongelmaa. Tasaisella nopeudella liikkunut auto joutui 10 sekuntia ennen sisäänkäyntiä hidastamaan siltaa lähestyvän auton, koska kuljettaja huomasi yli 36 km/h nopeudella liikkumista kieltävän liikennemerkin. Rikkoiko kuljettaja sääntöjä, jos jarrutusmatka voidaan kuvata kaavalla S=26t - t2?
Laskettaessa ensimmäinen derivaatta saadaan nopeuden kaava, saadaan v=28 – 2t. Korvaa seuraavaksi arvo t=10 määritettyyn lausekkeeseen.
Koska tämä arvo ilmoitettiin sekunneissa, nopeus on 8 m/s, mikä tarkoittaa 28,8 km/h. Näin on mahdollista ymmärtää, että kuljettaja alkoi hidastaa vauhtia ajoissa eikä rikkonut liikennesääntöjä ja siten nopeuskyltissä ilmoitettua rajoitusta.
Tämä todistaa derivaatan fyysisen merkityksen tärkeyden. Esimerkki tämän ongelman ratkaisemisesta osoittaa tämän käsitteen käytön laajuuden elämän eri aloilla. Myös arjen tilanteissa.
Johdannainen taloustieteessä
1800-luvulle asti taloustieteilijät toimivat enimmäkseen keskiarvoilla, oli kyse sitten työn tuottavuudesta tai tuotannon hinnasta. Mutta jostain vaiheesta lähtien raja-arvot tulivat tarpeellisempia tehokkaiden ennusteiden tekemiseen tällä alueella. Näitä ovat rajahyöty, tulot tai kustannukset. Tämän ymmärtäminen antoi sysäyksen täysin uudenlaisen taloustutkimuksen työkalun luomiselle,joka on ollut olemassa ja kehittynyt yli sata vuotta.
Tällaisten laskelmien tekemiseksi, joissa minimi- ja maksimikäsitteet ovat vallitsevia, on yksinkertaisesti välttämätöntä ymmärtää derivaatan geometrinen ja fyysinen merkitys. Näiden tieteenalojen teoreettisen perustan luojista voidaan mainita sellaisia merkittäviä englantilaisia ja itäv altalaisia taloustieteilijöitä kuin US Jevons, K. Menger ja muut. Taloudellisten laskelmien raja-arvot eivät tietenkään ole aina käteviä käyttää. Ja esimerkiksi neljännesvuosittaiset raportit eivät välttämättä sovi olemassa olevaan järjestelmään, mutta silti tällaisen teorian soveltaminen on monissa tapauksissa hyödyllistä ja tehokasta.
