Todennäköisyysteorian opiskelu alkaa todennäköisyyksien yhteen- ja kertolaskuongelmien ratkaisemisesta. Heti on syytä mainita, että tätä osaamisaluetta hallitseessaan opiskelija voi kohdata ongelman: jos fysikaaliset tai kemialliset prosessit voidaan esittää visuaalisesti ja ymmärtää empiirisesti, niin matemaattisen abstraktion taso on erittäin korkea, ja ymmärrys tulee tässä vain kokemus.
Peli on kuitenkin kynttilän arvoinen, koska kaavoja - sekä tässä artikkelissa käsiteltyjä että monimutkaisempia - käytetään kaikkialla nykyään ja niistä voi olla hyötyä työssä.
Alkuperä
Kummallista kyllä, sysäys tämän matematiikan osan kehittämiseen oli … uhkapelit. Noppa, kolikonheitto, pokeri ja ruletti ovatkin tyypillisiä esimerkkejä, joissa käytetään todennäköisyyksien yhteen- ja kertolaskua. Minkä tahansa oppikirjan tehtävien esimerkissä tämä näkyy selvästi. Ihmiset olivat kiinnostuneita oppimaan lisäämään voittomahdollisuuksiaan, ja minun on sanottava, että jotkut onnistuivat tässä.
Esimerkiksi jo 2000-luvulla yksi henkilö, jonka nimeä emme paljasta,käytti tätä vuosisatojen aikana kertynyttä tietoa kasinon kirjaimellisesti "puhdistamiseen" ja voitti useita kymmeniä miljoonia dollareita ruletissa.
Aihetta kohtaan lisääntyneestä kiinnostuksesta huolimatta vasta 1900-luvulla kehitettiin teoreettinen viitekehys, joka teki "teorverista" matematiikan täyden osan. Nykyään lähes mistä tahansa tieteestä löytyy laskelmia todennäköisyysmenetelmillä.
Käytettävyys
Tärkeä kohta käytettäessä todennäköisyyksien yhteen- ja kertolaskukaavoja, ehdollinen todennäköisyys on keskirajalauseen täyttymys. Muuten kaikki laskelmat, vaikka ne näyttäisivät kuinka uskottavilta, ovat virheellisiä, vaikka opiskelija ei ehkä ymmärtäisikään sitä.
Kyllä, erittäin motivoitunut oppija houkuttelee käyttämään uutta tietoa aina kun mahdollista. Mutta tässä tapauksessa pitäisi hidastaa hieman ja hahmotella tiukasti sovellettavuutta.
Todennäköisyysteoria käsittelee satunnaisia tapahtumia, jotka empiirisesti ovat kokeiden tuloksia: voimme heittää kuusisivuista noppaa, vetää korttipakasta, ennustaa viallisten osien lukumäärän erässä. Joissakin kysymyksissä on kuitenkin kategorisesti mahdotonta käyttää tämän matematiikan osan kaavoja. Käsittelemme tapahtuman todennäköisyyksien huomioimisen piirteitä, tapahtumien yhteen- ja kertolaskulauseita artikkelin lopussa, mutta nyt siirrytään esimerkkeihin.
Peruskäsitteet
Satunnainen tapahtuma tarkoittaa jotakin prosessia tai tulosta, joka saattaa näkyä tai eikokeilun seurauksena. Heitämme esimerkiksi voileivän – se voi pudota voita ylös tai alas. Kumpikin lopputuloksesta on satunnainen, emmekä tiedä etukäteen kumpi niistä toteutuu.
Kun tutkimme todennäköisyyksien yhteen- ja kertolaskua, tarvitsemme vielä kaksi käsitettä.
Yhteiset tapahtumat ovat tapahtumia, joista toisen toteutuminen ei sulje pois toisen tapahtumista. Oletetaan, että kaksi ihmistä ampuu maaliin samanaikaisesti. Jos toinen ampuu onnistuneen laukauksen, se ei vaikuta toisen kykyyn osua tai ohittaa.
Epäjohdonmukaisia ovat sellaiset tapahtumat, joiden esiintyminen on samanaikaisesti mahdotonta. Esimerkiksi vetämällä vain yksi pallo laatikosta, et voi saada sekä sinistä että punaista kerralla.
Nimittely
Todennäköisyyskäsite on merkitty latinalaisella isolla kirjaimella P. Seuraavaksi suluissa on joitain tapahtumia kuvaavat argumentit.
Summauslauseen, ehdollisen todennäköisyyden, kertolaskulauseen kaavoissa näet lausekkeet suluissa, esimerkiksi: A+B, AB tai A|B. Ne lasketaan eri tavoilla, nyt käsittelemme niitä.
Lisäys
Katsotaan tapauksia, joissa käytetään yhteen- ja kertolaskukaavoja.
Yhteensopimattomille tapahtumille yksinkertaisin summauskaava on merkityksellinen: minkä tahansa satunnaisen tuloksen todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tulosten todennäköisyyksien summa.
Oletetaan, että siellä on laatikko, jossa on 2 sinistä, 3 punaista ja 5 keltaista ilmapalloa. Laatikossa on yhteensä 10 tuotetta. Mikä on totuusprosentti väitteestä, että piirretään sininen tai punainen pallo? Se on yhtä suuri kuin 2/10 + 3/10, eli viisikymmentä prosenttia.
Yhteensopimattomien tapahtumien tapauksessa kaavasta tulee monimutkaisempi, koska siihen lisätään ylimääräinen termi. Palaamme siihen yhdessä kappaleessa harkittuamme vielä yhtä kaavaa.
Kertokerta
Eri tapauksissa käytetään riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksien yhteen- ja kertolaskua. Jos olemme kokeen ehtojen mukaan tyytyväisiä jompaankumpaan kahdesta mahdollisesta tuloksesta, laskemme summan; jos haluamme saada kaksi tiettyä tulosta peräkkäin, turvaudumme käyttämään eri kaavaa.
Palaamme edellisen osan esimerkkiin, haluamme piirtää ensin sinisen pallon ja sitten punaisen. Ensimmäinen tuntemamme numero on 2/10. Mitä tapahtuu seuraavaksi? Palloja on jäljellä 9, punaisia on vielä saman verran - kolme kappaletta. Laskelmien mukaan saat 3/9 tai 1/3. Mutta mitä tehdä kahdella numerolla nyt? Oikea vastaus on kertomalla 2/30.
Yhteiset tapahtumat
Nyt voimme palata yhteisten tapahtumien summakaavaan. Miksi poikkeamme aiheesta? Oppia kuinka todennäköisyydet kerrotaan. Nyt tästä tiedosta on hyötyä.
Tiedämme jo, mitkä kaksi ensimmäistä termiä ovat (sama kuin aiemmin käsitellyssä summauskaavassa), nyt meidän on vähennettäväTodennäköisyyksien tulo, jonka olemme juuri oppineet laskemaan. Selvyyden vuoksi kirjoitamme kaavan: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Osoittautuu, että yhdessä lausekkeessa käytetään sekä todennäköisyyksien yhteen- että kertolaskua.
Oletetaan, että meidän on ratkaistava jompikumpi kahdesta ongelmasta saadaksemme luottoa. Voimme ratkaista ensimmäisen todennäköisyydellä 0,3 ja toisen - 0,6 Ratkaisu: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72 Huomaa, että pelkkä lukujen summaus ei tässä riitä.
Ehdollinen todennäköisyys
Lopuksi on olemassa ehdollisen todennäköisyyden käsite, jonka argumentit on merkitty suluissa ja erotettu pystypalkilla. Merkintä P(A|B) kuuluu seuraavasti: "tapahtuman A tietyn tapahtuman B todennäköisyys".
Katsotaanpa esimerkkiä: ystävä antaa sinulle laitteen, olkoon se puhelin. Se voi olla rikki (20 %) tai hyvä (80 %). Pystyt korjaamaan minkä tahansa käsiisi joutuvan laitteen todennäköisyydellä 0,4 tai et pysty tekemään sitä (0,6). Lopuksi, jos laite on toimintakunnossa, voit tavoittaa oikean henkilön todennäköisyydellä 0,7.
On helppo nähdä, kuinka ehdollinen todennäköisyys toimii tässä tapauksessa: ihmisen luo ei pääse, jos puhelin on rikki, ja jos se on hyvä, sitä ei tarvitse korjata. Näin ollen saadaksesi tuloksia "toisella tasolla", sinun on tiedettävä, mikä tapahtuma suoritettiin ensimmäisellä tasolla.
Laskelmat
Katsotaan esimerkkejä todennäköisyyksien yhteen- ja kertolaskujen ongelmien ratkaisemisesta käyttämällä edellisen kappaleen tietoja.
Määritetään ensin todennäköisyys, että sinäkorjaa sinulle annettu laite. Tätä varten sen on ensinnäkin oltava viallinen, ja toiseksi sinun on selviydyttävä korjauksesta. Tämä on tyypillinen kertolaskutehtävä: saamme 0,20,4=0,08.
Millä todennäköisyydellä pääset heti oikean henkilön luo? Helpompi kuin yksinkertainen: 0,80,7=0,56. Tässä tapauksessa huomasit puhelimen toimivan ja soitit puhelun.
Mieti lopuksi tätä skenaariota: sait rikkinäisen puhelimen, korjasit sen, valitsit sitten numeron, ja vastakkaisessa päässä oleva henkilö vastasi puhelimeen. Tässä vaaditaan jo kolmen komponentin kertolasku: 0, 20, 40, 7=0, 056.
Entä jos sinulla on kaksi ei-toimivaa puhelinta kerralla? Kuinka todennäköisesti korjaat ainakin yhden niistä? Tämä on todennäköisyyksien yhteen- ja kertolaskuongelma, koska käytetään yhteisiä tapahtumia. Ratkaisu: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Huolellinen käyttö
Kuten artikkelin alussa mainittiin, todennäköisyysteorian käytön tulee olla tarkoituksellista ja tietoista.
Mitä suurempi koesarja on, sitä lähempänä teoreettisesti ennustettu arvo lähestyy käytännön arvoa. Heitämme esimerkiksi kolikon. Teoreettisesti, kun tiedämme todennäköisyyksien yhteen- ja kertolaskukaavojen olemassaolosta, voimme ennustaa kuinka monta kertaa päät ja hännät putoavat, jos suoritamme kokeen 10 kertaa. Teimme kokeen jaSattum alta pudonneiden puolien suhde oli 3:7. Mutta jos suoritat 100, 1000 tai useamman yrityksen sarjan, käy ilmi, että jakaumakäyrä on lähempänä teoreettista: 44:stä 56:een, 482:een. 518 ja niin edelleen.
Kuvittele nyt, että tätä koetta ei suoriteta kolikolla, vaan tuotetaan jotain uutta kemiallista ainetta, jonka todennäköisyyttä emme tiedä. Suoritamme 10 koetta, ja jos emme saaneet onnistunutta tulosta, voisimme yleistää: "ainetta ei voida saada." Mutta kuka tietää, jos olisimme tehneet yhdennentoista yrityksen, olisimmeko saavuttaneet tavoitteen vai emme?
Joten jos olet menossa tuntemattomaan, tutkimattomaan v altakuntaan, todennäköisyysteoria ei välttämättä päde. Jokainen myöhempi yritys voi tässä tapauksessa onnistua ja yleistykset, kuten "X ei ole olemassa" tai "X on mahdoton", ovat ennenaikaisia.
Loppusana
Olemme siis tarkastelleet kahden tyyppistä yhteenlaskua, kertolaskua ja ehdollista todennäköisyyttä. Tämän alueen lisätutkimuksessa on tarpeen oppia erottamaan tilanteet, kun kutakin tiettyä kaavaa käytetään. Lisäksi sinun on ymmärrettävä, ovatko todennäköisyyspohjaiset menetelmät yleisesti sovellettavissa ongelmasi ratkaisemiseen.
Jos harjoittelet, alat jonkin ajan kuluttua suorittaa kaikkia vaadittuja toimintoja yksinomaan mielessäsi. Niille, jotka pitävät korttipeleistä, tämä taito voidaan harkitaerittäin arvokas - lisäät merkittävästi voittomahdollisuuksiasi, kun lasket tietyn kortin tai puvun todennäköisyyden. Hankittua tietoa voidaan kuitenkin helposti soveltaa muilla toiminta-alueilla.
