Suora kolmioprisma. Tilavuuden ja pinta-alan kaavat. Geometrisen ongelman ratkaisu

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-02 17:46

Lukiossa, tutkittuaan tasossa olevien hahmojen ominaisuuksia, siirrytään geometristen tilan kohteiden, kuten prismien, pallojen, pyramidien, sylinterien ja kartioiden, tarkasteluun. Tässä artikkelissa annamme täydellisimmän kuvauksen suorasta kolmiomaisesta prismasta.

Mikä on kolmioprisma?

Aloitetaan artikkeli kuvion määritelmällä, jota käsitellään myöhemmin. Prisma on geometrian kann alta katsottuna avaruuskuvio, joka muodostuu kahdesta identtisestä yhdensuuntaisissa tasoissa sijaitsevasta n-kulmiosta, joiden samat kulmat on yhdistetty suorilla janoilla. Näitä segmenttejä kutsutaan lateraalisiksi kylkiluiksi. Yhdessä pohjan sivujen kanssa ne muodostavat sivupinnan, joka on yleensä esitetty suunnikasilla.

Kaksi n-kulmiota ovat kuvion perusta. Jos sivureunat ovat kohtisuorassa niihin nähden, ne puhuvat suorasta prismasta. Vastaavasti, jos monikulmion sivujen lukumäärä n kannassa on kolme, niin tällaista kuvaa kutsutaan kolmioprismaksi.

Kolmiomainen suora prisma näkyy yllä kuvassa. Tätä lukua kutsutaan myös säännölliseksi, koska sen kantat ovat tasasivuisia kolmioita. Kuvan sivureunan pituutta, joka on merkitty kuvassa kirjaimella h, kutsutaan sen korkeudeksi.

Kuvassa näkyy, että prisma, jossa on kolmiokanta, muodostuu viidestä pinnasta, joista kaksi on tasasivuisia kolmioita ja kolme identtisiä suorakulmioita. Pintojen lisäksi prismassa on kuusi kärkeä pohjissa ja yhdeksän reunaa. Tarkasteltavien elementtien lukumäärät liittyvät toisiinsa Eulerin lauseella:

reunojen lukumäärä=kärkien lukumäärä + sivujen lukumäärä - 2.

Oikean kolmion muotoisen prisman pinta-ala

Yllä selvisimme, että kyseessä oleva hahmo muodostuu viidestä kahdentyyppisestä pinnasta (kaksi kolmiota, kolme suorakulmiota). Kaikki nämä pinnat muodostavat prisman koko pinnan. Niiden kokonaispinta-ala on kuvion pinta-ala. Alla on kolmioprisman avaus, joka saadaan leikkaamalla ensin kaksi pohjaa kuvasta ja sitten leikkaamalla toista reunaa pitkin ja avaamalla sivupinta.

Annetaan kaavat tämän pyyhkäisyn pinta-alan määrittämiseksi. Aloitetaan suorakulmaisen kolmioprisman kannoista. Koska ne edustavat kolmioita, kunkin alueen alue S_{3 löytyy seuraavasti:}

S₃=1/2ah_a.

Tässä a on kolmion sivu, h_{a on korkeus, joka on laskettu kolmion kärjestä tälle sivulle.}

Jos kolmio on tasasivuinen (säännöllinen), kaava S_{3 riippuu vain yhdestä parametrista a. Se näyttää tältä:}

S₃=√3/4a^2.

Tämä lauseke voidaan saada tarkastelemalla janoista a, a/2, h_{a. muodostettua suorakulmaista kolmiota}

Kannan S_o pinta-ala tavalliselle luvulle on kaksi kertaa S_3:

S_o=2S₃=√3/2a^2.

Mitä tulee sivuttaiseen pinta-alaan S_{b, sen laskeminen ei ole vaikeaa. Tätä varten riittää, että kerrotaan kolmella yhden suorakulmion pinta-ala, jonka sivut a ja h muodostavat. Vastaava kaava on:}

S_b=3ah.

Siten säännöllisen prisman, jolla on kolmiokanta, pinta-ala saadaan seuraavalla kaavalla:

S=S_o+ S_b=√3/2a^{2+ 3 ah.}

Jos prisma on suora, mutta epäsäännöllinen, niin sen pinta-alan laskemiseksi sinun tulee laskea erikseen ne suorakulmiot, jotka eivät ole yhtä suuria keskenään.

Kuvan tilavuuden määrittäminen

Prisman tilavuus ymmärretään sen sivujen (pintojen) rajoittamaksi tilaksi. Suorakulmaisen kolmion muotoisen prisman tilavuuden laskeminen on paljon helpompaa kuin sen pinta-alan laskeminen. Tätä varten riittää, että tiedät pohjan alueen ja hahmon korkeuden. Koska suoran hahmon korkeus h on sen sivureunan pituus ja kuinka pohjapinta-ala lasketaan, olemme antaneet edellisessäpisteessä, sitten on vielä kerrottava nämä kaksi arvoa keskenään halutun tilavuuden saamiseksi. Sen kaava on:

V=S_3h.

Huomaa, että yhden kannan pinta-alan ja korkeuden tulo antaa paitsi suoran prisman tilavuuden myös vinon muodon ja jopa sylinterin.

Ongelmanratkaisu

Lasisia kolmioprismoja käytetään optiikassa sähkömagneettisen säteilyn spektrin tutkimiseen dispersioilmiön vuoksi. Tiedetään, että tavallisen lasiprisman pohjasivun pituus on 10 cm ja reunan pituus 15 cm. Mikä on sen lasipintojen pinta-ala ja minkä tilavuuden se sisältää?

Alueen määrittämiseksi käytämme artikkelissa kirjoitettua kaavaa. Meillä on:

S=√3/2a²+ 3ah=√3/210² + 3 1015=536,6 cm^2.

Määrittääksemme äänenvoimakkuuden V, käytämme myös yllä olevaa kaavaa:

V=S₃h=√3/4a²h=√3/410 2^{15=649,5 cm}3^.

Huolimatta siitä, että prisman reunat ovat 10 cm ja 15 cm pitkiä, hahmon tilavuus on vain 0,65 litraa (kuution, jonka sivu on 10 cm, tilavuus on 1 litra).