Koulun geometrian kurssi on jaettu kahteen suureen osaan: planimetria ja solid-geometria. Stereometria tutkii tilahahmoja ja niiden ominaisuuksia. Tässä artikkelissa tarkastelemme, mitä suora prisma on, ja annamme kaavoja, jotka kuvaavat sen ominaisuuksia, kuten diagonaalin pituutta, tilavuutta ja pinta-alaa.
Mikä on prisma?
Kun koululaisia pyydetään nimeämään prisman määritelmä, he vastaavat, että tämä kuvio on kaksi identtistä yhdensuuntaista monikulmiota, joiden sivut on yhdistetty suunnikkailla. Tämä määritelmä on mahdollisimman yleinen, koska se ei aseta ehtoja monikulmioiden muodolle, niiden keskinäiselle sijoittelulle yhdensuuntaisissa tasoissa. Lisäksi se merkitsee yhdistävien suunnikkaiden olemassaoloa, joiden luokkaan kuuluu myös neliö, rombi ja suorakulmio. Alla näet, mikä on nelikulmainen prisma.
Näemme, että prisma on monitahoinen (polyhedron), joka koostuu luvusta n + 2sivuja, 2 × n kärkeä ja 3 × n reunaa, missä n on yhden polygonin sivujen (pisteiden) lukumäärä.
Molempia polygoneja kutsutaan yleensä kuvion kantaviksi, muut pinnat ovat prisman sivuja.
Suoran prisman käsite
Prismoja on erilaisia. Joten he puhuvat säännöllisistä ja epäsäännöllisistä hahmoista, kolmiomaisista, viisikulmaisista ja muista prismoista, on kuperia ja koveria, ja lopuksi ne ovat vinoja ja suoria. Puhutaanpa jälkimmäisestä tarkemmin.
Oikea prisma on sellainen tutkitun polyhedraluokan hahmo, jonka kaikilla sivuneliöillä on suorat kulmat. Tällaisia nelikulmioita on vain kahta tyyppiä - suorakulmio ja neliö.
Kuvan tarkastelumuodossa on tärkeä ominaisuus: suoran prisman korkeus on yhtä suuri kuin sen sivureunan pituus. Huomaa, että kuvion kaikki sivureunat ovat yhtä suuret. Mitä tulee sivupintoihin, ne eivät yleensä ole keskenään samanarvoisia. Niiden tasa-arvo on mahdollista, jos sen lisäksi, että prisma on suora, se on myös oikea.
Alla olevassa kuvassa on suora hahmo viisikulmaisella pohjalla. Voidaan nähdä, että sen kaikki sivupinnat ovat suorakulmioita.
Prisman diagonaalit ja sen lineaariset parametrit
Kaiken prisman tärkeimmät lineaariset ominaisuudet ovat sen korkeus h ja pohjan sivujen pituudet ai, missä i=1, …, n. Jos kanta on säännöllinen monikulmio, niin sen ominaisuuksien kuvaamiseksi riittää, että tiedetään yhden sivun pituus a. Merkittyjen lineaaristen parametrien tunteminen antaa meille mahdollisuuden yksiselitteisestimäärittele kuvion sellaiset ominaisuudet kuin sen tilavuus tai pinta.
Suoran prisman diagonaalit ovat segmenttejä, jotka yhdistävät mitkä tahansa kaksi ei-viereistä kärkeä. Tällaisia diagonaaleja voi olla kolmenlaisia:
- makaa pohjatasoissa;
- sijaitsee sivusuorakulmioiden tasoissa;
- niitteeseen kuuluvat hahmot.
Niiden kantaan liittyvien diagonaalien pituudet tulisi määrittää n-kulman tyypin mukaan.
Sivuisten suorakulmioiden diagonaalit lasketaan seuraavalla kaavalla:
d1i=√(ai2+ h2).
Voit määrittää äänenvoimakkuuden diagonaalit, sinun on tiedettävä vastaavan kantalävistäjän pituuden ja korkeuden arvo. Jos jokin kannan lävistäjä on merkitty kirjaimella d0i, niin tilavuusdiagonaali d2i lasketaan seuraavasti:
d2i=√(d0i2+ h2).
Esimerkiksi säännöllisen nelikulmaisen prisman tapauksessa tilavuuslävistäjän pituus on:
d2=√(2 × a2+ h2).
Huomaa, että suorakulmaisessa kolmioprismassa on vain yksi kolmesta nimetystä diagonaalityypistä: sivudiagonaali.
Tutkitun muotoluokan pinta
Pinta-ala on hahmon kaikkien pintojen pintojen summa. Jos haluat visualisoida kaikki kasvot, sinun tulee skannata prisma. Esimerkkinä tällainen pyyhkäisy viisikulmaiselle hahmolle on esitetty alla.
Näemme, että tasokuvioiden lukumäärä on n + 2 ja n ovat suorakulmioita. Laskeaksesi koko pyyhkäisyn alueen laskemalla yhteen kahden samanlaisen kannan pinta-alat ja kaikkien suorakulmioiden pinta-alat. Sitten vastaava kaava näyttää tältä:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
Tämä yhtälö osoittaa, että tutkitun prisman sivupinta-ala on yhtä suuri kuin kuvion korkeuden ja sen pohjan kehän tulo.
So peruspinta-ala voidaan laskea käyttämällä sopivaa geometrista kaavaa. Esimerkiksi, jos suoran prisman kanta on suorakulmainen kolmio, saamme:
So=a1 × a2 / 2.
Missä a1 ja2 ovat kolmion jalat.
Jos kanta on n-kulmio, jolla on yhtäläiset kulmat ja sivut, seuraava kaava on oikeudenmukainen:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Volume Formula
Minkä tahansa prisman tilavuuden määrittäminen ei ole vaikea tehtävä, jos sen kantapinta-ala So ja korkeus h tunnetaan. Kun nämä arvot kerrotaan yhteen, saadaan kuvion tilavuus V eli:
V=So × h.
Koska suoran prisman parametri h on yhtä suuri kuin sivureunan pituus, koko tilavuuden laskemisen ongelma rajoittuu alueen So laskemiseen. Meidän yläpuolellammeovat jo sanoneet muutaman sanan ja antaneet pari kaavaa So määrittämiseksi. Tässä huomautamme vain, että mieliv altaisen muotoisen pohjan tapauksessa sinun tulee jakaa se yksinkertaisiin segmentteihin (kolmiot, suorakulmiot), laskea kunkin pinta-ala ja sitten lisätä kaikki alueet saadaksesi S o.
