Suoran prisman pinta-ala: kaavat ja esimerkki ongelmasta

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-02 17:46

Tilavuus ja pinta-ala ovat kaksi tärkeää ominaisuutta kaikille kappaleille, joilla on äärelliset mitat kolmiulotteisessa avaruudessa. Tässä artikkelissa tarkastelemme tunnettua polyhedraluokkaa - prismoja. Erityisesti selviää kysymys siitä, kuinka löytää suoran prisman pinta-ala.

Mikä on prisma?

Prisma on mikä tahansa monitahoinen, jota rajoittavat useat suunnikkaat ja kaksi identtistä monikulmiota, jotka sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa. Näitä monikulmioita pidetään kuvion kantajina ja sen suunnikkaat ovat sivuja. Pohjan sivujen (kulmien) lukumäärä määrittää kuvion nimen. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa on viisikulmainen prisma.

Jalkojen välistä etäisyyttä kutsutaan kuvion korkeudeksi. Jos korkeus on yhtä suuri kuin minkä tahansa sivureunan pituus, tällainen prisma on suora. Toinen riittävä ominaisuus suorassa prismassa on, että sen kaikki sivut ovat suorakulmioita tai neliöitä. Jos kuitenkinJos toinen puoli on yleinen suuntaviiva, kuva on vinossa. Alla näet kuinka suorat ja vinot prismat eroavat visuaalisesti nelikulmaisten kuvioiden esimerkissä.

Suoran prisman pinta-ala

Jos geometrisella kuviolla on n-kulmainen kanta, se koostuu n+2 pinnasta, joista n on suorakulmioita. Merkitään pohjan sivujen pituudet a_i, missä i=1, 2, …, n, ja merkitään kuvion korkeus, joka on yhtä suuri kuin kuvion pituus. sivureuna, kuten h. Kaikkien pintojen pinta-alan (S) määrittämiseksi lisää kunkin kannan pinta-ala S_{o ja sivujen kaikki alueet (suorakulmiot). Siten kaava S:lle yleismuodossa voidaan kirjoittaa seuraavasti:}

S=2S_o+ S_b

Missä S_{b on sivupinta-ala.}

Koska suoran prisman kanta voi olla täysin mikä tahansa litteä monikulmio, yhtä kaavaa S_{olaskemiseen ei voida antaa, ja tämän arvon määrittämiseksi yleisesti Tässä tapauksessa geometrinen analyysi on suoritettava. Jos kanta on esimerkiksi säännöllinen n-kulmio, jonka sivu on a, sen pinta-ala lasketaan kaavalla:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

S_{b:n arvolle voidaan antaa lauseke sen laskentaa varten. Suoran prisman sivupinta-ala on:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

Toisin sanoen arvoS_{b lasketaan hahmon korkeuden ja sen pohjan kehän tulona.}

Esimerkki ongelmanratkaisusta

Käyttäkäämme hankittua tietoa seuraavan geometrisen ongelman ratkaisemiseen. Annettu prisma, jonka pohja on suorakulmainen kolmio, jonka sivut ovat suorassa kulmassa 5 cm ja 7 cm. Kuvan korkeus on 10 cm. On tarpeen löytää suoran kolmion muotoisen prisman pinta-ala.

Lasketaan ensin kolmion hypotenuusa. Se on yhtä suuri kuin:

c=√(5²+ 7^{2)=8,6 cm}

Tehdään nyt vielä yksi valmistava matemaattinen operaatio - lasketaan pohjan ympärysmitta. Se on:

P=5 + 7 + 8,6=20,6 cm

Kuvan sivupinnan pinta-ala lasketaan arvon P ja korkeuden h=10 cm tulona, eli S_b=206 cm ^2.

Koko pinnan alueen selvittämiseksi, löydettyyn arvoon on lisättävä kaksi perusaluetta. Koska suorakulmaisen kolmion pinta-ala määräytyy puolessa jalkojen tulosta, saamme:

2S_o=257/2=35 cm²

Silloin saadaan, että suoran kolmion muotoisen prisman pinta-ala on 35 + 206=241 cm2.