Kun joudut ratkaisemaan fysiikan tehtäviä esineiden liikkumisesta, on usein hyödyllistä soveltaa liikemäärän säilymislakia. Mikä on kehon lineaarisen ja ympyräliikkeen liikemäärä ja mikä on tämän arvon säilymislain ydin, käsitellään artikkelissa.
Lineaarisen liikemäärän käsite
Historiatiedot osoittavat, että Galileo Galilei käsitteli tätä arvoa ensimmäistä kertaa tieteellisissä töissään 1600-luvun alussa. Myöhemmin Isaac Newton kykeni harmonisesti integroimaan liikemäärän käsitteen (oikeampi nimi liikemäärälle) klassiseen teoriaan esineiden liikkumisesta avaruudessa.
Meritä liikemäärä p¯, niin sen laskentakaava kirjoitetaan seuraavasti:
p¯=mv¯.
Tässä m on massa, v¯ on liikkeen nopeus (vektoriarvo). Tämä yhtälö osoittaa, että liikkeen määrä on esineelle ominaista nopeutta, jossa massalla on kertoimen rooli. Liikkeiden lukumääräon vektorisuure, joka osoittaa samaan suuntaan kuin nopeus.
Intuitiivisesti mitä suurempi liikenopeus ja kehon massa on, sitä vaikeampaa on pysäyttää se, eli sitä suurempi liike-energia sillä on.
Liikkeen määrä ja sen muutos
Voit arvata, että muuttaaksesi kehon p¯-arvoa, sinun on käytettävä voimaa. Olkoon voiman F¯ vaikuttaa aikavälillä Δt, jolloin Newtonin laki sallii meidän kirjoittaa yhtälön:
F¯Δt=ma¯Δt; siksi F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.
Arvoa, joka on yhtä suuri kuin aikavälin Δt ja voiman F¯ tulo, kutsutaan tämän voiman impulssiksi. Koska se on yhtä suuri kuin liikemäärän muutos, jälkimmäistä kutsutaan usein yksinkertaisesti liikemääräksi, mikä viittaa siihen, että jokin ulkoinen voima F¯ loi sen.
Syy liikemäärän muutokseen on siis ulkoisen voiman liikemäärä. Δp¯:n arvo voi johtaa sekä p¯:n arvon kasvuun, jos F¯:n ja p¯:n välinen kulma on terävä, että p¯:n moduulin pienenemiseen, jos tämä kulma on tylppä. Yksinkertaisimmat tapaukset ovat kappaleen kiihtyvyys (kulma F¯ ja p¯ välillä on nolla) ja sen hidastuvuus (vektorien F¯ ja p¯ välinen kulma on 180o).
Kun vauhti säilyy: laki
Jos kehojärjestelmä ei oleulkoiset voimat vaikuttavat, ja kaikkia siinä olevia prosesseja rajoittaa vain sen komponenttien mekaaninen vuorovaikutus, niin jokainen liikemäärän komponentti pysyy muuttumattomana mieliv altaisen pitkän ajan. Tämä on kappaleiden liikemäärän säilymislaki, joka on kirjoitettu matemaattisesti seuraavasti:
p¯=∑ipi¯=const tai
∑ipix=const; ∑ipiy=const; ∑ipiz=const.
Alaindeksi i on kokonaisluku, joka luettelee järjestelmän kohteen, ja indeksit x, y, z kuvaavat liikemäärän komponentteja kullekin koordinaattiakselille suorakulmaisessa suorakulmaisessa järjestelmässä.
Käytännössä on usein tarpeen ratkaista yksiulotteisia ongelmia kappaleiden törmäyksessä, kun alkuolosuhteet ovat tiedossa ja on tarpeen määrittää järjestelmän tila törmäyksen jälkeen. Tässä tapauksessa liikemäärä säilyy aina, mitä ei voida sanoa liike-energiasta. Jälkimmäinen ennen ja jälkeen iskun pysyy muuttumattomana vain yhdessä tapauksessa: kun on ehdottoman joustava vuorovaikutus. Tässä tapauksessa nopeuksilla v1 ja v2 liikkuvan kappaleen törmäystapauksessaliikemäärän säilymiskaava on muotoa:
m1 v1 + m2 v 2=m1 u1 + m2 u 2.
Tässä nopeudet u1 ja u2 kuvaavat kappaleiden liikettä törmäyksen jälkeen. Huomaa, että tässä säilymislain muodossa on otettava huomioon nopeuksien etumerkki: jos ne on suunnattu toisiaan kohti, niin tulee ottaapositiivinen ja toinen negatiivinen.
Täysin joustamattomassa törmäyksessä (kaksi kappaletta tarttuvat yhteen törmäyksen jälkeen) liikemäärän säilymislaki on muotoa:
m1 v1 + m2 v 2=(m1+ m2)u.
P¯:n säilymislain ongelman ratkaisu
Ratkaisemme seuraava ongelma: kaksi palloa vierii toisiaan kohti. Pallien massat ovat samat ja niiden nopeudet ovat 5 m/s ja 3 m/s. Olettaen, että kyseessä on ehdottoman elastinen törmäys, on tarpeen löytää pallojen nopeudet sen jälkeen.
Käyttäen liikemäärän säilymislakia yksiulotteisessa tapauksessa ja ottaen huomioon, että liike-energia säilyy törmäyksen jälkeen, kirjoitamme:
v1 - v2=u1 + u 2;
v12 + v22=u12 + u22.
Tässä pienensimme välittömästi pallojen massoja niiden tasaisuuden vuoksi ja otimme huomioon myös sen, että kappaleet liikkuvat toisiaan kohti.
Järjestelmän ratkaisemista on helpompi jatkaa, jos korvaat tunnetuilla tiedoilla. Saamme:
5 - 3 - u2=u1;
52+ 32=u12+ u22.
Korvaamalla u1 toiseen yhtälöön, saamme:
2 - u2=u1;
34=(2 - u2)2+u2 2=4 - 4u2 + 2u22; siten,u22- 2u2 - 15=0.
Saimme klassisen toisen asteen yhtälön. Ratkaisemme sen diskriminantilla, saamme:
D=4 - 4 (-15)=64.
u2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m/c.
Saimme kaksi ratkaisua. Jos korvaamme ne ensimmäisellä lausekkeella ja määrittelemme u1, saamme seuraavan arvon: u1=-3 m/s, u 2=5 m/s; u1=5 m/s, u2=-3 m/s. Toinen lukupari on annettu tehtävän ehdossa, joten se ei vastaa todellista nopeuksien jakaumaa törmäyksen jälkeen.
Jäljelle jää siis vain yksi ratkaisu: u1=-3 m/s, u2=5 m/s. Tämä omituinen tulos tarkoittaa, että keskikimmoisessa törmäyksessä kaksi samanmassaista palloa yksinkertaisesti vaihtavat nopeuttaan.
Voiman hetki
Kaikki edellä sanottu viittaa lineaariseen liikkeen tyyppiin. Osoittautuu kuitenkin, että samanlaisia suureita voidaan ottaa käyttöön myös kappaleiden ympyräsiirtyessä tietyn akselin ympäri. Kulmaliikemäärä, jota kutsutaan myös kulmaliikemääräksi, lasketaan materiaalipisteen kiertoakseliin yhdistävän vektorin ja tämän pisteen liikemäärän tulona. Eli kaava tapahtuu:
L¯=r¯p¯, missä p¯=mv¯.
Momentum, kuten p¯, on vektori, joka on suunnattu kohtisuoraan vektoreille r¯ ja p¯ rakennettuun tasoon.
L¯:n arvo on tärkeä ominaisuus pyörivälle systeemille, koska se määrää siihen varastoidyn energian.
Momentti ja säilymislaki
Kulmamomentti säilyy, jos järjestelmään ei vaikuta ulkoisia voimia (yleensä sanotaan, että voimien momenttia ei ole). Edellisessä kappaleessa oleva lauseke voidaan kirjoittaa yksinkertaisten muunnosten avulla käytännön kann alta kätevämpään muotoon:
L¯=Iω¯, missä I=mr2 on materiaalipisteen hitausmomentti, ω¯ on kulmanopeus.
Laukeessa esiintyneellä hitausmomentilla I on täsmälleen sama merkitys pyörimiselle kuin tavallisella lineaarisen liikkeen massalla.
Jos järjestelmässä tapahtuu jokin sisäinen uudelleenjärjestely, jossa I muuttuu, niin ω¯ ei myöskään pysy vakiona. Lisäksi molempien fyysisten suureiden muutos tapahtuu siten, että alla oleva yhtälö pysyy voimassa:
I1 ω1¯=I2 ω 2¯.
Tämä on liikemäärän L¯ säilymislaki. Sen ilmentymisen havaitsivat jokainen, joka on vähintään kerran käynyt balettissa tai taitoluistelussa, jossa urheilijat esittävät piruetteja pyörien.
