Jokainen opiskelija on kuullut pyöreästä kartiosta ja kuvittelee, miltä tämä kolmiulotteinen hahmo näyttää. Tässä artikkelissa määritellään kartion kehitys, annetaan kaavoja, jotka kuvaavat sen ominaisuuksia, ja kuvataan, kuinka se rakennetaan kompassin, astemittarin ja suoraviivan avulla.
Pyöreä kartio geometriassa
Annetaan tälle kuviolle geometrinen määritelmä. Pyöreä kartio on pinta, joka muodostuu suorista viivaosista, jotka yhdistävät tietyn ympyrän kaikki pisteet yhteen pisteeseen avaruudessa. Tämä yksittäinen piste ei saa kuulua tasoon, jossa ympyrä sijaitsee. Jos otamme ympyrän ympyrän sijaan, tämä menetelmä johtaa myös kartioon.
Ympyrää kutsutaan kuvion pohjaksi, sen ympärysmitta on suuntaviiva. Segmenttejä, jotka yhdistävät pisteen suuntaviivaan, kutsutaan generaatreiksi tai generaattoreiksi, ja piste, jossa ne leikkaavat, on kartion kärki.
Pyöreä kartio voi olla suora ja vino. Molemmat luvut näkyvät alla olevassa kuvassa.
Niiden välinen ero on tämä: jos kartion huipulta lähtevä kohtisuora putoaa tarkalleen ympyrän keskelle, kartio on suora. Hänelle kohtisuora, jota kutsutaan hahmon korkeudeksi, on osa hänen akseliaan. Kun kyseessä on vino kartio, korkeus ja akseli muodostavat terävän kulman.
Kuvan yksinkertaisuuden ja symmetrian vuoksi tarkastelemme edelleen vain pyöreäpohjaisen oikean kartion ominaisuuksia.
Muodon saaminen pyörittämällä
Ennen kuin ryhdyt tarkastelemaan kartion pinnan kehitystä, on hyödyllistä tietää, kuinka tämä tilakuva saadaan kiertoa käyttämällä.
Oletetaan, että meillä on suorakulmainen kolmio, jonka sivut ovat a, b, c. Kaksi ensimmäistä niistä ovat jalkoja, c on hypotenuusa. Laitetaan kolmio jalkaan a ja aloitetaan pyörittäminen jalan b ympäri. Hypotenuusa c kuvaa sitten kartiomaista pintaa. Tämä yksinkertainen kartiotekniikka on esitetty alla olevassa kaaviossa.
Ilmeisesti jalka a on kuvion pohjan säde, jalka b on sen korkeus ja hypotenuusa c vastaa pyöreän oikeanpuoleisen kartion generatriisia.
Näkymä kartion kehityksestä
Kuten arvata saattaa, kartio muodostuu kahdentyyppisistä pinnoista. Yksi niistä on tasainen pohjaympyrä. Oletetaan, että sillä on säde r. Toinen pinta on lateraalinen ja sitä kutsutaan kartiomaiseksi. Olkoon sen generaattori yhtä suuri kuin g.
Jos meillä on paperikartio, voimme ottaa sakset ja leikata pohjan pois siitä. Sitten kartiomainen pinta tulee leikatamitä tahansa generatrixia pitkin ja ota se käyttöön koneessa. Tällä tavalla saimme kartion sivupinnan kehityksen. Kaksi pintaa yhdessä alkuperäisen kartion kanssa on esitetty alla olevassa kaaviossa.
Perusympyrä on kuvattu oikeassa alakulmassa. Avattu kartiomainen pinta näkyy keskellä. Osoittautuu, että se vastaa jotakin ympyrän ympyräsektoria, jonka säde on yhtä suuri kuin generatriisin pituus g.
Kulman ja alueen pyyhkäisy
Nyt saadaan kaavat, joiden avulla voimme laskea kartion pinta-alan ja kulman tunnettujen parametrien g ja r avulla.
Ilmeisesti edellä kuvassa esitetyn ympyränmuotoisen sektorin kaaren pituus on yhtä suuri kuin pohjan ympärysmitta, eli:
l=2pir.
Jos rakennettaisiin koko ympyrä, jonka säde on g, sen pituus olisi:
L=2pig.
Koska pituus L vastaa 2pi radiaania, niin kulma, jolla kaari l lepää, voidaan määrittää vastaavasta suhteesta:
L==>2pi;
l==> φ.
Sitten tuntematon kulma φ on yhtä suuri kuin:
φ=2pil/L.
Korvaamalla lausekkeet pituuksille l ja L, saadaan kartion sivupinnan kehityskulman kaava:
φ=2pir/g.
Kulma φ tässä ilmaistaan radiaaneina.
Ympyränmuotoisen sektorin alueen Sbmäärittämiseksi käytämme φ:n löydettyä arvoa. Teemme vielä yhden osuuden, vain alueille. Meillä on:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Mistä ilmaista Sb ja korvaa sitten kulman φ arvo. Saamme:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Kartiomaisen pinnan alalle olemme saaneet melko kompaktin kaavan. Arvo Sb on yhtä suuri kuin kolmen tekijän tulo: pi, kuvion säde ja sen generaattori.
Sitten kuvion koko pinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin Sb ja So summa (ympyrä perusalue). Saamme kaavan:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Kartion rakentaminen paperille
Tämän tehtävän suorittamiseen tarvitset paperin, kynän, astemittarin, viivaimen ja kompassin.
Piirrä ensin suorakulmainen kolmio, jonka sivut ovat 3 cm, 4 cm ja 5 cm. Sen 3 cm:n kierto jalan ympäri antaa halutun kartion. Kuvan r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
Pyhkäisyn rakentaminen alkaa piirtämällä ympyrän säde r kompassilla. Sen pituus on 6pi cm. Nyt sen viereen piirretään toinen ympyrä, mutta säteellä g. Sen pituus vastaa 10pi cm. Nyt meidän on leikattava pyöreä sektori suuresta ympyrästä. Sen kulma φ on:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Nyt siirrämme tämän kulman sivuun astelevyllä ympyrän säteellä g ja piirrämme kaksi sädettä, jotka rajoittavat ympyränmuotoista sektoria.
JotenNäin ollen olemme rakentaneet kartion kehityksen, jossa on määritellyt säteen, korkeuden ja generatriisin parametrit.
Esimerkki geometrisen ongelman ratkaisemisesta
Pyöreä suora kartio. Tiedetään, että sen sivuttaispyyhkäisyn kulma on 120o. On tarpeen löytää tämän kuvan säde ja generatriisi, jos tiedetään, että kartion korkeus h on 10 cm.
Tehtävä ei ole vaikea, jos muistamme, että pyöreä kartio on suorakulmaisen kolmion kiertoluku. Tästä kolmiosta seuraa yksiselitteinen suhde korkeuden, säteen ja generatrixin välillä. Kirjoitetaan vastaava kaava:
g2=h2+ r2.
Toinen ratkaisemisessa käytettävä lauseke on kulman kaava φ:
φ=2pir/g.
Siten meillä on kaksi yhtälöä, jotka liittyvät kahteen tuntemattomaan suureen (r ja g).
Ilmainen g toisesta kaavasta ja korvaa tulos ensimmäisellä, saamme:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Kulma φ=120o radiaaneina on 2pi/3. Korvaamme tämän arvon, saamme lopulliset kaavat r:lle ja g:lle:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Enää on korvata korkeusarvo ja saada vastaus ongelmakysymykseen: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
