Mikä tämä on - kartio? Määritelmä, ominaisuudet, kaavat ja esimerkki ongelman ratkaisusta

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-02 17:46

Kartio on yksi pyörimisen avaruudellisista hahmoista, jonka ominaisuuksia ja ominaisuuksia tutkitaan stereometrialla. Tässä artikkelissa määrittelemme tämän kuvan ja tarkastelemme peruskaavoja, jotka yhdistävät kartion lineaariset parametrit sen pinta-alaan ja tilavuuteen.

Mikä on kartio?

Geometrian näkökulmasta puhumme tilahahmosta, joka muodostuu sarjasta suoria segmenttejä, jotka yhdistävät tietyn avaruuden pisteen tasaisen tasaisen käyrän kaikkiin pisteisiin. Tämä käyrä voi olla ympyrä tai ellipsi. Alla olevassa kuvassa on kartio.

Esitetyllä kuviolla ei ole tilavuutta, koska sen pinnan seinämien paksuus on äärettömän pieni. Kuitenkin, jos se on täytetty aineella ja ylhäältä ei rajattu kaarella, vaan litteällä kuviolla, esimerkiksi ympyrällä, saadaan kiinteä tilavuuskappale, jota kutsutaan yleisesti myös kartioksi.

Kartion muoto löytyy usein elämästä. Siinä on siis jäätelötöttero tai raidallisia mustia ja oransseja liikennekartioita, jotka laitetaan tielle kiinnittämään liikenteen osallistujien huomio.

Kartion elementit ja sen tyypit

Koska kartio ei ole monitahoinen, sen muodostavien elementtien määrä ei ole yhtä suuri kuin monitahoisen. Geometriassa yleinen kartio koostuu seuraavista elementeistä:

• kanta, jonka rajakäyrää kutsutaan suoraksi tai generatriksiksi;
• sivupinnasta, joka on kokoelma suorien viivaosien (generatrices) kaikkien pisteitä, jotka yhdistävät kärjen ja ohjauskäyrän pisteet;
• vertex, joka on generatriisien leikkauspiste.

Huomaa, että kärki ei saa olla pohjan tasossa, koska tällöin kartio rappeutuu litteäksi kuvioksi.

Jos piirrämme kohtisuoran segmentin ylhäältä pohjaan, saamme kuvion korkeuden. Jos viimeinen kanta leikkaa geometrisen keskipisteen, se on suora kartio. Jos kohtisuora ei ole sama kuin pohjan geometrinen keskipiste, kuva on vinossa.

Suorat ja vinot kartiot näkyvät kuvassa. Tässä kartion pohjan korkeutta ja sädettä merkitään h:lla ja r:llä. Viiva, joka yhdistää kuvion yläosan ja pohjan geometrisen keskikohdan, on kartion akseli. Kuvasta nähdään, että suorassa kuviossa korkeus on tällä akselilla ja vinossa kuviossa korkeus muodostaa kulman akselin kanssa. Kartion akseli on merkitty kirjaimella a.

Suora kartio pyöreällä pohjalla

Ehkä tämä kartio on yleisin tarkasteltavasta hahmoluokasta. Se koostuu ympyrästä ja sivustapinnat. Sen saaminen geometrisilla menetelmillä ei ole vaikeaa. Voit tehdä tämän ottamalla suorakulmaisen kolmion ja kiertämällä sitä akselin ympäri, joka osuu yhteen jaloista. Ilmeisesti tästä jalasta tulee hahmon korkeus, ja kolmion toisen jalan pituus muodostaa kartion pohjan säteen. Alla oleva kaavio esittää kuvatun kaavion kyseisen kiertoluvun saamiseksi.

Kuvattua kolmiota voidaan kiertää toisen jalan ympäri, jolloin syntyy kartio, jolla on suurempi pohjasäde ja pienempi korkeus kuin ensimmäisessä.

Pyöreän suoran kartion kaikkien parametrien yksiselitteiseksi määrittämiseksi on tiedettävä mitkä tahansa kaksi sen lineaarista ominaisuutta. Niistä erotetaan säde r, korkeus h tai generatriisin g pituus. Kaikki nämä suureet ovat tarkastellun suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksia, joten Pythagoraan lause pätee niiden liittämiseen:

g²=r²+ h^2.

Pinta-ala

Kun tutkitaan minkä tahansa kolmiulotteisen hahmon pintaa, on kätevää käyttää sen kehitystä tasossa. Kartio ei ole poikkeus. Pyöreän kartion kehitys näkyy alla.

Näemme, että hahmon avautuminen koostuu kahdesta osasta:

1. Ympyrä, joka muodostaa kartion pohjan.
2. Ympyrän sektori, joka on kuvion kartiomainen pinta.

Ympyrän pinta-ala on helppo löytää ja vastaava kaava on jokaisen opiskelijan tiedossa. Pyöreästä sektorista puhuttaessa huomaamme, että seon osa ympyrää, jonka säde on g (kartion generatrixin pituus). Tämän sektorin kaaren pituus on yhtä suuri kuin pohjan ympärysmitta. Nämä parametrit mahdollistavat sen alueen yksiselitteisen määrittämisen. Vastaava kaava on:

S=pir2+ pirg.

Lausekkeen ensimmäinen ja toinen termi ovat alueen pohjan kartio ja sivupinnan kartio.

Jos generaattorin g pituus on tuntematon, mutta kuvion korkeus h on annettu, kaava voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

Kuvan tilavuus

Jos otamme suoran pyramidin ja lisäämme sen pohjan sivujen lukumäärää äärettömään, niin pohjan muoto pyrkii ympyrän muotoon ja pyramidin sivupinta lähestyy kartiomaista pintaa. Nämä näkökohdat antavat meille mahdollisuuden käyttää pyramidin tilavuuden kaavaa laskettaessa samanlaista arvoa kartiolle. Kartion tilavuus voidaan selvittää kaavalla:

V=1/3hS_o.

Tämä kaava on aina totta, riippumatta siitä, mikä on kartion kanta, jonka pinta-ala on S_{o. Lisäksi kaava pätee myös vinoon kartioon.}

Koska tutkimme pyöreäpohjaisen suoran hahmon ominaisuuksia, voimme käyttää seuraavaa lauseketta sen tilavuuden määrittämiseen:

V=1/3hpir2.

Kaava on ilmeinen.

Pinta-alan ja tilavuuden löytämisen ongelma

Annetaan kartio, jonka säde on 10 cm ja generatrixin pituus on 20katso Tarve määrittää tilavuus ja pinta-ala tälle muodolle.

Laskettaessa pinta-ala S, voit käyttää välittömästi yllä olevaa kaavaa. Meillä on:

S=pir²+ pirg=942 cm^2.

Äänenvoimakkuuden määrittämiseksi sinun on tiedettävä kuvion korkeus h. Laskemme sen käyttämällä kartion lineaaristen parametrien välistä suhdetta. Saamme:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 cm.}

Nyt voit käyttää kaavaa V:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83cm}3^.

Huomaa, että pyöreän kartion tilavuus on kolmasosa sylinteristä, johon se on kirjoitettu.