Koulussakin kaikki oppilaat tutustuvat käsitteeseen "euklidinen geometria", jonka pääsäännöt keskittyvät useiden aksioomien ympärille, jotka perustuvat sellaisiin geometrisiin elementteihin kuin piste, taso, viiva, liike. Ne kaikki yhdessä muodostavat sen, mikä on pitkään tunnettu termillä "euklidinen avaruus".
Euklidinen avaruus, jonka määritelmä perustuu vektorien skalaarikertoimen käsitteeseen, on lineaarisen (affiinin) avaruuden erikoistapaus, joka täyttää joukon vaatimuksia. Ensinnäkin vektorien skalaaritulo on ehdottoman symmetrinen, eli vektori koordinaatteineen (x;y) on kvantitatiivisesti identtinen koordinaattien (y;x) kanssa, mutta suunn altaan vastakkainen.
Toiseksi, jos vektorin skalaaritulo itsensä kanssa suoritetaan, tämän toiminnon tulos on positiivinen. Ainoa poikkeus on tilanne, jossa tämän vektorin alku- ja loppukoordinaatit ovat nolla: tässä tapauksessa sen tulo itsensä kanssa on myös nolla.
Kolmanneksi skalaaritulo on distributiivinen, eli yksi sen koordinaateista on mahdollista jakaa kahden arvon summaksi, mikä ei aiheuta muutoksia vektorien skalaarikertoimen lopputulokseen. Lopuksi, neljänneksi, kun vektorit kerrotaan samalla reaaliluvulla, myös niiden skalaaritulo kasvaa samalla kertoimella.
Jos kaikki nämä neljä ehtoa täyttyvät, voimme vakuuttavasti sanoa, että meillä on euklidinen avaruus.
Euklidinen avaruus voidaan luonnehtia käytännön näkökulmasta seuraavilla erityisillä esimerkeillä:
- Yksinkertaisin tapaus on joukko vektoreita, joiden skalaaritulo on määritelty geometrian peruslakien mukaisesti.
- Euklidinen avaruus saadaan myös, jos vektoreilla tarkoitetaan tiettyä äärellistä reaalilukujen joukkoa, jolla on annettu kaava, joka kuvaa niiden skalaarisummaa tai tuloa.
- Euklidisen avaruuden erikoistapaus on ns. nolla-avaruus, joka saadaan, jos molempien vektoreiden skalaaripituus on nolla.
Euklidisella avaruudella on useita erityisominaisuuksia. Ensinnäkin skalaaritekijä voidaan ottaa pois suluista sekä skalaaritulon ensimmäisestä että toisesta kertoimesta, tulos tästä ei muutu millään tavalla. Toiseksi skalaarin ensimmäisen elementin distributiivisuuden kanssatuote, myös toisen elementin jakautuvuus vaikuttaa. Lisäksi vektoreiden skalaarisumman lisäksi vektorivähennystapauksessa esiintyy distributiivisuutta. Lopuksi, kolmanneksi, kun vektori kerrotaan skalaarisesti nollalla, tulos on myös nolla.
Euklidinen avaruus on siis tärkein geometrinen käsite, jota käytetään ratkaisemaan ongelmia vektorien keskinäisen järjestelyn kanssa suhteessa toisiinsa ja jolle on ominaista sellainen käsite kuin skalaaritulo.
