Ratkaisemattomat tehtävät ovat 7 mielenkiintoisinta matemaattista ongelmaa. Tunnetut tutkijat ehdottivat jokaista niistä kerrallaan yleensä hypoteesien muodossa. Monien vuosikymmenten ajan matemaatikot kaikkialla maailmassa ovat pohtineet ratkaisujaan. Ne, jotka menestyvät, palkitaan miljoonalla Yhdysv altain dollarilla, jonka Clay Institute tarjoaa.
Taustatarina
Vuonna 1900 suuri saksalainen matemaatikko David Hilbert esitti luettelon 23 tehtävästä.
Niiden ratkaisemiseksi tehdyllä tutkimuksella oli v altava vaikutus 1900-luvun tieteeseen. Tällä hetkellä useimmat niistä ovat lakanneet olemasta mysteereitä. Ratkaisemattomien tai osittain ratkaistujen joukossa olivat:
- aritmeettisten aksioomien johdonmukaisuusongelma;
- yleinen vastavuoroisuuden laki minkä tahansa lukukentän avaruudessa;
- fysikaalisten aksioomien matemaattinen tutkimus;
- asuvan asteen muotojen tutkimus mieliv altaiselle algebralliselle numeerisellekertoimet;
- Fjodor Schubertin laskennallisen geometrian tarkan perustelun ongelma;
- jne.
Tutkimattomia ovat: ongelma, joka liittyy hyvin tunnetun Kronecker-lauseen laajentamiseen mihin tahansa rationaalisuuden algebralliseen alueeseen ja Riemannin hypoteesi.
The Clay Institute
Tämä on yksityisen voittoa tavoittelemattoman organisaation nimi, jonka pääkonttori on Cambridgessa, Massachusettsissa. Sen perustivat vuonna 1998 Harvardin matemaatikko A. Jeffey ja liikemies L. Clay. Instituutin tavoitteena on popularisoida ja kehittää matemaattista tietoa. Tämän saavuttamiseksi organisaatio jakaa palkintoja tutkijoille ja sponsoroi lupaavaa tutkimusta.
2000-luvun alussa Clay Institute of Mathematics tarjosi palkinnon niille, jotka ratkaisevat niin sanottuja vaikeimpia ratkaisemattomia ongelmia ja kutsuivat luetteloaan Millennium Prize Problems -tehtäviksi. Vain Riemannin hypoteesi sisällytettiin Hilbertin luetteloon.
Millenium Challenges
The Clay Instituten luettelo sisälsi alun perin:
- Hodgen syklin hypoteesi;
- kvantti-Yang-Millsin teoriayhtälöt;
- Poincarén hypoteesi;
- luokkien P ja NP tasa-arvoongelma;
- Riemannin hypoteesi;
- Navier-Stokesin yhtälöt, sen ratkaisujen olemassaolosta ja sujuvuudesta;
- Birch-Swinnerton-Dyer -ongelma.
Nämä avoimet matemaattiset ongelmat ovat erittäin kiinnostavia, koska niillä voi olla monia käytännön toteutuksia.
Mitä Grigory Perelman todisti
Vuonna 1900 kuuluisa filosofi Henri Poincaré ehdotti, että mikä tahansa yksinkertaisesti kytketty kompakti 3-jakotukki ilman rajaa on homeomorfinen kolmiulotteiselle pallolle. Sen näyttöä yleisessä tapauksessa ei löydetty vuosisataan. Vain vuosina 2002-2003 pietarilainen matemaatikko G. Perelman julkaisi joukon artikkeleita ratkaisusta Poincarén ongelmaan. Niillä oli räjähtävän pommin vaikutus. Vuonna 2010 Poincarén hypoteesi suljettiin Clay Instituten "Ratkaisemattomien ongelmien" list alta, ja Perelmanille itselleen tarjottiin hänelle kuuluvaa huomattavaa korvausta, josta jälkimmäinen kieltäytyi selittämättä päätöksensä syitä.
Ymmärrettävin selitys sille, mitä venäläinen matemaatikko onnistui todistamaan, voidaan antaa kuvittelemalla, että kumikiekko vedetään donitsiin (torukseen) ja sitten yritetään vetää sen ympyrän reunat yhteen pisteeseen. Ilmeisesti tämä ei ole mahdollista. Toinen asia, jos teet tämän kokeilun pallolla. Tässä tapauksessa näennäisesti kolmiulotteinen pallo, joka syntyy kiekosta, jonka ympärysmitta on vedetty tiettyyn pisteeseen hypoteettisella narulla, olisi tavallisen ihmisen ymmärryksessä kolmiulotteinen, mutta matematiikan kann alta kaksiulotteinen.
Poincare ehdotti, että kolmiulotteinen pallo on ainoa kolmiulotteinen "objekti", jonka pinta voidaan supistaa yhteen pisteeseen, ja Perelman onnistui todistamaan sen. Siten "Ratkaisemattomien ongelmien" luettelo koostuu tänään kuudesta tehtävästä.
Yang-Millsin teoria
Tämän matemaattisen ongelman ehdottivat sen kirjoittajat vuonna 1954. Teorian tieteellinen muotoilu on seuraava:mille tahansa yksinkertaiselle kompaktimittariryhmälle on olemassa Yangin ja Millsin luoma kvanttitilateoria, ja samalla sillä on nollamassavika.
Tavallisen ihmisen ymmärrettävällä kielellä puhuttaessa luonnon esineiden (hiukkaset, kappaleet, aallot jne.) väliset vuorovaikutukset jaetaan 4 tyyppiin: sähkömagneettinen, gravitaatio, heikko ja vahva. Fyysikot ovat monien vuosien ajan yrittäneet luoda yleistä kenttäteoriaa. Siitä pitäisi tulla työkalu kaikkien näiden vuorovaikutusten selittämiseen. Yang-Millsin teoria on matemaattinen kieli, jolla on mahdollista kuvata kolmea luonnon neljästä päävoimasta. Se ei koske painovoimaa. Siksi ei voida katsoa, että Yang ja Mills onnistuivat luomaan kenttäteorian.
Lisäksi ehdotettujen yhtälöiden epälineaarisuus tekee niistä erittäin vaikeita ratkaista. Pienillä kytkentävakioilla ne voidaan likimäärin ratkaista häiriöteoriasarjan muodossa. Vielä ei kuitenkaan ole selvää, kuinka nämä yhtälöt voidaan ratkaista vahvalla kytkennällä.
Navier-Stokes-yhtälöt
Nämä ilmaisut kuvaavat prosesseja, kuten ilmavirtoja, nestevirtausta ja turbulenssia. Joillekin erikoistapauksille Navier-Stokes-yhtälön analyyttisiä ratkaisuja on jo löydetty, mutta yleiselle ei ole tähän mennessä onnistunut. Samaan aikaan numeeriset simulaatiot tietyille nopeuden, tiheyden, paineen, ajan ja niin edelleen arvoille voivat saavuttaa erinomaisia tuloksia. On toivottavaa, että joku pystyy soveltamaan Navier-Stokesin yhtälöitä käänteisestisuunta, eli laske parametrit niiden avulla tai todista, että ratkaisumenetelmää ei ole.
Birch-Swinnerton-Dyer-ongelma
"Ratkaisemattomien ongelmien" luokka sisältää myös Cambridgen yliopiston brittiläisten tiedemiesten esittämän hypoteesin. Jo 2300 vuotta sitten antiikin kreikkalainen tiedemies Eukleides antoi täydellisen kuvauksen yhtälön x2 + y2=z2 ratkaisuista.
Jos jokaiselle alkuluvulle lasketaan käyrän pisteiden määrä modulo it, saamme äärettömän joukon kokonaislukuja. Jos se nimenomaan "liimataan" yhdeksi kompleksisen muuttujan funktioksi, saadaan Hasse-Weilin zeta-funktio kolmannen asteen käyrältä, jota merkitään kirjaimella L. Se sisältää tietoa käyttäytymisestä moduloi kaikki alkuluvut kerralla.
Brian Birch ja Peter Swinnerton-Dyer arvelivat elliptisiä käyriä. Sen mukaan sen rationaalisten ratkaisujen joukon rakenne ja lukumäärä liittyvät L-funktion käyttäytymiseen identiteetissä. Tällä hetkellä todistamaton Birch-Swinnerton-Dyer-oletus riippuu 3. asteen algebrallisten yhtälöiden kuvauksesta ja on ainoa suhteellisen yksinkertainen yleinen tapa laskea elliptisten käyrien järjestys.
Tämän tehtävän käytännön merkityksen ymmärtämiseksi riittää todeta, että nykyaikaisessa kryptografiassa kokonainen luokka epäsymmetrisiä järjestelmiä perustuu elliptisiin käyriin ja kotimaiset digitaalisen allekirjoituksen standardit perustuvat niiden sovellukseen.
Luokkien p ja np tasa-arvo
Jos loput vuosituhannen haasteista ovat puhtaasti matemaattisia, niin tämä onsuhteessa varsinaiseen algoritmiteoriaan. Luokkien p ja np yhtäläisyyttä koskeva ongelma, joka tunnetaan myös Cooke-Levin-ongelmana, voidaan muotoilla ymmärrettävällä kielellä seuraavasti. Oletetaan, että myönteinen vastaus tiettyyn kysymykseen voidaan tarkistaa riittävän nopeasti, eli polynomiajassa (PT). Onko väite sitten oikein, että vastaus siihen löytyy melko nopeasti? Vielä yksinkertaisemmin tämä ongelma kuulostaa tältä: eikö todellakaan ole vaikeampaa tarkistaa ongelman ratkaisu kuin löytää se? Jos luokkien p ja np yhtäläisyys koskaan todistetaan, niin kaikki valintaongelmat voidaan ratkaista PV:lle. Tällä hetkellä monet asiantuntijat epäilevät tämän väitteen totuutta, vaikka he eivät voi todistaa päinvastaista.
Riemannin hypoteesi
Vuoteen 1859 asti ei löydetty kaavaa, joka kuvaisi alkulukujen jakautumista luonnollisten lukujen kesken. Ehkä tämä johtui siitä, että tiede käsitteli muita asioita. 1800-luvun puoliväliin mennessä tilanne oli kuitenkin muuttunut, ja niistä tuli yksi tärkeimmistä, joita matematiikka alkoi käsitellä.
Tänä aikana ilmaantunut Riemannin hypoteesi on oletus, että alkulukujakaumassa on tietty kaava.
Nykyään monet modernit tiedemiehet uskovat, että jos se todistetaan, on tarpeen tarkistaa monia nykyaikaisen kryptografian perusperiaatteita, jotka muodostavat perustan merkittävälle osalle sähköisen kaupankäynnin mekanismeja.
Riemannin hypoteesin mukaan hahmoalkulukujakauma voi olla merkittävästi erilainen kuin tällä hetkellä oletetaan. Tosiasia on, että toistaiseksi alkulukujakaumassa ei ole löydetty järjestelmää. Esimerkiksi ongelma on "kaksoset", joiden välinen ero on 2. Nämä luvut ovat 11 ja 13, 29. Muut alkuluvut muodostavat klustereita. Nämä ovat 101, 103, 107 jne. Tutkijat ovat pitkään epäilleet, että tällaisia klustereita on olemassa erittäin suurten alkulukujen joukossa. Jos niitä löytyy, nykyaikaisten kryptoavainten vahvuus on kyseenalainen.
Hodgen syklin hypoteesi
Tämä vielä ratkaisematon ongelma muotoiltiin vuonna 1941. Hodgen hypoteesi ehdottaa mahdollisuutta lähentää minkä tahansa esineen muotoa "liimaamalla" yhteen yksinkertaisia suurempien ulottuvuuksien kappaleita. Tämä menetelmä on tunnettu ja menestyksekkäästi käytetty pitkään. Ei kuitenkaan tiedetä, missä määrin yksinkertaistamista voidaan tehdä.
Nyt tiedät mitä ratkaisemattomia ongelmia on tällä hetkellä. Niitä tutkivat tuhannet tutkijat ympäri maailmaa. On toivottavaa, että ne ratkaistaan lähitulevaisuudessa, ja niiden käytännön soveltaminen auttaa ihmiskuntaa pääsemään uudelle teknologian kehitykselle.
