Matematiikan tärkeä käsite on funktio. Sen avulla voit visualisoida monia luonnossa tapahtuvia prosesseja, heijastaa tiettyjen suureiden välistä suhdetta käyttämällä kaavoja, taulukoita ja kuvia kaaviossa. Esimerkkinä on nestekerroksen paineen riippuvuus kehossa upotussyvyydestä, kiihtyvyydestä - tietyn voiman vaikutuksesta kohteeseen, lämpötilan noususta - siirretystä energiasta ja monista muista prosesseista. Funktion tutkimiseen kuuluu graafin rakentaminen, sen ominaisuuksien, laajuuden ja arvojen sekä kasvu- ja laskuvälien selvittäminen. Tärkeä kohta tässä prosessissa on ääripisteiden löytäminen. Kuinka tehdä se oikein, niin keskustelu jatkuu.
Konseptista itsestään tietyssä esimerkissä
Lääketieteessä funktiokaavion piirtäminen voi kertoa sairauden etenemisestä potilaan kehossa ja heijastaa visuaalisesti hänen tilaansa. Oletetaan, että aika päivinä piirretään OX-akselia pitkin ja ihmiskehon lämpötila OY-akselia pitkin. Kuva osoittaa selvästi, kuinka tämä indikaattori nousee jyrkästi, jasitten se kaatuu. On myös helppo havaita yksittäisiä pisteitä, jotka heijastavat hetkiä, jolloin funktio, aiemmin kasvanut, alkaa laskea ja päinvastoin. Nämä ovat ääripisteitä, eli kriittisiä arvoja (maksimi ja minimi) tässä potilaan lämpötilassa, minkä jälkeen hänen tilassaan tapahtuu muutoksia.
Kallistuskulma
Kuvasta on helppo määrittää, kuinka funktion derivaatta muuttuu. Jos kaavion suorat nousevat ajan myötä, se on positiivinen. Ja mitä jyrkempiä ne ovat, sitä suurempi on derivaatan arvo, kun k altevuuskulma kasvaa. Vähenemisjaksojen aikana tämä arvo saa negatiiviset arvot kääntyen nollaan ääripisteissä, ja jälkimmäisessä tapauksessa derivaatan kuvaaja piirretään yhdensuuntaisesti OX-akselin kanssa.
Kaikki muut prosessit tulee käsitellä samalla tavalla. Mutta parasta tässä konseptissa voi kertoa eri kappaleiden liikkeet, jotka näkyvät selvästi kaavioissa.
Liike
Oletetaan, että jokin esine liikkuu suorassa linjassa nopeuttaen tasaisesti. Tänä aikana kehon koordinaattien muutos edustaa graafisesti tiettyä käyrää, jota matemaatikko kutsuisi paraabelin haaraksi. Samalla toiminto kasvaa jatkuvasti, koska koordinaattiosoittimet muuttuvat nopeammin ja nopeammin joka sekunti. Nopeuskäyrä näyttää derivaatan käyttäytymisen, jonka arvo myös kasvaa. Tämä tarkoittaa, että liikkeellä ei ole kriittisiä pisteitä.
Se olisi jatkunut loputtomiin. Mutta jos keho yhtäkkiä päättää hidastaa, pysähdy ja aloita liikkuminen toisessasuunta? Tässä tapauksessa koordinaattiosoittimet alkavat pienentyä. Ja funktio ohittaa kriittisen arvon ja kääntyy kasvavasta laskevaksi.
Tässä esimerkissä voit jälleen ymmärtää, että funktiokaavion ääripisteet näkyvät hetkinä, jolloin se lakkaa olemasta yksitoikkoista.
Johdannan fyysinen merkitys
Aiemmin kuvattu osoitti selvästi, että derivaatta on olennaisesti funktion muutosnopeus. Tämä jalostus sisältää sen fyysisen merkityksen. Ääripisteet ovat kriittisiä alueita kaaviossa. Ne on mahdollista selvittää ja havaita laskemalla derivaatan arvo, joka osoittautuu nollaksi.
On toinenkin merkki, joka on riittävä ehto ääripäälle. Tällaisissa taivutuskohdissa derivaatta muuttaa etumerkkiään: "+":sta "-":ksi maksimialueella ja "-":sta "+":ksi minimialueella.
Liikkuminen painovoiman vaikutuksesta
Kuvitellaan toinen tilanne. Lapset, jotka pelasivat palloa, heittivät sitä niin, että se alkoi liikkua kulmassa horisonttiin nähden. Alkuhetkellä tämän kohteen nopeus oli suurin, mutta painovoiman vaikutuksesta se alkoi laskea ja joka sekunti samalla arvolla, joka vastaa noin 9,8 m/s2. Tämä on kiihtyvyyden arvo, joka tapahtuu maan painovoiman vaikutuksesta vapaan pudotuksen aikana. Kuussa se olisi noin kuusi kertaa pienempi.
Kehon liikettä kuvaava kaavio on paraabeli, jossa on oksia,alaspäin. Kuinka löytää ääripisteitä? Tässä tapauksessa tämä on funktion kärki, jossa kappaleen (pallon) nopeus saa nollaarvon. Funktion derivaatasta tulee nolla. Tässä tapauksessa suunta ja siten nopeuden arvo muuttuu päinvastaiseksi. Keho lentää alas joka sekunti nopeammin ja nopeammin ja kiihtyy saman verran - 9,8 m/s2.
Toinen johdannainen
Edellisessä tapauksessa nopeusmoduulin kuvaaja piirretään suorana. Tämä viiva on ensin suunnattu alaspäin, koska tämän suuren arvo pienenee jatkuvasti. Saavutettuaan nollan yhdessä ajankohdassa tämän arvon indikaattorit alkavat kasvaa ja nopeusmoduulin graafisen esityksen suunta muuttuu dramaattisesti. Viiva osoittaa nyt ylöspäin.
Nopeudella, joka on koordinaatin aikaderivaata, on myös kriittinen piste. Tällä alueella toiminto, joka alun perin pienenee, alkaa kasvaa. Tämä on funktion derivaatan ääripisteen paikka. Tässä tapauksessa tangentin jyrkkyydestä tulee nolla. Ja kiihtyvyys, joka on koordinaatin toinen derivaatta ajan suhteen, muuttaa merkin “-”:sta “+”:ksi. Ja liike tasaisen hita alta muuttuu tasaisesti kiihtyväksi.
Kiihtyvyyskaavio
Harkitse nyt neljää kuvaa. Jokainen niistä näyttää kaavion sellaisen fyysisen suuren kuin kiihtyvyyden muutoksista ajan kuluessa. "A":n tapauksessa sen arvo pysyy positiivisena ja vakiona. Tämä tarkoittaa, että kehon nopeus, kuten sen koordinaatti, kasvaa jatkuvasti. Joskuvittele objektin liikkuvan tällä tavalla äärettömän pitkään, koordinaatin ajasta riippuvuutta heijastava funktio osoittautuu jatkuvasti kasvavaksi. Tästä seuraa, että sillä ei ole kriittisiä alueita. Myöskään derivaatan eli lineaarisesti muuttuvan nopeuden kaaviossa ei ole ääripisteitä.
Sama pätee tapaukseen "B" positiivisella ja jatkuvasti kasvavalla kiihtyvyydellä. Totta, koordinaattien ja nopeuden kuvaajat ovat tässä hieman monimutkaisempia.
Kun kiihtyvyys pyrkii nollaan
Kuvassa "B" näet aivan toisenlaisen kuvan, joka kuvaa kehon liikettä. Sen nopeus esitetään graafisesti paraabelina, jonka oksat osoittavat alaspäin. Jos jatkamme kiihtyvyyden muutosta kuvaavaa riviä, kunnes se leikkaa OX-akselin ja edelleen, niin voidaan kuvitella, että tähän kriittiseen arvoon asti, jossa kiihtyvyys osoittautuu nollaksi, kohteen nopeus kasvaa. yhä hitaammin. Koordinaattifunktion derivaatan ääripiste on juuri paraabelin yläosassa, minkä jälkeen keho muuttaa radikaalisti liikkeen luonnetta ja alkaa liikkua toiseen suuntaan.
Jälkimmäisessä tapauksessa "G", liikkeen luonnetta ei voida määrittää tarkasti. Täällä tiedämme vain, että kiihdytystä ei ole tarkasteltavana olevan ajanjakson aikana. Tämä tarkoittaa, että esine voi pysyä paikallaan tai liike tapahtuu vakionopeudella.
Koordinaattilisäystehtävä
Siirrytään tehtäviin, joita usein löytyy algebran opiskelusta koulussa ja joita tarjotaankokeeseen valmistautuminen. Alla oleva kuva näyttää funktion kaavion. On laskettava ääripisteiden summa.
Tehdään tämä y-akselille määrittämällä kriittisten alueiden koordinaatit, joissa havaitaan muutos funktion ominaisuuksissa. Yksinkertaisesti sanottuna löydämme arvot x-akselilta käännepisteille ja jatkamme sitten tuloksena olevien termien lisäämistä. Kaavion mukaan on selvää, että niillä on seuraavat arvot: -8; -7; -5; -3; -2; yksi; 3. Tämä summaa -21, mikä on vastaus.
Optimaalinen ratkaisu
Ei ole tarpeen selittää, kuinka tärkeää optimaalisen ratkaisun valinta voi olla käytännön tehtävien suorittamisessa. Loppujen lopuksi tavoitteen saavuttamiseksi on monia tapoja, ja paras tapa ulos on yleensä vain yksi. Tämä on äärimmäisen tarpeellista esimerkiksi suunniteltaessa laivoja, avaruusaluksia ja lentokoneita, arkkitehtonisia rakenteita näiden ihmisen tekemien esineiden optimaalisen muodon löytämiseksi.
Ajoneuvojen nopeus riippuu suurelta osin niiden vastuksen asianmukaisesta minimoinnista, jota ne kokevat liikkuessaan veden ja ilman läpi, painovoimavoimien ja monien muiden osoittimien vaikutuksesta syntyvistä ylikuormituksista. Merellä oleva alus tarvitsee sellaisia ominaisuuksia kuin vakautta myrskyn aikana, jokilaivalle vähimmäissyväys on tärkeä. Optimaalista suunnittelua laskettaessa kaavion ääripisteet voivat antaa visuaalisesti käsityksen parhaasta ratkaisusta monimutkaiseen ongelmaan. Tällaisia tehtäviä on useinratkaistaan taloudessa, talousalueilla, monissa muissa elämäntilanteissa.
Muinaisesta historiasta
Äärimmäiset ongelmat vaivasivat jopa muinaisia viisaita. Kreikkalaiset tutkijat selvittivät onnistuneesti alueiden ja tilavuuksien mysteerin matemaattisten laskelmien avulla. He ymmärsivät ensimmäisinä, että eri kuvioiden tasolla, joilla on sama kehä, ympyrän pinta-ala on aina suurin. Vastaavasti pallolla on suurin tilavuus muiden saman pinta-alan omaavien tilan kohteiden joukossa. Sellaiset kuuluisat persoonallisuudet kuten Arkhimedes, Eukleides, Aristoteles ja Apollonius omistautuivat tällaisten ongelmien ratkaisemiseen. Heron onnistui erittäin hyvin ääripisteiden löytämisessä, joka laskelmiin turvautuessaan rakensi nerokkaita laitteita. Näitä olivat höyryn avulla liikkuvat automaattiset koneet, pumput ja samalla periaatteella toimivat turbiinit.
Karthagon rakentaminen
On olemassa legenda, jonka juoni perustuu yhden äärimmäisen ongelman ratkaisemiseen. Viisaiden puoleen kääntyneen foinikialaisen prinsessan osoittaman liikelähestymistavan tulos oli Karthagon rakentaminen. Erään afrikkalaisen heimon johtaja esitteli tämän muinaisen ja kuuluisan kaupungin tontin Didolle (se oli hallitsijan nimi). Tontin pinta-ala ei tuntunut hänestä aluksi kovin suurelta, sillä sopimuksen mukaan se piti peittää härännahalla. Mutta prinsessa käski sotilaita leikkaamaan sen ohuiksi nauhoiksi ja tekemään niistä vyön. Se osoittautui niin pitkäksi, että se peitti sivuston,johon koko kaupunki mahtuu.
Laskennan alkuperä
Ja nyt siirrytään muinaisista ajoista myöhempään aikakauteen. Mielenkiintoista on, että 1600-luvulla Kepleriä kehotti ymmärtämään matemaattisen analyysin perusteet tapaaminen viinimyyjän kanssa. Kauppias oli niin hyvin perehtynyt ammattiinsa, että hän pystyi helposti määrittämään tynnyrissä olevan juoman tilavuuden laskemalla siihen rautaisen kiristysnauhan. Pohdittuaan tällaista uteliaisuutta, kuuluisa tiedemies onnistui ratkaisemaan tämän ongelman itselleen. Osoittautuu, että sen aikojen taitavat soturit saivat työhön astioita siten, että tietyllä korkeudella ja kiinnitysrenkaiden ympärysmitan säteellä niillä olisi maksimikapasiteetti.
Tämä oli Keplerin syytä lisäpohdintaa varten. Bocharit pääsivät optimaaliseen ratkaisuun pitkän etsinnän, virheiden ja uusien yritysten kautta siirtäen kokemustaan sukupolvelta toiselle. Mutta Kepler halusi nopeuttaa prosessia ja oppia tekemään saman lyhyessä ajassa matemaattisten laskelmien avulla. Kaikki hänen kollegoidensa poimima kehitystyönsä muuttuivat nyt tunnetuiksi Fermatin ja Newtonin - Leibnizin lauseiksi.
Maksimialueongelma
Kuvitellaan, että meillä on lanka, jonka pituus on 50 cm. Kuinka tehdä siitä suorakulmio, jolla on suurin pinta-ala?
Päätöstä tehtäessä tulee edetä yksinkertaisista ja tunnetuista totuuksista. On selvää, että figuurimme ympärysmitta tulee olemaan 50 cm. Se koostuu myös kaksinkertaisista molempien sivujen pituuksista. Tämä tarkoittaa, että kun yksi niistä on merkitty "X", toinen voidaan ilmaista muodossa (25 - X).
Täältä saammealue, joka on yhtä suuri kuin X (25 - X). Tämä lauseke voidaan esittää funktiona, joka saa monia arvoja. Tehtävän ratkaiseminen vaatii niistä löytämisen suurimman osan, mikä tarkoittaa, että sinun tulee selvittää ääripisteet.
Tätä varten etsimme ensimmäisen derivaatan ja rinnastamme sen nollaan. Tuloksena on yksinkertainen yhtälö: 25 - 2X=0.
Siitä opimme, että yksi puolista X=12, 5.
Siksi toinen: 25 – 12, 5=12, 5.
On käynyt ilmi, että ongelman ratkaisu on neliö, jonka sivu on 12,5 cm.
Kuinka löytää maksiminopeus
Katsotaanpa vielä yksi esimerkki. Kuvittele, että on kappale, jonka suoraviivaista liikettä kuvaa yhtälö S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, jossa etäisyys kuljettu ilmaistaan metreinä ja aika sekunteina. Suurin nopeus on löydettävä. Kuinka tehdä se? Etsi ladattu nopeus, eli ensimmäinen johdannainen.
Saamme yhtälön: V=- 3t2 + 18t – 24. Nyt ongelman ratkaisemiseksi meidän on jälleen löydettävä ääripisteet. Tämä on tehtävä samalla tavalla kuin edellisessä tehtävässä. Etsi nopeuden ensimmäinen derivaatta ja vertaa se nollaan.
Saamme: - 6t + 18=0. Siten t=3 s. Tämä on aika, jolloin kehon nopeus saa kriittisen arvon. Korvaamme saadut tiedot nopeusyhtälöön ja saamme: V=3 m/s.
Mutta kuinka ymmärtää, että tämä on juuri suurin nopeus, koska funktion kriittiset pisteet voivat olla sen maksimi- tai minimiarvoja? Tarkistaaksesi, sinun on löydettävä toinennopeuden johdannainen. Se ilmaistaan numerolla 6 miinusmerkillä. Tämä tarkoittaa, että löydetty piste on maksimi. Ja toisen derivaatan positiivisen arvon tapauksessa olisi minimi. Joten löydetty ratkaisu osoittautui oikeaksi.
Esimerkkinä annetut tehtävät ovat vain osa niistä, jotka voidaan ratkaista pystymällä löytämään funktion ääripisteet. Itse asiassa niitä on monia muitakin. Ja tällainen tieto avaa rajattomat mahdollisuudet ihmissivilisaatiolle.
