Funktio ja sen ominaisuuksien tutkiminen on yksi modernin matematiikan avainluvuista. Minkä tahansa funktion pääkomponentti on kaaviot, jotka kuvaavat paitsi sen ominaisuuksia, myös tämän funktion derivaatan parametreja. Katsotaanpa tätä hankalaa aihetta. Mikä on siis paras tapa löytää funktion maksimi- ja minimipisteet?
Toiminto: Määritelmä
Mitä tahansa muuttujaa, joka riippuu jollain tavalla toisen arvon arvoista, voidaan kutsua funktioksi. Esimerkiksi funktio f(x2) on neliöllinen ja määrittää arvot koko joukolle x. Oletetaan, että x=9, niin funktiomme arvo on yhtä suuri kuin 92=81.
Funktiot ovat monen tyyppisiä: loogisia, vektori-, logaritmisia, trigonometrisiä, numeerisia ja muita toimintoja. Sellaiset erinomaiset mielet kuin Lacroix, Lagrange, Leibniz ja Bernoulli olivat mukana heidän tutkimuksessaan. Heidän kirjoituksensa toimivat tukivarrena nykyaikaisissa toimintojen tutkimisen tavoissa. Ennen minimipisteiden löytämistä on erittäin tärkeää ymmärtää funktion ja sen johdannaisen merkitys.
Johdannainen ja sen rooli
Kaikki toiminnot ovat käytössäriippuen niiden muuttuvista arvoista, mikä tarkoittaa, että ne voivat muuttaa arvoaan milloin tahansa. Kaaviossa tämä kuvataan käyränä, joka joko laskee tai nousee y-akselia pitkin (tämä on koko "y"-lukujen joukko kaavion pystysuoraa pitkin). Ja niinpä funktion maksimi- ja minimipisteen määrittely liittyy juuri näihin "värähtelyihin". Selvitetään, mikä tämä suhde on.
Jokaisen funktion derivaatta piirretään kuvaajalle, jotta voidaan tutkia sen pääominaisuuksia ja laskea, kuinka nopeasti funktio muuttuu (eli muuttaa arvoaan muuttujan "x" mukaan). Sillä hetkellä, kun funktio kasvaa, myös sen derivaatan kuvaaja kasvaa, mutta minä hetkenä hyvänsä funktio voi alkaa pienentyä, jolloin derivaatan kuvaaja pienenee. Pisteitä, joissa derivaatta siirtyy miinuksesta plussaan, kutsutaan minimipisteiksi. Jotta tiedät kuinka löytää vähimmäispisteet, sinun tulee ymmärtää derivaatan käsite paremmin.
Miten derivaatta lasketaan?
Funktion derivaatan määrittely ja laskeminen edellyttää useita differentiaalilaskennan käsitteitä. Yleensä derivaatan määritelmä voidaan ilmaista seuraavasti: tämä on arvo, joka näyttää funktion muutosnopeuden.
Matemaattinen tapa määrittää se näyttää monille opiskelijoille monimutkaiselta, mutta itse asiassa kaikki on paljon yksinkertaisempaa. Sinun tarvitsee vain seuratavakiosuunnitelma minkä tahansa funktion derivaatan löytämiseksi. Seuraavassa kuvataan, kuinka voit löytää funktion minimipisteen soveltamatta differentiaatiosääntöjä ja muistamatta derivaattataulukkoa.
- Voit laskea funktion derivaatan käyttämällä kuvaajaa. Tätä varten sinun tulee kuvata itse funktio ja ottaa sitten yksi piste siitä (piste A kuvassa). Piirrä viiva pystysuoraan alas abskissa-akselille (piste x0) ja Piirrä pisteessä A tangentti funktiografiikkaan. Abskissa-akseli ja tangentti muodostavat kulman a. Laskeaksesi funktion kasvun arvon, sinun on laskettava tämän kulman tangentti a.
- On käynyt ilmi, että tangentin ja x-akselin suunnan välisen kulman tangentti on funktion derivaatta pienellä alueella pisteen A kanssa. Tätä menetelmää pidetään geometrisena tapana määrittää derivaatta..
Funktion tutkimusmenetelmät
Matematiikan koulun opetussuunnitelmassa on mahdollista löytää funktion minimipiste kahdella tavalla. Olemme jo analysoineet ensimmäistä menetelmää kaavion avulla, mutta kuinka määrittää derivaatan numeerinen arvo? Tätä varten sinun on opittava useita kaavoja, jotka kuvaavat derivaatan ominaisuuksia ja auttavat muuttamaan muuttujat, kuten "x" numeroiksi. Seuraava menetelmä on universaali, joten sitä voidaan soveltaa lähes kaikenlaisiin funktioihin (sekä geometrisiin että logaritmiin).
- On tarpeen rinnastaa funktio johdannaisfunktioon ja sitten yksinkertaistaa lauseke sääntöjen avullaerilaistuminen.
- jaa nolla).
- Sen jälkeen sinun tulee muuntaa funktion alkuperäinen muoto yksinkertaiseksi yhtälöksi, jolloin koko lauseke on nolla. Jos funktio näytti esimerkiksi tältä: f(x)=2x3+38x, niin sen derivaatta on differentiaatiosääntöjen mukaan yhtä suuri kuin f'(x)=3x 2 +1. Sitten muunnetaan tämä lauseke seuraavan muotoiseksi yhtälöksi: 3x2+1=0.
- Kun yhtälö on ratkaistu ja pisteet "x" on löydetty, tulee piirtää ne x-akselille ja määrittää, onko derivaatta näillä merkittyjen pisteiden välissä positiivinen vai negatiivinen. Nimeämisen jälkeen käy selväksi, missä vaiheessa funktio alkaa laskea, eli vaihtaa etumerkkiä miinuksesta päinvastaiseksi. Tällä tavalla voit löytää sekä minimi- että maksimipisteet.
Erotussäännöt
Perusasiallisin osa funktion ja sen derivaatan oppimista on erottamissääntöjen tunteminen. Vain heidän avullaan on mahdollista muuttaa hankalia lausekkeita ja suuria monimutkaisia toimintoja. Tutustutaanpa niihin, niitä on aika paljon, mutta ne ovat kaikki hyvin yksinkertaisia sekä potenssi- että logaritmisfunktioiden säännöllisten ominaisuuksien vuoksi.
- Jokaisen vakion derivaatta on nolla (f(x)=0). Eli derivaatta f(x)=x5+ x - 160 saa seuraavan muodon: f' (x)=5x4+1.
- Johdannainen kahden termin summasta: (f+w)'=f'w + fw'.
- Logaritmisen funktion johdannainen: (logad)'=d/ln ad. Tämä kaava koskee kaikenlaisia logaritmeja.
- Tutkinnon johdannainen: (x)'=nxn-1. Esimerkiksi (9x2)'=92x=18x.
- Sinifunktion johdannainen: (sin a)'=cos a. Jos kulman a synti on 0,5, niin sen derivaatta on √3/2.
Äärimmäiset pisteet
Olemme jo selvittäneet kuinka löytää vähimmäispisteet, mutta on olemassa funktion maksimipisteiden käsite. Jos minimi tarkoittaa niitä pisteitä, joissa funktio siirtyy miinuksesta plussaan, niin maksimipisteet ovat niitä x-akselin pisteitä, joissa funktion derivaatta muuttuu plussasta päinvastaiseksi - miinus.
Maksimipisteet löytyvät yllä kuvatulla menetelmällä, vain on otettava huomioon, että ne osoittavat alueita, joissa funktio alkaa pienentyä, eli derivaatta on pienempi kuin nolla.
Matematiikassa on tapana yleistää molemmat käsitteet korvaamalla ne ilmauksella "ääripisteet". Kun tehtävä pyytää määrittämään nämä pisteet, tämä tarkoittaa, että on tarpeen laskea tämän funktion derivaatta ja löytää minimi- ja maksimipisteet.
