Kuinka löytää lausekkeen arvo juurineen: ongelmatyypit, ratkaisutavat, esimerkit

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2023-12-17 05:25

Kyky työskennellä neliöjuuren sisältävien numeeristen lausekkeiden kanssa on välttämätöntä useiden OGE:n ja USE:n ongelmien ratkaisemiseksi. Näissä kokeissa riittää yleensä perusymmärrys siitä, mitä juurenpoisto on ja miten se tehdään käytännössä.

Määritelmä

Luvun X n:s juuri on luku x, jonka yhtälö on tosi: xⁿ =X.

Juurilla olevan lausekkeen arvon löytäminen tarkoittaa x:n löytämistä annettuna X ja n.

X:n neliöjuuri tai, joka on sama, toinen juuri - luku x, jonka yhtäläisyys täyttyy: x² =X.

Nimitys: ∛Х. Tässä 3 on juuren aste, X on juurilauseke. Merkkiä '√' kutsutaan usein radikaaliksi.

Jos juuren yläpuolella oleva luku ei osoita astetta, oletusarvo on aste 2.

Parillisten asteiden koulukurssilla negatiivisia juuria ja radikaaleja ilmaisuja ei yleensä huomioida. Esimerkiksi ei ole√-2, ja lausekkeen √4 oikea vastaus on 2 huolimatta siitä, että (-2)² on myös 4.

Juurien rationaalisuus ja irrationaalisuus

Yksinkertaisin tehtävä juurilla on löytää lausekkeen arvo tai testata sen rationaalisuutta.

Esimerkiksi laske arvot√25; ∛8; ∛-125:

• √25=5, koska 5² =25;
• ∛8=2, koska 2³ =8;
• ∛ - 125=-5, koska (-5)³ =-125.

Antettujen esimerkkien vastaukset ovat rationaalilukuja.

Työskenneltäessä lausekkeiden kanssa, jotka eivät sisällä kirjaimellisia vakioita ja muuttujia, on suositeltavaa suorittaa tällainen tarkistus aina käyttämällä käänteistä nostotoimintoa luonnolliseen potenssiin. Luvun x löytäminen n:nnelle potenssille vastaa x:n n:n kertoimen tulon laskemista.

On monia lausekkeita, joissa on juuri ja joiden arvo on irrationaalinen eli kirjoitettu äärettömänä ei-jaksollisena murtolukuna.

Määritelmän mukaan rationaalit ovat niitä, jotka voidaan ilmaista yhteisenä murtolukuna, ja irrationaalit ovat kaikki muita reaalilukuja.

Näitä ovat √24, √0, 1, √101.

Jos tehtäväkirja sanoo: etsi lausekkeen arvo, jonka juuri on 2, 3, 5, 6, 7 jne., eli niistä luonnollisista luvuista, joita ei ole neliötaulukossa, niin oikea vastaus on √ 2 voi olla läsnä (ellei toisin mainita).

Arviointi

Ongelmissaavoin vastaus, jos ei ole mahdollista löytää lausekkeen arvoa juurilla ja kirjoittaa se rationaalilukuna, tulos tulee jättää radikaaliksi.

Jotkin tehtävät saattavat edellyttää arviointia. Vertaa esimerkiksi 6 ja √37. Ratkaisu edellyttää molempien lukujen neliöitämistä ja tulosten vertailua. Kahdesta luvusta se, jonka neliö on suurempi, on suurempi. Tämä sääntö toimii kaikille positiivisille luvuille:

• 6² =36;
• 37² =37;
• 37 >36;
• tarkoittaa √37 > 6.

Samalla tavalla ratkaistaan tehtäviä, joissa useita numeroita on järjestettävä nousevaan tai laskevaan järjestykseen.

Esimerkki: Järjestä 5, √6, √48, √√64 nousevaan järjestykseen.

Neliöinnin jälkeen meillä on: 25, 6, 48, √64. Kaikki luvut voitaisiin neliöidä uudelleen vertaillaksesi niitä √64:n kanssa, mutta se on yhtä kuin rationaalinen luku 8. 6 < 8 < 25 < 48, joten ratkaisu on: 48.

lausekkeen yksinkertaistaminen

Sattuu niin, että lausekkeen arvoa on mahdotonta löytää juurilla, joten sitä on yksinkertaistettava. Seuraava kaava auttaa tässä:

√ab=√a√b.

Kahden luvun tulo on yhtä suuri kuin niiden juurien tulo. Tämä toiminto edellyttää myös kykyä kertoa luku.

Alkuvaiheessa työn nopeuttamiseksi on suositeltavaa pitää käsillä alkuluku- ja neliötaulukko. Nämä taulukot useinkäyttö tulevaisuudessa muistetaan.

Esimerkiksi √242 on irrationaalinen luku, voit muuntaa sen seuraavasti:

• 242=2 × 121;
• √242=√(2 × 121);
• √2 × √121=√2 × 11.

Yleensä tulos kirjoitetaan muodossa 11√2 (lue: yksitoista juuria kahdesta).

Jos on vaikea nähdä heti, mihin kahteen tekijään luku on hajotettava, jotta yhdestä niistä voidaan erottaa luonnollinen juuri, voit käyttää täydellistä hajotusta alkutekijöiksi. Jos sama alkuluku esiintyy laajennuksessa kahdesti, se poistetaan juurimerkistä. Kun tekijöitä on monia, voit purkaa juuren useissa vaiheissa.

Esimerkki: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Numero 2 esiintyy laajennuksessa 2 kertaa (itse asiassa enemmän kuin kahdesti, mutta olemme silti kiinnostuneita kahdesta ensimmäisestä esiintymisestä laajennuksessa).

Otamme sen pois juurimerkin alta:

√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√ (2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).

Toista sama toimenpide:

2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).

Jäljellä olevassa radikaalilausekkeessa 2 ja 3 esiintyvät kerran, joten jää pois tekijä 5:

2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);

ja suorita aritmeettisia operaatioita:

5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.

Joten, saamme √2400=20√6.

Jos tehtävässä ei nimenomaisesti sanota: "etsi lausekkeen arvo neliöjuurella", niin valinta,missä muodossa vastaus jätetään (poimitaanko juuri radikaalin alta) jää opiskelijalle ja voi riippua ratkaistavasta ongelmasta.

Aluksi tehtävien suunnittelulle, laskennalle asetetaan korkeat vaatimukset, mukaan lukien suullinen tai kirjallinen, ilman teknisiä keinoja.

Ainoastaan irrationaalisten numeeristen lausekkeiden kanssa työskentelyn sääntöjen hyvän hallinnan jälkeen on järkevää siirtyä vaikeampiin kirjaimellisiin lausekkeisiin ja irrationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseen ja lausekkeen mahdollisten arvojen alueen laskemiseen. radikaali.

Opiskelijat kohtaavat tämän tyyppisen ongelman matematiikan yhtenäistetyssä v altionkokeessa sekä erikoisyliopistojen ensimmäisenä vuonna opiskellessaan matemaattista analyysiä ja siihen liittyviä tieteenaloja.