Funktioiden ja niiden kuvaajien tutkiminen on aihe, johon kiinnitetään erityistä huomiota lukion opetussuunnitelman puitteissa. Matematiikan kokeen profiilitasoon sisältyy joitakin matemaattisen analyysin perusteita - eriyttämistä. Joillakin koululaisilla on ongelmia tämän aiheen kanssa, koska he sekoittavat funktion ja derivaatan graafit ja unohtavat myös algoritmit. Tämä artikkeli käsittelee tärkeimmät tehtävätyypit ja niiden ratkaisemisen.
Mikä on funktion arvo?
Matemaattinen funktio on erityinen yhtälö. Se muodostaa suhteen numeroiden välille. Funktio riippuu argumentin arvosta.
Funktion arvo lasketaan annetun kaavan mukaan. Voit tehdä tämän korvaamalla minkä tahansa argumentin, joka vastaa tämän kaavan kelvollisten arvojen aluetta, x:n tilalle ja suorittamalla tarvittavat matemaattiset toiminnot. Mitä?
Kuinka löydät funktion pienimmän arvon,käyttämällä kaaviofunktiota?
Graafista esitystä funktion riippuvuudesta argumentista kutsutaan funktiokaavioksi. Se on rakennettu tasolle, jossa on tietty yksikkösegmentti, jossa muuttujan tai argumentin arvo piirretään vaaka-abskissa-akselia pitkin ja vastaava funktion arvo pystysuoralle ordinaatta-akselille.
Mitä suurempi argumentin arvo on, sitä enemmän se on kaaviossa oikealla. Ja mitä suurempi itse funktion arvo on, sitä korkeampi piste on.
Mitä tämä kertoo? Funktion pienin arvo on piste, joka on kaavion alimmillaan. Löytääksesi sen kaaviosegmentistä, tarvitset:
1) Etsi ja merkitse tämän jakson päät.
2) Määritä visuaalisesti, mikä tämän segmentin piste on alin.
3) Kirjoita vastauksena muistiin sen numeerinen arvo, joka voidaan määrittää projisoimalla piste y-akselille.
Johdannaiskaavion ääripisteet. Mistä etsiä?
Kuitenkin tehtäviä ratkaistaessa joskus graafia ei anneta funktiosta, vaan sen derivaatasta. Jotta vältytään vahingossa tekemästä typerää virhettä, on parempi lukea ehdot huolellisesti, koska se riippuu siitä, mistä sinun täytyy etsiä äärimmäisiä pisteitä.
Joten derivaatta on funktion hetkellinen kasvunopeus. Geometrisen määritelmän mukaan derivaatta vastaa tangentin jyrkkyyttä, joka vedetään suoraan annettuun pisteeseen.
On tunnettua, että ääripisteissä tangentti on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa. Tämä tarkoittaa, että sen k altevuus on 0.
Tästä voidaan päätellä, että ääripisteissä derivaatta on x-akselilla tai katoaa. Mutta lisäksi näissä kohdissa funktio muuttaa suuntaa. Eli nousujakson jälkeen se alkaa laskea, ja vastaavasti johdannainen muuttuu positiivisesta negatiiviseksi. Tai päinvastoin.
Jos derivaatta muuttuu negatiiviseksi positiivisesta, tämä on maksimipiste. Jos negatiivisesta tulee positiivinen - minimipiste.
Tärkeää: jos sinun on määritettävä tehtävässä minimi- tai maksimipiste, kirjoita vastauksena vastaava arvo abskissa-akselia pitkin. Mutta jos sinun on löydettävä funktion arvo, sinun on ensin korvattava argumentin vastaava arvo funktioon ja laskettava se.
Kuinka löytää ääripisteet derivaatan avulla?
Katsottavat esimerkit viittaavat pääasiassa tentin tehtävään numero 7, jossa työskennellään derivaatan tai antiderivaatan graafin kanssa. Mutta USE:n tehtävä 12 - löytää segmentin funktion pienin arvo (joskus suurin) - suoritetaan ilman piirustuksia ja vaatii matemaattisen analyysin perustaitoja.
Suorittaaksesi sen, sinun on pystyttävä löytämään ääripisteet derivaatta käyttämällä. Algoritmi niiden löytämiseksi on seuraava:
- Etsi funktion derivaatta.
- Aseta se nollaan.
- Etsi yhtälön juuret.
- Tarkista, ovatko saadut pisteet ääripisteet vai käännepisteet.
Voit tehdä tämän piirtämällä kaavion ja eteenpäintuloksena saadut intervallit määrittävät derivaatan etumerkit korvaamalla segmentteihin kuuluvat luvut derivaatalla. Jos yhtälöä ratkaiseessasi sait kaksoiskertoimen juuret, nämä ovat käännepisteitä.
Soveltamalla lauseita, määritä mitkä pisteet ovat pienimpiä ja mitkä maksimipisteitä
Laske funktion pienin arvo derivaatta käyttäen
Kuitenkin, kun kaikki nämä toimet on suoritettu, löydämme x-akselin minimi- ja maksimipisteiden arvot. Mutta kuinka löytää segmentin funktion pienin arvo?
Mitä on tehtävä, jotta löydetään numero, joka vastaa funktiota tietyssä pisteessä? Sinun on korvattava argumentin arvo tähän kaavaan.
Minimi- ja maksimipisteet vastaavat segmentin funktion pienintä ja suurinta arvoa. Joten funktion arvon löytämiseksi sinun on laskettava funktio saatujen x-arvojen avulla.
Tärkeää! Jos tehtävä edellyttää minimi- tai maksimipisteen määrittämistä, kirjoita vastauksena vastaava arvo x-akselia pitkin. Mutta jos sinun on löydettävä funktion arvo, sinun on ensin korvattava vastaava argumentin arvo funktioon ja suoritettava tarvittavat matemaattiset toiminnot.
Mitä minun pitäisi tehdä, jos tällä segmentillä ei ole alhaisia arvoja?
Mutta kuinka löytää funktion pienin arvo segmentistä, jossa ei ole ääripisteitä?
Tämä tarkoittaa, että toiminto pienenee tai kasvaa monotonisesti siinä. Sitten sinun on korvattava tämän segmentin ääripisteiden arvot funktioon. On kaksi tapaa.
1) Laskettuaanderivaatta ja välit, joilla se on positiivinen tai negatiivinen, jotta voidaan päätellä, onko funktio pienenevä vai kasvava tietyllä segmentillä.
Korvaa niiden mukaisesti argumentin suurempi tai pienempi arvo funktioon.
2) Korvaa vain molemmat pisteet funktioon ja vertaa tuloksena olevia funktion arvoja.
Missä tehtävissä derivaatan löytäminen on valinnaista
Yleensä USE-määrityksistä sinun on silti löydettävä derivaatta. On vain pari poikkeusta.
1) Paraabeli.
Paraabelin huippu löytyy kaavasta.
Jos < 0, niin paraabelin haarat on suunnattu alaspäin. Ja sen huippu on maksimipiste.
Jos > 0, niin paraabelin haarat on suunnattu ylöspäin, kärki on minimipiste.
Kun olet laskenut paraabelin kärkipisteen, sinun tulee korvata sen arvo funktioon ja laskea funktion vastaava arvo.
2) Funktio y=tg x. Tai y=ctg x.
Nämä toiminnot lisääntyvät monotonisesti. Siksi mitä suurempi argumentin arvo on, sitä suurempi on itse funktion arvo. Seuraavaksi tarkastellaan esimerkkien avulla, kuinka löytää segmentin funktion suurin ja pienin arvo.
Tärkeimmät tehtävätyypit
Task: funktion suurin tai pienin arvo. Esimerkki kaaviosta.
Kuvassa näet funktion f (x) derivaatan käyrän intervallilla [-6; 6]. Missä janan kohdassa [-3; 3] f(x) ottaa pienimmän arvon?
Joten, aluksi sinun tulee valita määritetty segmentti. Siinä funktio ottaa kerran nolla-arvon ja muuttaa etumerkkiään - tämä on ääripiste. Koska derivaatta negatiivisesta muuttuu positiiviseksi, se tarkoittaa, että tämä on funktion minimipiste. Tämä piste vastaa argumentin 2 arvoa.
Vastaus: 2.
Jatka esimerkkien katselua. Tehtävä: etsi segmentin funktion suurin ja pienin arvo.
Etsi funktion y=(x - 8) pienin arvo ex-7 väliltä [6; 8].
1. Otetaan kompleksisen funktion derivaatta.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Yhdistä saatu derivaatta nollaan ja ratkaise yhtälö.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0 tai ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, ei juuria
3. Korvaa funktioon ääripisteiden arvo sekä saadut yhtälön juuret.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Vastaus: -1.
Joten tässä artikkelissa pohdittiin pääteoriaa siitä, kuinka löytää segmentin funktion pienin arvo, joka on tarpeen USE-tehtävien menestyksekkääseen ratkaisemiseen erikoistuneessa matematiikan alalla. Myös matematiikan elementtejäanalyyseja käytetään tentin C-osan tehtäviä ratkaistaessa, mutta ilmeisesti ne edustavat erilaista monimutkaisuutta ja niiden ratkaisujen algoritmeja on vaikea sovittaa yhteen materiaaliin.
