Yhden ja useamman muuttujan differentiaalilaskentafunktiot

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-02 17:46

Laskenta on laskennan haara, joka tutkii derivaatta, differentiaaleja ja niiden käyttöä funktion tutkimisessa.

Ulkonäköhistoria

Differentiaalilaskenta syntyi itsenäiseksi tieteenalaksi 1600-luvun jälkipuoliskolla Newtonin ja Leibnizin työn ansiosta, jotka muotoilivat differentiaalilaskennan perussäännökset ja huomasivat integraation ja erilaistumisen välisen yhteyden. Siitä hetkestä lähtien tieteenala on kehittynyt yhdessä integraalilaskennan kanssa, mikä muodostaa matemaattisen analyysin perustan. Näiden laskelmien ilmestyminen avasi uuden modernin ajanjakson matemaattisessa maailmassa ja aiheutti uusien tieteiden syntymisen. Se myös laajensi matemaattisen tieteen soveltamismahdollisuuksia luonnontieteissä ja -tekniikassa.

Peruskäsitteet

Differentiaalilaskenta perustuu matematiikan peruskäsitteisiin. Ne ovat: reaaliluku, jatkuvuus, funktio ja raja. Ajan myötä ne saivat modernin ilmeen integraali- ja differentiaalilaskennan ansiosta.

Luontiprosessi

Differentiaalilaskennan muodostuminen sovelletun ja sitten tieteellisen menetelmän muodossa tapahtui ennen filosofisen teorian syntymistä, jonka loi Nikolai Cusalainen. Hänen teoksiaan pidetään evoluution kehityksenä muinaisen tieteen arvioiden perusteella. Huolimatta siitä, että filosofi itse ei ollut matemaatikko, hänen panoksensa matemaattisen tieteen kehitykseen on kiistaton. Kuzansky oli yksi ensimmäisistä, joka luopui pitämästä aritmetiikkaa tarkimpana tieteenalana ja asetti tuon ajan matematiikan kyseenalaiseksi.

Muinaiset matemaatikot käyttivät yksikköä yleisenä kriteerinä, kun taas filosofi ehdotti äärettömyyttä uudeksi suureksi tarkan luvun sijaan. Tässä suhteessa tarkkuuden esitys matemaattisessa tieteessä on käänteinen. Tieteellinen tieto on hänen mukaansa jaettu rationaaliseen ja älylliseen. Toinen on tutkijan mukaan tarkempi, koska ensimmäinen antaa vain likimääräisen tuloksen.

Idea

Differentiaalilaskennan pääidea ja käsite liittyy funktioon tiettyjen pisteiden pienillä alueilla. Tätä varten on tarpeen luoda matemaattinen laite sellaisen funktion tutkimiseksi, jonka käyttäytyminen asetettujen pisteiden pienessä ympäristössä on lähellä polynomin tai lineaarifunktion käyttäytymistä. Tämä perustuu derivaatan ja differentiaalin määritelmään.

Divaattakäsitteen ilmaantumisen aiheutti suuri joukko luonnontieteiden ja matematiikan ongelmia,joka johti samantyyppisten raja-arvojen löytämiseen.

Yksi tärkeimmistä ongelmista, jotka annetaan esimerkkinä lukiosta alkaen, on määrittää suoraa pitkin liikkuvan pisteen nopeus ja rakentaa tälle käyrälle tangentti. Differentiaali liittyy tähän, koska funktio on mahdollista approksimoida lineaarifunktion tarkastellun pisteen pienessä ympäristössä.

Reaalimuuttujan funktion derivaatan käsitteeseen verrattuna differentiaalien määritelmä siirtyy yksinkertaisesti yleisluonteiseen funktioon, erityisesti euklidisen avaruuden kuvaan toisessa.

Johdannainen

Anna pisteen liikkua Oy akselin suunnassa ajaksi x, joka lasketaan hetken tietystä alusta. Tällaista liikettä voidaan kuvata funktiolla y=f(x), joka on osoitettu kullekin siirrettävän pisteen koordinaatin ajanhetkelle x. Mekaniikassa tätä funktiota kutsutaan liikkeen laiksi. Liikkeen, erityisesti epätasaisen, pääominaisuus on hetkellinen nopeus. Kun piste liikkuu Oy-akselia pitkin mekaniikan lain mukaan, se saa satunnaisella ajanhetkellä x koordinaatin f (x). Ajanhetkellä x + Δx, missä Δx tarkoittaa ajan lisäystä, sen koordinaatti on f(x + Δx). Näin muodostuu kaava Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), jota kutsutaan funktion inkrementiksi. Se edustaa polkua, jonka aikapiste kulkee x:stä x:ään + Δx.

Tämän ilmaantumisen vuoksinopeus ajassa, derivaatta otetaan käyttöön. Mieliv altaisessa funktiossa derivaatta kiinteässä pisteessä kutsutaan rajaksi (olettaen, että se on olemassa). Se voidaan merkitä tietyillä symboleilla:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Diferiaatan laskentaprosessia kutsutaan differentiaatioksi.

Usean muuttujan funktion differentiaalilaskenta

Tätä laskentamenetelmää käytetään tutkittaessa funktiota, jossa on useita muuttujia. Kahden muuttujan x ja y läsnä ollessa osittaisderivaata x:n suhteen pisteessä A kutsutaan tämän funktion derivaataksi suhteessa x:iin, jossa on kiinteä y.

Voidaan edustaa seuraavilla merkeillä:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x tai ∂f(x, y)’/∂x.

Vaadittavat taidot

Integraatio- ja eriyttämistaitoja vaaditaan onnistuneesti opiskelemaan ja ratkaisemaan diffuusioita. Differentiaaliyhtälöiden ymmärtämisen helpottamiseksi sinulla tulee olla hyvä käsitys derivaatan ja epämääräisen integraalin aiheesta. Ei myöskään haittaa oppia löytämään implisiittisesti annetun funktion derivaatta. Tämä johtuu siitä, että opiskeluprosessissa joudutaan usein käyttämään integraaleja ja differentiaatiota.

Differentiaaliyhtälöiden tyypit

Melkeissä kaikissa ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä koskevissa koepapereissa on kolmen tyyppisiä yhtälöitä: homogeeniset, erotettavissa olevilla muuttujilla, lineaarinen epähomogeeninen.

On olemassa myös harvinaisempia yhtälöitä: kokonaisdifferentiaalit, Bernoullin yhtälöt ja muut.

Päätöksen perusteet

Ensinnäkin sinun tulee muistaa koulukurssin algebralliset yhtälöt. Ne sisältävät muuttujia ja numeroita. Tavallisen yhtälön ratkaisemiseksi sinun on löydettävä joukko numeroita, jotka täyttävät tietyn ehdon. Tällaisilla yhtälöillä oli pääsääntöisesti yksi juuri, ja oikeellisuuden tarkistamiseksi piti vain korvata tämä arvo tuntemattomalla.

Differentiaaliyhtälö on samanlainen kuin tämä. Yleensä tällainen ensimmäisen asteen yhtälö sisältää:

• riippumaton muuttuja.
• Ensimmäisen funktion johdannainen.
• Funktion tai riippuvainen muuttuja.

Joissakin tapauksissa yksi tuntemattomista, x tai y, voi puuttua, mutta tämä ei ole niin tärkeää, koska ensimmäisen derivaatan läsnäolo ilman korkeamman asteen derivaattoja on välttämätön ratkaisulle ja differentiaalille laskenta oikein.

Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen tarkoittaa kaikkien annettua lauseketta vastaavien funktioiden joukon löytämistä. Tällaista funktiosarjaa kutsutaan usein DE:n yleiseksi ratkaisuksi.

Integraalilaskenta

Integraalilaskenta on yksi matemaattisen analyysin osista, joka tutkii integraalin käsitettä, ominaisuuksia ja laskentamenetelmiä.

Usein integraali lasketaan, kun lasketaan kaarevan kuvion pinta-ala. Tämä alue tarkoittaa rajaa, johon tiettyyn kuvioon piirretyn monikulmion pinta-ala pyrkii asteittain kasvamaan sen kyljessä, kun taas nämä sivut voidaan tehdä pienemmiksi kuin mikä tahansa aiemmin määritelty mieliv altainenpieni arvo.

Pääajatuksena mieliv altaisen geometrisen kuvion pinta-alan laskemisessa on laskea suorakulmion pinta-ala, toisin sanoen osoittaa, että sen pinta-ala on yhtä suuri kuin pituuden ja leveyden tulo. Mitä tulee geometriaan, kaikki rakenteet tehdään viivaimella ja kompassilla, jolloin pituuden ja leveyden suhde on rationaalinen arvo. Kun lasket suoran kolmion pinta-alaa, voit määrittää, että jos laitat saman kolmion sen viereen, muodostuu suorakulmio. Suunnikkaassa pinta-ala lasketaan samalla, mutta hieman monimutkaisemmalla menetelmällä suorakulmion ja kolmion kautta. Monikulmioissa pinta-ala lasketaan siihen sisältyvien kolmioiden kautta.

Kun määritetään mieliv altaisen käyrän säästäminen, tämä menetelmä ei toimi. Jos jaat sen yksittäisiksi neliöiksi, siellä on täyttämättömiä paikkoja. Tässä tapauksessa yritetään käyttää kahta kantta, joissa on suorakulmiot ylhäällä ja alhaalla, minkä seurauksena ne sisältävät funktion kaavion, mutta eivät. Näihin suorakulmioihin osiointimenetelmä on edelleen tärkeä tässä. Lisäksi, jos otamme yhä pienempiä osioita, ylä- ja alapuolella olevan alueen pitäisi supistua tiettyyn arvoon.

Sen pitäisi palata suorakulmioihin jakamiseen. On olemassa kaksi suosittua menetelmää.

Riemann formalisti Leibnizin ja Newtonin luoman integraalin määritelmän aligraafin alueeksi. Tässä tapauksessa tarkasteltiin lukuja, jotka koostuivat tietystä määrästä pystysuoraa suorakulmiota ja jotka saatiin jakamallasegmentti. Kun osion pienentyessä on raja, johon vastaavan luvun pinta-ala pienenee, tätä rajaa kutsutaan funktion Riemannin integraaliksi tietyllä aikavälillä.

Toinen menetelmä on Lebesguen integraalin rakentaminen, joka koostuu siitä, että määritellyn alueen jakaminen integrandin osiin ja sitten integraalisumman kokoaminen näissä osissa saaduista arvoista, sen arvoalue jaetaan intervalleiksi ja lasketaan sitten yhteen näiden integraalien esikuvien vastaaviin mittoihin.

Modernit edut

Yksi tärkeimmistä differentiaali- ja integraalilaskennan oppaista on Fikhtengoltsin kirjoittama - "Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi". Hänen oppikirjansa on perustavanlaatuinen opas matemaattisen analyysin tutkimukseen, joka on käynyt läpi monia painoksia ja käännöksiä muille kielille. Luotu yliopisto-opiskelijoille ja sitä on pitkään käytetty monissa oppilaitoksissa yhtenä tärkeimmistä opinto-apuvälineistä. Antaa teoreettista tietoa ja käytännön taitoja. Julkaistu ensimmäisen kerran vuonna 1948.

Funktion tutkimusalgoritmi

Jos haluat tutkia funktiota differentiaalilaskennan menetelmillä, sinun on noudatettava jo annettua algoritmia:

1. Etsi funktion laajuus.
2. Etsi annetun yhtälön juuret.
3. Laske ääripäät. Voit tehdä tämän laskemalla derivaatan ja pisteet, joissa se on nolla.
4. Korvaa tuloksena oleva arvo yhtälöön.

Differentiaaliyhtälöiden lajikkeet

ensikertainen ohjaus (muuten differentiaaliyksimuuttujalaskenta) ja niiden tyypit:

• Erotettavissa oleva yhtälö: f(y)dy=g(x)dx.
• Yksinkertaisimmat yhtälöt tai yhden muuttujan funktion differentiaalilaskenta, jolla on kaava: y'=f(x).
• Lineaarinen epähomogeeninen ensimmäisen asteen DE: y'+P(x)y=Q(x).
• Bernoullin differentiaaliyhtälö: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• Yhtälö kokonaisdifferentiaalien kanssa: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Toisen asteen differentiaaliyhtälöt ja niiden tyypit:

• Lineaarinen toisen asteen homogeeninen differentiaaliyhtälö vakiokerroinarvoilla: y +py'+qy=0 p, q kuuluu R.
• Lineaarinen epähomogeeninen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö vakiokertoimilla: y +py'+qy=f(x).
• Lineaarinen homogeeninen differentiaaliyhtälö: y +p(x)y'+q(x)y=0, ja epähomogeeninen toisen asteen yhtälö: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt ja niiden tyypit:

• Differentiaaliyhtälö, joka voidaan pienentää järjestyksessä: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• Lineaarinen korkeamman asteen homogeeninen yhtälö: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0 ja epähomogeeninen: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Vaiheet ongelman ratkaisemiseksi differentiaaliyhtälön avulla

Kaukosäätimen avulla ei ratkaista vain matemaattisia tai fyysisiä kysymyksiä, vaan myös erilaisia ongelmiabiologia, taloustiede, sosiologia jne. Huolimatta aiheiden laajasta kirjosta, tällaisia ongelmia ratkaistaessa tulee noudattaa yhtä loogista järjestystä:

1. Kaukosäätimen kokoelma. Yksi vaikeimmista vaiheista, joka vaatii maksimaalista tarkkuutta, koska mikä tahansa virhe johtaa täysin vääriin tuloksiin. Kaikki prosessiin vaikuttavat tekijät tulee ottaa huomioon ja alkuolosuhteet määritellä. Sen tulisi myös perustua tosiasioihin ja loogisiin johtopäätöksiin.
2. Muodellun yhtälön ratkaisu. Tämä prosessi on yksinkertaisempi kuin ensimmäinen vaihe, koska se vaatii vain tiukkoja matemaattisia laskelmia.
3. Tulosten analysointi ja arviointi. Johdettu ratkaisu tulee arvioida tuloksen käytännön ja teoreettisen arvon selvittämiseksi.

Esimerkki differentiaaliyhtälöiden käyttämisestä lääketieteessä

Kaukosäätimen käyttö lääketieteen alalla tapahtuu epidemiologista matemaattista mallia rakennettaessa. Samalla ei pidä unohtaa, että näitä yhtälöitä löytyy myös lääketiedettä lähellä olevista biologiasta ja kemiasta, sillä erilaisten biologisten populaatioiden ja ihmiskehon kemiallisten prosessien tutkiminen on siinä tärkeässä roolissa.

Yllä olevassa epidemiaesimerkissä voimme tarkastella tartunnan leviämistä eristyneessä yhteiskunnassa. Asukkaat on jaettu kolmeen tyyppiin:

• Infektoitunut, numero x(t), koostuu yksilöistä, tartunnan kantajista, joista jokainen on tarttuva (itämisaika on lyhyt).
• Toinen tyyppi sisältää alttiit yksilöt y(t), jotka voivat saada tartunnan joutuessaan kosketuksiin tartunnan saaneiden henkilöiden kanssa.
• Kolmanteen lajiin kuuluvat immuuni yksilöt z(t), jotka ovat immuuneja tai ovat kuolleet sairauteen.

Yksilömäärä on vakio, syntyneiden, luonnollisten kuolemien ja muuttoliikkeen huomioon ottamista ei oteta huomioon. Ytimessä on kaksi hypoteesia.

Identiteettiprosentti tietyllä hetkellä on x(t)y(t) (perustuu teoriaan, jonka mukaan tapausten määrä on verrannollinen sairaiden ja alttiiden edustajien välisten risteyskohtien lukumäärään, joka ensimmäisessä approksimaatio on verrannollinen x(t)y(t)), tässä yhteydessä tapausten määrä kasvaa ja alttiiden määrä vähenee nopeudella, joka lasketaan kaavalla ax(t)y(t) (a > 0).

Immuunistuneiden tai kuolleiden immuunihenkilöiden määrä kasvaa nopeudella, joka on verrannollinen tapausten lukumäärään, bx(t) (b > 0).

Tämän tuloksena voit tehdä yhtälöjärjestelmän, jossa otetaan huomioon kaikki kolme indikaattoria, ja tehdä sen perusteella johtopäätöksiä.

Talousesimerkki

Differentiaalilaskentaa käytetään usein talousanalyysissä. Taloudellisen analyysin päätehtävä on tutkia taloudesta peräisin olevia määriä, jotka kirjoitetaan funktion muotoon. Tätä käytetään ratkaistaessa ongelmia, kuten tulomuutoksia välittömästi veronkorotusten jälkeen, tullien käyttöönottoa, muutoksia yrityksen tuloissa tuotantokustannusten muuttuessa, missä suhteessa eläkkeellä olevia työntekijöitä voidaan korvata uusilla kalustoilla. Tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi se on välttämätöntärakentaa tulomuuttujista yhteysfunktio, joita sitten tutkitaan differentiaalilaskennan avulla.

Talouden alalla on usein tarpeen löytää optimaaliset indikaattorit: työn maksimi tuottavuus, korkeimmat tulot, alhaisimmat kustannukset ja niin edelleen. Jokainen tällainen indikaattori on yhden tai useamman argumentin funktio. Esimerkiksi tuotantoa voidaan tarkastella työ- ja pääomapanosten funktiona. Tässä suhteessa sopivan arvon löytäminen voidaan vähentää funktion maksimin tai minimin löytämiseen yhdestä tai useammasta muuttujasta.

Tällaiset ongelmat luovat talouden alalla äärimmäisiä ongelmia, joiden ratkaiseminen vaatii differentiaalilaskentaa. Kun taloudellinen indikaattori on minimoitava tai maksimoitava toisen indikaattorin funktiona, niin maksimipisteessä funktion lisäyksen suhde argumenteihin pyrkii nollaan, jos argumentin lisäys pyrkii nollaan. Muussa tapauksessa, kun tällainen suhde pyrkii johonkin positiiviseen tai negatiiviseen arvoon, määritetty piste ei ole sopiva, koska lisäämällä tai vähentämällä argumenttia voit muuttaa riippuvaa arvoa haluttuun suuntaan. Differentiaalilaskennan terminologiassa tämä tarkoittaa, että funktion maksimin vaadittu ehto on sen derivaatan nolla-arvo.

Taloudessa usean muuttujan funktion ääripään löytämisessä on usein ongelmia, koska taloudelliset indikaattorit koostuvat monista tekijöistä. Tällaiset kysymykset ovat hyviä.opiskellut useiden muuttujien funktioteoriaa soveltaen differentiaalilaskentamenetelmiä. Tällaisia ongelmia ovat paitsi maksimoidut ja minimoidut toiminnot, myös rajoitukset. Tällaiset kysymykset liittyvät matemaattiseen ohjelmointiin ja niitä ratkaistaan erityisesti kehitettyjen menetelmien avulla, jotka myös perustuvat tähän tieteenalaan.

Taloustieteessä käytettävien differentiaalilaskennan menetelmien joukossa tärkeä osa on marginaalianalyysi. Talouden alalla tällä termillä tarkoitetaan joukkoa menetelmiä, joilla tutkitaan muuttuvia indikaattoreita ja tuloksia muutettaessa tuotannon, kulutuksen volyymiä, perustuen niiden marginaaliindikaattoreiden analyysiin. Rajoitusindikaattori on johdannainen tai osittaiset johdannaiset, joissa on useita muuttujia.

Useiden muuttujien differentiaalilaskenta on tärkeä aihe matemaattisen analyysin alalla. Yksityiskohtaista tutkimusta varten voit käyttää erilaisia korkeakouluoppikirjoja. Yksi kuuluisimmista loi Fikhtengolts - "Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi". Kuten nimestä voi päätellä, integraalien kanssa työskentelyn taidot ovat erittäin tärkeitä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa. Kun yhden muuttujan funktion differentiaalilaskenta tapahtuu, ratkaisu yksinkertaistuu. On kuitenkin huomattava, että siihen sovelletaan samoja perussääntöjä. Funktion tutkimiseksi käytännössä differentiaalilaskennan avulla riittää, että noudatetaan jo olemassa olevaa algoritmia, joka annetaan lukiossa ja on vain hieman monimutkaista, kun uusia otetaan käyttöön.muuttujat.