Miten lasketaan pyramidin pinta-ala: kanta, sivu ja täysi?

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2023-12-17 05:25

Matematiikan tenttiin valmistautuessaan opiskelijan on systematisoitava algebran ja geometrian tietonsa. Haluaisin yhdistää kaikki tunnetut tiedot, esimerkiksi kuinka laskea pyramidin pinta-ala. Lisäksi alustasta ja sivupinnasta alkaen koko pinta-alalle. Jos sivupintojen tilanne on selvä, koska ne ovat kolmioita, pohja on aina erilainen.

Kuinka löytää pyramidin pohjan pinta-ala?

Se voi olla täysin mikä tahansa muoto: mieliv altaisesta kolmiosta n-kulmioon. Ja tämä pohja voi kulmien lukumäärän eron lisäksi olla tavallinen kuva tai virheellinen. Koululaisia kiinnostavissa USE-tehtävissä on pohjassa vain tehtäviä, joissa on oikeat luvut. Siksi puhumme vain niistä.

säännöllinen kolmio

Se on tasasivuinen. Sellainen, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret ja merkitty kirjaimella "a". Tässä tapauksessa pyramidin pohjan pinta-ala lasketaan kaavalla:

S=(a2√3) / 4.

neliö

Sen pinta-alan laskentakaava on yksinkertaisin,tässä "a" on taas puoli:

S=a2.

Mieliv altainen säännöllinen n-gon

Monikulmion sivulla on sama nimitys. Kulmien lukumäärässä käytetään latinalaista kirjainta n.

S=(na2) / (4tg (180º/n)).

Miten lasketaan sivu- ja kokonaispinta-ala?

Koska kanta on säännöllinen luku, pyramidin kaikki sivut ovat yhtä suuret. Lisäksi jokainen niistä on tasakylkinen kolmio, koska sivureunat ovat yhtä suuret. Sitten pyramidin sivupinta-alan laskemiseksi tarvitset kaavan, joka koostuu identtisten monomien summasta. Termien lukumäärä määräytyy pohjan sivujen lukumäärän mukaan.

Tasakylkisen kolmion pinta-ala lasketaan kaavalla, jossa puolet kannan tulosta kerrotaan korkeudella. Tätä pyramidin korkeutta kutsutaan apoteemiksi. Sen nimitys on "A". Sivupinta-alan yleinen kaava on:

S=½ PA, missä P on pyramidin pohjan ympärysmitta.

On tilanteita, joissa pohjan sivuja ei tunneta, mutta sivureunat (c) ja tasakulma sen kärjessä (α) on annettu. Sitten on tarkoitus käyttää tätä kaavaa pyramidin sivupinta-alan laskemiseen:

S=n/2in2 sin α.

Ongelma 1

Kunto. Laske pyramidin kokonaispinta-ala, jos sen kanta on tasasivuinen kolmio, jonka sivu on 4 cm, ja apoteemi on √3 cm.

Päätös. HänenSinun on aloitettava laskemalla pohjan kehä. Koska tämä on säännöllinen kolmio, niin P \u003d 34 \u003d 12 cm. Koska apoteemi tunnetaan, voit laskea välittömästi koko sivupinnan alueen: ½12√3=6 √3 cm 2.

Kolmiolle pohjassa saat seuraavan alueen arvon: (4²√3) / 4=4√3 cm^2.

Kokoalan määrittämiseksi sinun on lisättävä kaksi tuloksena saatua arvoa: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.

Vastaa. 10√3cm2.

Ongelma 2

Kunto. Siellä on säännöllinen nelikulmainen pyramidi. Alustan sivun pituus on 7 mm, sivureuna 16 mm. Sinun on tiedettävä sen pinta-ala.

Päätös. Koska monitaho on nelikulmainen ja säännöllinen, sen kanta on neliö. Kun olet oppinut pohja- ja sivupintojen alueet, on mahdollista laskea pyramidin pinta-ala. Neliön kaava on annettu yllä. Ja sivupinnoilla kolmion kaikki sivut tunnetaan. Siksi voit käyttää Heronin kaavaa laskeaksesi niiden pinta-alan.

Ensimmäiset laskelmat ovat yksinkertaisia ja johtavat tähän numeroon: 49 mm². Toista arvoa varten sinun on laskettava puolikehä: (7 + 162): 2=19,5 mm. Nyt voit laskea tasakylkisen kolmion alueen: √(19.5(19.5-7)(19.5-16)²)=√2985.9375=54.644 mm ^{2. Tällaisia kolmioita on vain neljä, joten lopullista lukua laskettaessa sinun on kerrottava se 4:llä.}

Näin käy ilmi: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.

Vastaa. Toivottu arvo 267 576mm2.

Ongelma 3

Kunto. Tavallisen nelikulmaisen pyramidin os alta sinun on laskettava pinta-ala. Se tietää neliön sivun - 6 cm ja korkeuden - 4 cm.

Päätös. Helpoin tapa on käyttää kaavaa kehän ja apoteemin tulon kanssa. Ensimmäinen arvo on helppo löytää. Toinen on hieman vaikeampi.

Meidän on muistettava Pythagoraan lause ja harkittava suorakulmaista kolmiota. Sen muodostavat pyramidin korkeus ja apoteemi, joka on hypotenuusa. Toinen haara on yhtä suuri kuin puolet neliön sivusta, koska monitahoisen korkeus putoaa sen keskelle.

Haluttu apoteemi (suorakulmaisen kolmion hypotenuusa) on √(3² + 4^{2)=5 (cm).}

Nyt voit laskea vaaditun arvon: ½(46)5+6²=96 (katso^2).

Vastaa. 96 cm2.

Ongelma 4

Kunto. Annettu säännöllinen kuusikulmainen pyramidi. Sen pohjan sivut ovat 22 mm, sivurivat 61 mm. Mikä on tämän monitahoisen sivupinta-ala?

Päätös. Sen perustelu on sama kuin tehtävässä 2 kuvattu. Vain siellä annettiin pyramidi, jonka pohjassa on neliö, ja nyt se on kuusikulmio.

Ensinnäkin pohjan pinta-ala lasketaan käyttämällä yllä olevaa kaavaa: (622²) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm^2.

Nyt sinun on selvitettävä tasakylkisen kolmion puolikehä, joka on sivupinta. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm. Jäljelle jää jokaisen sellaisen rannan pinta-alan laskeminenkolmio, kerro se sitten kuudella ja lisää se kolmioon, joka osoittautui perustaksi.

Laskennat Heronin kaavalla: √(72(72-22)(72-61)²)=√435600=660 cm² . Laskelmat, jotka antavat sivupinnan: 6606=3960 cm². Ne on vielä laskettava yhteen saadaksesi selville koko pinta: 5217, 47≈5217 cm^2.

Vastaa. Pohja - 726√3cm², sivupinta - 3960cm², kokonaispinta-ala - 5217cm^2.