Matematiikassa käänteisfunktiot ovat toisiaan vastaavia lausekkeita, jotka muuttuvat toisikseen. Ymmärtääksesi, mitä tämä tarkoittaa, kannattaa harkita erityistä esimerkkiä. Oletetaan, että meillä on y=cos(x). Jos otamme argumentista kosinin, voimme löytää y:n arvon. Ilmeisesti tätä varten sinulla on oltava x. Mutta entä jos pelaajalle annetaan aluksi? Tässä päästään asian ytimeen. Ongelman ratkaisemiseksi tarvitaan käänteisfunktiota. Meidän tapauksessamme tämä on kaarikosini.
Kaikkien muunnosten jälkeen saamme: x=arccos(y).
Toisin sanoen funktion käänteisen löytämiseksi annetulle funktiolle riittää pelkkä argumentin ilmaiseminen siitä. Mutta tämä toimii vain, jos tuloksella on yksi arvo (sitä myöhemmin).
Yleisesti ottaen tämä tosiasia voidaan kirjoittaa seuraavasti: f(x)=y, g(y)=x.
Määritelmä
Olkoon f funktio, jonka toimialue on joukko X, jaarvoalue on joukko Y. Sitten, jos on olemassa g, jonka toimialueet suorittavat vastakkaisia tehtäviä, niin f on käännettävä.
Lisäksi tässä tapauksessa g on ainutlaatuinen, mikä tarkoittaa, että on täsmälleen yksi funktio, joka täyttää tämän ominaisuuden (ei enempää, ei vähempää). Silloin sitä kutsutaan käänteisfunktioksi, ja kirjallisesti se merkitään seuraavasti: g(x)=f -1(x).
Toisin sanoen niitä voidaan pitää binäärirelaatioina. Käännettävyys tapahtuu vain, kun yksi joukon elementti vastaa toista arvoa.
Aina ei ole käänteistä funktiota. Tätä varten jokaisen elementin y є Y tulee vastata enintään yhtä x є X. Silloin f:tä kutsutaan yksi-yhteen tai injektio. Jos f -1 kuuluu ryhmään Y, tämän joukon jokaisen alkion on vastattava jotakin x ∈ X:tä. Funktioita, joilla on tämä ominaisuus, kutsutaan surjektioksi. Se pätee määritelmän mukaan, jos Y on kuva f, mutta näin ei aina ole. Jotta funktio olisi käänteinen, sen on oltava sekä injektio että surjektio. Tällaisia lausekkeita kutsutaan bijektioksi.
Esimerkki: neliö- ja juurifunktiot
Funktio määritellään [0, ∞) ja annetaan kaavalla f (x)=x2.
Sitten se ei ole injektiivinen, koska jokainen mahdollinen tulos Y (paitsi 0) vastaa kahta erilaista X:ää - yhtä positiivista ja yhtä negatiivista, joten se ei ole palautuva. Tässä tapauksessa on mahdotonta saada alkutietoja vastaanotetuista tiedoista, mikä on ristiriidassateorioita. Se ei ole injektiivinen.
Jos määritelmäalue on ehdollisesti rajoitettu ei-negatiivisiin arvoihin, kaikki toimii kuten ennen. Silloin se on bijektiivinen ja siten käännettävä. Käänteisfunktiota kutsutaan tässä positiiviseksi.
Huomautus sisääntuloon
Saako nimitys f -1 (x) hämmentää henkilöä, mutta sitä ei missään tapauksessa saa käyttää näin: (f (x)) - 1 . Se viittaa täysin erilaiseen matemaattiseen käsitteeseen, eikä sillä ole mitään tekemistä käänteisfunktion kanssa.
Yleensä jotkut kirjoittajat käyttävät ilmaisuja kuten sin-1 (x).
Muut matemaatikot uskovat kuitenkin, että tämä voi aiheuttaa sekaannusta. Tällaisten vaikeuksien välttämiseksi käänteiset trigonometriset funktiot merkitään usein etuliitteellä "kaari" (latinalaisesta kaaresta). Meidän tapauksessamme puhumme arcsinuksesta. Voit myös joskus nähdä etuliitteen "ar" tai "inv" joillekin muille funktioille.
