Mitä ovat irrationaaliset luvut? Miksi niitä kutsutaan sellaisiksi? Missä niitä käytetään ja mitä ne ovat? Harva osaa vastata näihin kysymyksiin epäröimättä. Mutta itse asiassa vastaukset niihin ovat melko yksinkertaisia, vaikka kaikki eivät niitä tarvitse ja hyvin harvoissa tilanteissa
Essenssi ja nimitys
Irrationaaliset luvut ovat äärettömiä ei-jaksollisia desimaalilukuja. Tarve ottaa tämä käsite käyttöön johtuu siitä, että aiemmin olemassa olleet todelliset tai todelliset, kokonaisluvut, luonnolliset ja rationaaliset luvut eivät enää riittäneet ratkaisemaan uusia esiin tulevia ongelmia. Esimerkiksi, jotta voit laskea, mikä on luvun 2 neliö, sinun on käytettävä kertaluonteisia äärettömiä desimaalilukuja. Lisäksi monilla yksinkertaisimmista yhtälöistä ei myöskään ole ratkaisua ilman irrationaalisen luvun käsitettä.
Tätä joukkoa merkitään I. Ja kuten on jo selvää, näitä arvoja ei voida esittää yksinkertaisena murtolukuna, jonka osoittajassa on kokonaisluku ja nimittäjässä luonnollinen luku.
Ensimmäistä kertaa koskaanmuuten intialaiset matemaatikot kohtasivat tämän ilmiön 700-luvulla eKr., jolloin havaittiin, että joidenkin suureiden neliöjuuria ei voitu osoittaa selvästi. Ja ensimmäinen todiste tällaisten numeroiden olemassaolosta johtuu Pythagoraan Hippasuksesta, joka teki tämän tutkiessaan tasakylkistä suorakulmaista kolmiota. Jotkut muut ennen aikakauttamme eläneet tiedemiehet antoivat vakavan panoksen tämän sarjan tutkimukseen. Irrationaalisten lukujen käsitteen käyttöönotto johti olemassa olevan matemaattisen järjestelmän tarkistamiseen, minkä vuoksi ne ovat niin tärkeitä.
Nimen alkuperä
Jos ratio tarkoittaa latinaksi "murto-osa", "suhde", niin etuliite "ir"
antaa tälle sanalle päinvastaisen merkityksen. Siten näiden numeroiden joukon nimi osoittaa, että niitä ei voi korreloida kokonaisluvun tai murtoluvun kanssa, niillä on erillinen paikka. Tämä seuraa niiden olemuksesta.
Sija kokonaisluokituksessa
Irrationaaliset luvut kuuluvat rationaalilukujen ohella reaali- tai reaalilukujen ryhmään, jotka puolestaan kuuluvat kompleksilukuihin. Alajoukkoja ei ole, mutta on algebrallisia ja transsendenttisia muunnelmia, joita käsitellään alla.
Ominaisuudet
Koska irrationaaliset luvut ovat osa reaalilukujen joukkoa, kaikki niiden aritmetiikassa tutkitut ominaisuudet (niitä kutsutaan myös algebrallisiksi peruslaiksi) pätevät niihin.
a + b=b + a (kommutatiivisuus);
(a + b) + c=a + (b + c)(assosiatiivisuus);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (vastakkaisen luvun olemassaolo);
ab=ba (siirtymälaki);
(ab)c=a(bc) (jakauma);
a(b+c)=ab + ac (jakolaki);
a x 1=a
a x 1/a=1 (käänteisen luvun olemassaolo);
Vertailu suoritetaan myös yleisten lakien ja periaatteiden mukaisesti:
Jos a > b ja b > c, niin a > c (suhteen transitiivisuus) ja. jne.
Tietenkin kaikki irrationaaliset luvut voidaan muuntaa perusaritmetiikalla. Tälle ei ole erityisiä sääntöjä.
Lisäksi Archimedesin aksiooma pätee irrationaalisiin lukuihin. Se sanoo, että kahdelle suurelle a ja b väite on totta, että ottamalla a termiksi tarpeeksi monta kertaa, voit ylittää b.
Käytä
Huolimatta siitä, että tavallisessa elämässä sinun ei tarvitse usein käsitellä niitä, irrationaalisia lukuja ei voida laskea. Niitä on paljon, mutta ne ovat melkein näkymättömiä. Meitä ympäröivät irrationaaliset luvut kaikkialla. Kaikille tuttuja esimerkkejä ovat luku pi, joka on yhtä suuri kuin 3, 1415926 … tai e, joka on olennaisesti luonnollisen logaritmin kanta, 2, 718281828 … Algebrassa, trigonometriassa ja geometriassa niitä on käytettävä jatkuvasti. Muuten, "kultaisen leikkauksen" kuuluisa arvo, eli sekä suuremman ja pienemmän osan suhde että päinvastoin, on myös
kuuluu tähän joukkoon. Vähemmän tunnettu "hopea" - myös.
Ne sijaitsevat hyvin tiheästi lukuviivalla, joten minkä tahansa kahden rationaalisten arvojen joukkoon liittyvän arvon välissä esiintyy varmasti irrationaalinen.
Tähän sarjaan liittyy vielä paljon ratkaisemattomia ongelmia. On olemassa sellaisia kriteerejä kuin irrationaalisuuden mitta ja luvun normaalius. Matemaatikko tutkii edelleen merkittävimpiä esimerkkejä kuulumisestaan johonkin ryhmään. Esimerkiksi uskotaan, että e on normaaliluku, eli eri numeroiden todennäköisyys esiintyä sen tietueessa on sama. Pi:n os alta tutkimus on vielä kesken. Irrationaalisuuden mittaa kutsutaan myös arvoksi, joka osoittaa, kuinka hyvin tämä tai toinen luku voidaan approksimoida rationaalisilla luvuilla.
Algebrallinen ja transsendentaalinen
Kuten jo mainittiin, irrationaaliset luvut jaetaan ehdollisesti algebrallisiin ja transsendentaalisiin lukuihin. Ehdollisesti, koska tarkasti ottaen tätä luokitusta käytetään jakamaan joukko C.
Tämä nimitys piilottaa kompleksiluvut, jotka sisältävät todellisia tai reaalilukuja.
Joten, algebrallinen arvo on arvo, joka on polynomin juuri, joka ei ole identtisesti yhtä suuri kuin nolla. Esimerkiksi luvun 2 neliöjuuri olisi tässä luokassa, koska se on yhtälön x2 - 2=0.
ratkaisu
Kaikki muut reaaliluvut, jotka eivät täytä tätä ehtoa, kutsutaan transsendentaalisiksi. Tähän lajikkeeseensisältää tunnetuimmat ja jo mainitut esimerkit - luku pi ja luonnollisen logaritmin kanta e.
Mielenkiintoista kyllä, matemaatikot eivät alun perin päättäneet yhtä tai toista tässä ominaisuudessa, vaan niiden järjettömyys ja yliluonnollisuus todistettiin monta vuotta niiden löytämisen jälkeen. Pi:lle todiste annettiin vuonna 1882 ja yksinkertaistettiin vuonna 1894, mikä lopetti 2500 vuotta kestäneen kiistan ympyrän neliöintiongelmasta. Sitä ei vieläkään täysin ymmärretä, joten nykyaikaisilla matemaatikoilla on työtä. Muuten, Archimedes suoritti ensimmäisen riittävän tarkan laskelman tästä arvosta. Ennen häntä kaikki laskelmat olivat liian likimääräisiä.
E:lle (Euler- tai Napier-luvut) todiste sen ylittyvyydestä löydettiin vuonna 1873. Sitä käytetään logaritmisen yhtälöiden ratkaisemiseen.
Muita esimerkkejä ovat sini-, kosini- ja tangenttiarvot kaikille algebrallisille nollasta poikkeaville arvoille.
