Teho on yksi fysiikan tärkeimmistä käsitteistä. Se aiheuttaa muutoksen minkä tahansa esineen tilassa. Tässä artikkelissa tarkastelemme, mikä tämä arvo on, mitä voimia siinä on, ja näytämme myös kuinka löytää voiman projektio akselilla ja tasolla.
Voima ja sen fyysinen merkitys
Fysiikassa voima on vektorisuure, joka osoittaa kappaleen liikemäärän muutoksen aikayksikköä kohden. Tämä määritelmä pitää voimaa dynaamisena ominaisuutena. Statiikan näkökulmasta voima on fysiikassa kappaleiden elastisen tai plastisen muodonmuutoksen mitta.
Kansainvälinen SI-järjestelmä ilmaisee voiman newtoneina (N). Mikä on 1 newton, helpoin tapa ymmärtää klassisen mekaniikan toisen lain esimerkki. Sen matemaattinen merkintä on seuraava:
F¯=ma¯
Tässä F¯ on jokin ulkoinen voima, joka vaikuttaa kappaleeseen, jonka massa on m ja joka johtaa kiihtyvyyteen a¯. Yhden newtonin kvantitatiivinen määritelmä seuraa kaavasta: 1 N on sellainen voima, joka muuttaa kappaleen, jonka massa on 1 kg, nopeudessa 1 m/s joka sekunti.
Esimerkkejä dynaamisestavoiman ilmentymiä ovat auton tai vapaasti putoavan kappaleen kiihtyvyys maan vetovoimakentässä.
Staattinen voiman ilmentymä, kuten todettiin, liittyy muodonmuutosilmiöihin. Tässä on annettava seuraavat kaavat:
F=PS
F=-kx
Ensimmäinen lauseke liittää voiman F paineeseen P, jonka se kohdistaa johonkin alueeseen S. Tämän kaavan avulla 1 N voidaan määritellä 1 pascalin paineeksi, joka kohdistetaan 1 m 2. Esimerkiksi ilmakehän ilmapylväs merenpinnan tasolla painaa 1 m2voimalla 105N!
Toinen lauseke on Hooken lain klassinen muoto. Esimerkiksi jousen venyttäminen tai puristaminen lineaarisella arvolla x johtaa vastakkaisen voiman F syntymiseen (lausekkeessa k on suhteellisuustekijä).
Mitä voimia on olemassa
Yllä on jo osoitettu, että voimat voivat olla staattisia ja dynaamisia. Tässä sanomme, että tämän ominaisuuden lisäksi ne voivat olla kosketus- tai pitkän kantaman voimia. Esimerkiksi kitkavoima, tukireaktiot ovat kosketusvoimia. Syynä niiden ilmestymiseen on Paulin periaatteen pätevyys. Jälkimmäinen väittää, että kaksi elektronia ei voi olla samassa tilassa. Siksi kahden atomin kosketus johtaa niiden hylkimiseen.
Pitkän kantaman voimat ilmenevät kappaleiden vuorovaikutuksen seurauksena tietyn kantokentän kautta. Tällaisia ovat esimerkiksi painovoima tai sähkömagneettinen vuorovaikutus. Molemmilla voimilla on ääretön kantama,niiden intensiteetti kuitenkin laskee etäisyyden neliönä (Coulombin lait ja painovoima).
Teho on vektorisuure
Kun on käsitelty tarkasteltavan fysikaalisen suuren merkitystä, voimme siirtyä tutkimaan kysymystä voiman projektiosta akselille. Ensinnäkin huomaamme, että tämä suure on vektori, eli sille on ominaista moduuli ja suunta. Näytämme kuinka voimamoduuli ja sen suunta lasketaan.
Tiedetään, että mikä tahansa vektori voidaan määritellä yksilöllisesti tietyssä koordinaattijärjestelmässä, jos sen alun ja lopun koordinaattien arvot tunnetaan. Oletetaan, että on olemassa jokin suunnattu segmentti MN¯. Sitten sen suunta ja moduuli voidaan määrittää seuraavilla lausekkeilla:
MN¯=(x2-x1; y2-y 1; z2-z1);
|MN¯|=√((x2-x1)2+ (y2 -y1)2+ (z2-z1 )2).
Tässä koordinaatit indekseillä 2 vastaavat pistettä N, indeksit 1 vastaavat pistettä M. Vektori MN¯ on suunnattu M:stä N:ään.
Yleisyyden vuoksi olemme osoittaneet kuinka löytää vektorin moduuli ja koordinaatit (suunta) kolmiulotteisessa avaruudessa. Samanlaiset kaavat ilman kolmatta koordinaattia pätevät tapaukselle tasossa.
Siten voimamoduuli on sen itseisarvo, joka ilmaistaan newtoneina. Geometrian näkökulmasta moduuli on suunnatun janan pituus.
Mihin voiman projektio onakseli?
Suunnattujen segmenttien projektioista koordinaattiakseleille ja tasoille on kätevintä puhua, jos sijoitat ensin vastaavan vektorin origoon, eli pisteeseen (0; 0; 0). Oletetaan, että meillä on jokin voimavektori F¯. Laitetaan sen alku pisteeseen (0; 0; 0), jolloin vektorin koordinaatit voidaan kirjoittaa seuraavasti:
F¯=((x1- 0); (y1- 0); (z1 - 0))=(x1; y1; z1).
Vektori F¯ näyttää voiman suunnan avaruudessa annetussa koordinaattijärjestelmässä. Piirretään nyt kohtisuorat segmentit F¯:n päästä kullekin akselille. Etäisyyttä kohtisuoran ja vastaavan akselin leikkauspisteestä origoon kutsutaan voiman projektioksi akselille. Ei ole vaikea arvata, että voiman F¯ tapauksessa sen projektiot x-, y- ja z-akseleilla ovat x1, y1 ja z 1, vastaavasti. Huomaa, että nämä koordinaatit osoittavat voimaprojektioiden moduulit (osien pituudet).
Kulmat voiman ja sen projektioiden välillä koordinaattiakseleilla
Näiden kulmien laskeminen ei ole vaikeaa. Sen ratkaisemiseen tarvitaan vain trigonometristen funktioiden ominaisuuksien tuntemus ja Pythagoraan lauseen soveltamiskyky.
Määritetään esimerkiksi voiman suunnan ja sen x-akselin projektion välinen kulma. Vastaavan suorakulmaisen kolmion muodostavat hypotenuusa (vektori F¯) ja haara (segmentti x1). Toinen haara on etäisyys vektorin F¯ päästä x-akseliin. F¯ ja x-akselin välinen kulma α lasketaan kaavalla:
α=kaaret(|x1|/|F¯|)=kaaret(x1/√(x) 12+y12+z1 2)).
Kuten näet, akselin ja vektorin välisen kulman määrittämiseksi on välttämätöntä ja riittävää tietää suunnatun janan lopun koordinaatit.
Kulmille, joissa on muita akseleita (y ja z), voit kirjoittaa samanlaisia lausekkeita:
β=kaaret(|y1|/|F¯|)=arccos(y1/√(x 12+y12+z 12));
γ=kaaret(|z1|/|F¯|)=kaaret(z1/√(x 12+y12+z 12)).
Huomaa, että kaikissa kaavoissa on moduuleja osoittajissa, mikä eliminoi tylpäiden kulmien esiintymisen. Voiman ja sen aksiaalisten projektioiden välillä kulmat ovat aina pienempiä tai yhtä suuria kuin 90o.
Voima ja sen projektiot koordinaattitasolla
Tasoon kohdistuvan voiman projektion määritelmä on sama kuin akselille, vain tässä tapauksessa kohtisuoraa ei tule laskea akselille vaan tasolle.
Avaruussuorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä meillä on kolme keskenään kohtisuoraa tasoa xy (vaakasuora), yz (etusuuntainen pystysuora), xz (sivusuuntainen pystysuora). Vektorin lopusta nimettyihin tasoihin pudotettujen kohtisuorien leikkauspisteet ovat:
(x1; y1; 0) xy:lle;
(x1; 0; z1) xz;
(0; y1; z1) zy.
Jos jokainen merkityistä pisteistä on kytketty origoon, saadaan voiman F¯ projektio vastaavaan tasoon. Mikä on voimamoduuli, tiedämme. Jokaisen projektion moduulin löytämiseksi sinun on sovellettava Pythagoraan lausetta. Merkitään tasossa olevat projektiot muotoilla Fxy, Fxz ja Fzy. Sitten yhtäläisyydet ovat voimassa niiden moduuleille:
Fxy=√(x12+y1 2);
Fxz=√(x12+ z1 2);
Fzy=√(y12+ z1 2).
Tasoon olevien projektioiden ja voimavektorin väliset kulmat
Yllä olevassa kappaleessa annettiin kaavat projektioiden moduuleille tarkasteltavan vektorin F¯ tasolle. Nämä projektiot yhdessä janan F¯ ja sen pään etäisyyden kanssa muodostavat suorakulmaisia kolmioita. Siksi, kuten akselin projektioiden tapauksessa, voit käyttää trigonometristen funktioiden määritelmää kyseisten kulmien laskemiseen. Voit kirjoittaa seuraavat yhtäläisyydet:
α=kaaret(Fxy/|F¯|)=arccos(√(x12 +y12) /√(x12 +y12+z12));
β=kaaret(Fxz/|F¯|)=arccos(√(x12 +z12)/√(x12 +y12+z12));
γ=arccos(Fzy/|F¯|)=arccos(√(y12+z12)/√(x12+y12 +z12)).
On tärkeää ymmärtää, että voiman F¯ suunnan ja sitä vastaavan projektion välinen kulma tasoon on yhtä suuri kuin F¯ ja tämän tason välinen kulma. Jos tarkastellaan tätä ongelmaa geometrian näkökulmasta, voidaan sanoa, että suunnattu segmentti F¯ on vinossa tasoihin xy, xz ja zy nähden.
Missä voimaprojekteja käytetään?
Yllä olevat kaavat voimaprojektioille koordinaattiakseleille ja tasolle eivät ole vain teoreettisia. Niitä käytetään usein fyysisten ongelmien ratkaisemiseen. Itse projektioiden löytämisprosessia kutsutaan voiman hajoamiseksi komponenteiksi. Jälkimmäiset ovat vektoreita, joiden summan pitäisi antaa alkuperäinen voimavektori. Yleisessä tapauksessa on mahdollista jakaa voima mieliv altaisiksi komponenteiksi, mutta tehtävien ratkaisemiseksi on kätevää käyttää projektioita kohtisuoralle akseleille ja tasoille.
Ongelmat, joissa käytetään voimaprojektioiden käsitettä, voivat olla hyvin erilaisia. Esimerkiksi sama Newtonin toinen laki olettaa, että kehoon vaikuttava ulkoinen voima F¯ on suunnattava samalla tavalla kuin nopeusvektori v¯. Jos niiden suunnat poikkeavat jonkin kulman verran, niin tasa-arvon pysymiseksi siihen tulee korvata ei itse voima F¯, vaan sen projektio suuntaan v¯.
Seuraavaksi annamme pari esimerkkiä, joissa näytämme kuinka käyttää tallennettuakaavat.
Tehtävä määrittää voimaprojektiot tasossa ja koordinaattiakseleilla
Oletetaan, että on olemassa jokin voima F¯, jota edustaa vektori, jolla on seuraavat loppu- ja alkukoordinaatit:
(2; 0; 1);
(-1; 4; -1).
On tarpeen määrittää voiman moduuli sekä kaikki sen projektiot koordinaattiakseleille ja tasoille sekä kulmat F¯:n ja kunkin sen projektion välillä.
Aloitetaan ongelman ratkaiseminen laskemalla vektorin F¯ koordinaatit. Meillä on:
F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).
Sitten voimamoduuli on:
|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.
Projisoinnit koordinaattiakseleille ovat yhtä suuria kuin vektorin F¯ vastaavat koordinaatit. Lasketaan niiden ja F¯-suunnan väliset kulmat. Meillä on:
α=arccos(|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14o;
β=arccos(|4|/5, 385) ≈ 42, 03o;
γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20o.
Koska vektorin F¯ koordinaatit ovat tiedossa, on mahdollista laskea voimaprojektioiden moduulit koordinaattitasolla. Yllä olevia kaavoja käyttämällä saamme:
Fxy=√(9 +16)=5 N;
Fxz=√(9 + 4)=3, 606 N;
Fzy=√(16 + 4)=4, 472 N.
Lopuksi jää vielä laskea tasossa löydettyjen projektioiden ja voimavektorin väliset kulmat. Meillä on:
α=kaaret(Fxy/|F¯|)=kaaret(5/5, 385) ≈ 21, 8o;
β=arccos(Fxz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0o;
γ=kaaret(Fzy/|F¯|)=kaaret(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9o.
Siten vektori F¯ on lähinnä xy-koordinaattitasoa.
Ongelma liukutangon kanssa k altevassa tasossa
Ratkaiskaamme nyt fyysinen ongelma, jossa on tarpeen soveltaa voimaprojektion käsitettä. Olkoon puinen k alteva taso. Sen k altevuuskulma horisonttiin nähden on 45o. Koneessa on puupalikka, jonka massa on 3 kg. On tarpeen määrittää millä kiihtyvyydellä tämä palkki liikkuu alaspäin, jos tiedetään, että liukukitkakerroin on 0,7.
Tehdään ensin kehon liikeyhtälö. Koska siihen vaikuttaa vain kaksi voimaa (painovoiman projektio tasoon ja kitkavoima), yhtälö saa muotoa:
Fg- Ff=ma=>
a=(Fg- Ff)/m.
Tässä Fg, Ff on painovoiman ja kitkan projektio, vastaavasti. Eli tehtävä rajoittuu niiden arvojen laskemiseen.
Koska kulma, jossa taso on kallistettu horisonttiin, on 45o, on helppo osoittaa, että painovoiman projektio Fgtason pintaa pitkin on yhtä suuri kuin:
Fg=mgsin(45o)=39, 81/√2 ≈ 20, 81 N.
Tämä voimaprojektio pyrkii horjuttamaanpuupalikka ja anna sille kiihtyvyyttä.
Määritelmän mukaan liukukitkavoima on:
Ff=ΜN
Missä Μ=0, 7 (katso tehtävän ehto). Tuen reaktiovoima N on yhtä suuri kuin painovoiman projektio k altevaa tasoa vastaan kohtisuoralle akselille, eli:
N=mgcos(45o)
Sitten kitkavoima on:
Ff=Μmgcos(45o)=0, 739, 81/√2 ≈ 14, 57 N.
Korvaa löydetyt voimat liikeyhtälöön, saamme:
a=(Fg- Ff)/m=(20,81 - 14,57)/3=2,08 m/ c2.
Siten lohko laskee k altevaa tasoa ja lisää nopeuttaan 2,08 m/s sekunnissa.
