Polynomi eli polynomi - yksi algebrallisista perusrakenteista, joka löytyy koulusta ja korkeammasta matematiikasta. Polynomin tutkiminen on algebran kurssin tärkein aihe, koska toisa alta polynomit ovat melko yksinkertaisia verrattuna muuntyyppisiin funktioihin ja toisa alta niitä käytetään laaj alti matemaattisen analyysin ongelmien ratkaisemisessa.. Joten mikä on polynomi?
Määritelmä
Termin polynomi määritelmä voidaan antaa monomin tai monomin käsitteen kautta.
Monomiaali on lauseke muodossa cx1i1x2 i2 …x in. Tässä с on vakio, x1, x2, … x - muuttujat, i1, i2, … in - muuttujien eksponentit. Tällöin polynomi on mikä tahansa monomioiden äärellinen summa.
Ymmärtääksesi, mikä polynomi on, voit tarkastella tiettyjä esimerkkejä.
Neliötrinomi, josta keskusteltiin yksityiskohtaisesti 8. luokan matematiikan kurssilla, on polynomi: ax2+bx+c.
Polynomi, jossa on kaksi muuttujaa, voi näyttää tältä: x2-xy+y2. Sellainenpolynomia kutsutaan myös x:n ja y:n välisen eron epätäydelliseksi neliöksi.
Polynomiluokitukset
Polynomitutkinto
Etsi jokaiselle polynomin monomille eksponenttien summa i1+i2+…+in. Summista suurinta kutsutaan polynomin eksponenttiksi ja tätä summaa vastaavaa monomia suurimmaksi termiksi.
Muuten, mitä tahansa vakiota voidaan pitää nolla-asteen polynomina.
Pennetyt ja pelkistämättömät polynomit
Jos kerroin c on yhtä suuri kuin 1 suurimmalle termille, niin polynomi annetaan, muuten ei.
Esimerkiksi lauseke x2+2x+1 on pelkistetty polynomi, ja 2x2+2x+1 ei ole pelkistetty.
Homogeeniset ja epähomogeeniset polynomit
Jos polynomin kaikkien jäsenten asteet ovat yhtä suuret, niin sanotaan, että tällainen polynomi on homogeeninen. Kaikkia muita polynomeja pidetään epähomogeenisina.
Homogeeniset polynomit: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Heterogeeninen: x+1, x2+y.
Kahden ja kolmen termin polynomille on erityisiä nimiä: binomi ja trinomi, vastaavasti.
Yhden muuttujan polynomit on allokoitu erilliseen luokkaan.
Yhden muuttujan polynomin käyttö
Yhden muuttujan polynomit approksimoivat hyvin jatkuvia funktioita, joiden monimutkaisuus vaihtelee yhdestä argumentista.
Tosiasia on, että tällaisia polynomeja voidaan pitää potenssisarjan osittaisina summina ja jatkuva funktio voidaan esittää sarjana mieliv altaisen pienellä virheellä. Funktion laajennussarjoja kutsutaan Taylor-sarjoiksi ja niidenosittaissummat polynomien muodossa - Taylor-polynomit.
Funktion käyttäytymisen graafinen tutkiminen approksimoimalla sitä jollain polynomilla on usein helpompaa kuin saman funktion tutkiminen suoraan tai sarjan avulla.
Polynomien johdannaisia on helppo etsiä. Asteen 4 ja sitä alempien polynomien juurien löytämiseksi on olemassa valmiita kaavoja, ja korkeampien asteiden kanssa työskentelyyn käytetään erittäin tarkkoja likimääräisiä algoritmeja.
Siellä on myös yleistys kuvatuista polynomeista useiden muuttujien funktioille.
Newtonin binomiaali
Kuuluisat polynomit ovat Newtonin polynomeja, jotka tiedemiehet ovat johtaneet löytääkseen lausekkeen kertoimet (x + y).
Riittää, että katsot binomijaottelun muutamaa ensimmäistä potenssia varmistaaksesi, että kaava ei ole triviaali:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Jokaiselle kertoimelle on lauseke, jonka avulla voit laskea sen. Hankalien kaavojen muistaminen ja tarvittavien aritmeettisten operaatioiden suorittaminen joka kerta olisi kuitenkin erittäin hankalaa niille matemaatikoille, jotka tarvitsevat usein tällaisia laajennuksia. Pascalin kolmio helpotti heidän elämäänsä paljon.
Kuva on rakennettu seuraavan periaatteen mukaan. 1 kirjoitetaan kolmion yläosaan, ja jokaisella seuraavalla rivillä siitä tulee yksi numero lisää, 1 laitetaan reunoihin ja rivin keskikohta täytetään kahden vierekkäisen luvun summalla edellisestä.
Kun katsot kuvaa, kaikki käy selväksi.
Polynomien käyttö matematiikassa ei tietenkään rajoitu annettuihin esimerkkeihin, vaan tunnetuimpiin.
