Matematiikassa ja prosessoinnissa analyyttisen signaalin käsite (lyhyesti C, AC) on monimutkainen funktio, jolla ei ole negatiivisia taajuuskomponentteja. Tämän ilmiön todellinen ja kuvitteellinen osa ovat todellisia toimintoja, jotka liittyvät toisiinsa Hilbert-muunnoksen avulla. Analyyttinen signaali on melko yleinen ilmiö kemiassa, jonka olemus on samanlainen kuin tämän käsitteen matemaattinen määritelmä.
Esitykset
Reaalifunktion analyyttinen esitys on analyyttinen signaali, joka sisältää alkuperäisen funktion ja sen Hilbert-muunnoksen. Tämä esitys helpottaa monia matemaattisia manipulaatioita. Pääajatuksena on, että todellisen funktion Fourier-muunnoksen (tai spektrin) negatiiviset taajuuskomponentit ovat redundantteja tällaisen spektrin hermiittisen symmetrian vuoksi. Nämä negatiivisen taajuuden komponentit voidaan hävittää ilmantiedon menetys, jos haluat käsitellä sen sijaan monimutkaista toimintoa. Tämä tekee tietyistä ominaisuuksista helpommin saavutettavissa ja helpottaa modulaatio- ja demodulaatiotekniikoiden, kuten SSB:n, johtamista.
Negatiiviset komponentit
Niin kauan kuin manipuloitavalla funktiolla ei ole negatiivista taajuuskomponenttia (eli se on edelleen analyyttinen), kompleksin muuntaminen takaisin todelliseksi on vain imaginaariosan hylkäämistä. Analyyttinen esitys on yleistys vektorin käsitteestä: vaikka vektori on rajoitettu ajassa muuttumattomaan amplitudiin, vaiheeseen ja taajuuteen, analyyttisen signaalin kvalitatiivinen analyysi mahdollistaa ajassa vaihtelevat parametrit.
Hetkellistä amplitudia, hetkellistä vaihetta ja taajuutta käytetään joissakin sovelluksissa C:n paikallisten piirteiden mittaamiseen ja havaitsemiseen. Toinen analyyttisen esityksen sovellus liittyy moduloitujen signaalien demodulointiin. Napakoordinaatit erottavat kätevästi AM- ja vaihe- (tai taajuus-) modulaation vaikutukset ja demoduloivat tehokkaasti tietynlaisia.
Sitten yksinkertainen alipäästösuodatin todellisilla kertoimilla voi katkaista kiinnostavan osan. Toinen motiivi on alentaa maksimitaajuutta, mikä alentaa ei-alias-näytteenoton minimitaajuutta. Taajuusmuutos ei heikennä esityksen matemaattista hyödyllisyyttä. Siten tässä mielessä alasmuunto on edelleen analyyttistä. Kuitenkin todellisen edustuksen palauttaminenei ole enää yksinkertaista todellisen komponentin purkamista. Upconversio saattaa olla tarpeen, ja jos signaali on näytteistetty (diskreetti aika), voidaan myös tarvita interpolointia (ylösnäytteistys) aliasoinnin välttämiseksi.
Muuttujat
Konsepti on hyvin määritelty yksittäisen muuttujan ilmiöille, jotka ovat yleensä väliaikaisia. Tämä ajallisuus hämmentää monia aloittelevia matemaatikoita. Kahdelle tai useammalle muuttujalle analyyttinen C voidaan määritellä eri tavoin, ja alla on esitetty kaksi lähestymistapaa.
Tämän ilmiön todellinen ja imaginaariosa vastaavat kahta vektoriarvoisen monogeenisen signaalin elementtiä, kuten on määritelty samanlaisille ilmiöille yhdellä muuttujalla. Monogenic voidaan kuitenkin laajentaa mieliv altaiseen määrään muuttujia yksinkertaisella tavalla, jolloin saadaan (n + 1)-ulotteinen vektorifunktio n-muuttujasignaalien tapauksessa.
Signaalimuunnos
Voit muuntaa todellisen signaalin analyyttiseksi lisäämällä imaginaarikomponentin (Q), joka on todellisen komponentin Hilbert-muunnos.
Muuten, tämä ei ole uutta sen digitaalisessa käsittelyssä. Yksi perinteisistä tavoista tuottaa yhden sivukaistan (SSB) AM, vaiheistusmenetelmä, sisältää signaalien luomisen generoimalla äänisignaalin Hilbert-muunnos analogisessa vastus-kondensaattoriverkossa. Koska sillä on vain positiivisia taajuuksia, se on helppo muuntaa moduloiduksi RF-signaaliksi vain yhdellä sivukaistalla.
Määritelmäkaavat
Analyyttinen signaalin ilmaisu on holomorfinen kompleksifunktio, joka on määritelty ylemmän kompleksisen puolitason rajalla. Ylemmän puolitason raja osuu satunnaiseen, joten C saadaan kartoituksesta fa: R → C. Viime vuosisadan puolivälistä lähtien, jolloin Denis Gabor ehdotti vuonna 1946 tämän ilmiön käyttämistä vakioamplitudin ja -vaiheen tutkimiseen, signaali on löytänyt monia sovelluksia. Tämän ilmiön erikoisuus korostettiin [Vak96], jossa osoitettiin, että vain analyyttisen signaalin kvalitatiivinen analyysi vastaa amplitudin, vaiheen ja taajuuden fyysisiä olosuhteita.
Viimeisimmät saavutukset
Viime vuosikymmeninä on ollut kiinnostusta signaalien tutkimiseen monissa ulottuvuuksissa, mikä johtuu ongelmista, jotka ilmenevät aloilla, jotka vaihtelevat kuvan/videon käsittelystä moniulotteisiin värähtelyprosesseihin fysiikan alalla, kuten seismiset, sähkömagneettiset ja gravitaatioa altoja. Yleisesti on hyväksytty, että analyyttisen C:n (laadullinen analyysi) yleistämiseksi oikein useiden ulottuvuuksien tapaukselle on turvauduttava algebralliseen rakenteeseen, joka laajentaa tavallisia kompleksilukuja sopivalla tavalla. Tällaisia rakenteita kutsutaan yleensä hyperkompleksiluvuiksi [SKE].
Lopuksi pitäisi olla mahdollista rakentaa hyperkompleksinen analyyttinen signaali fh: Rd → S, jossa on esitetty jokin yleinen hyperkompleksinen algebrallinen järjestelmä, joka luonnollisesti laajentaa kaikkia vaadittuja ominaisuuksia hetkellisen amplitudin javaihe.
Opiskelu
Useita artikkeleita on omistettu erilaisille kysymyksiin, jotka liittyvät hyperkompleksilukujärjestelmän oikeaan valintaan, hyperkompleksin Fourier-muunnoksen määrittelyyn ja Hilbertin murto-muunnoksiin hetkellisen amplitudin ja vaiheen tutkimiseksi. Suurin osa tästä työstä perustui eri avaruuksien ominaisuuksiin, kuten Cd, kvaternionit, Clearon-algebrat ja Cayley-Dixon-konstruktiot.
Seuraavaksi luettelemme vain joitain töitä, jotka on omistettu signaalin tutkimukselle monissa ulottuvuuksissa. Tietojemme mukaan ensimmäiset teokset monimuuttujamenetelmästä saatiin 1990-luvun alussa. Näitä ovat mm. Ellin työ [Ell92] hyperkompleksisista muunnuksista; Bulow'n työ analyyttisen reaktion (analyyttisen signaalin) menetelmän yleistämisestä moniin mittauksiin [BS01] sekä Felsbergin ja Sommerin työ monogeenisista signaaleista.
Lisänäkymät
Hyperkompleksisen signaalin odotetaan laajentavan kaikkia hyödyllisiä ominaisuuksia, jotka meillä on 1D-tapauksessa. Ensinnäkin meidän on kyettävä erottamaan ja yleistämään mittauksiin hetkellinen amplitudi ja vaihe. Toiseksi kompleksisen analyyttisen signaalin Fourier-spektri säilyy vain positiivisilla taajuuksilla, joten odotamme hyperkompleksisella Fourier-muunnoksella omaa hyperarvostettu spektrinsä, joka säilyy vain jossakin hyperkompleksiavaruuden positiivisessa kvadrantissa. Koska se on erittäin tärkeää.
Kolmanneksi, yhdistä monimutkaisen käsitteen osatAnalyyttisen signaalin osat liittyvät Hilbert-muunnokseen, ja voimme olettaa, että hyperkompleksiavaruuden konjugaattikomponenttien täytyy myös liittyä johonkin Hilbert-muunnosten yhdistelmään. Ja lopuksi, hyperkompleksinen signaali on todellakin määriteltävä jonkin hyperkompleksisen holomorfisen funktion laajennuksena useista hyperkomplekseista muuttujista, jotka on määritelty jonkin muodon rajalla hyperkompleksitilassa.
Käsittelemme näitä asioita peräkkäisessä järjestyksessä. Ensinnäkin aloitamme tarkastelemalla Fourier-integraalikaavaa ja osoittamalla, että Hilbertin muunnos 1-D:hen liittyy modifioituun Fourier-integraalikaavaan. Tämän tosiasian avulla voimme määrittää hetkellisen amplitudin, vaiheen ja taajuuden ilman viittausta hyperkompleksilukujärjestelmiin ja holomorfisiin funktioihin.
Integraalien muuttaminen
Jatkamme laajentamalla modifioitua Fourier-integraalikaavaa useisiin ulottuvuuksiin ja määritämme kaikki tarvittavat vaihesiirretyt komponentit, jotka voimme kerätä hetkellisiksi amplitudiksi ja vaiheiksi. Toiseksi tarkastellaan kysymystä useiden hyperkompleksimuuttujien holomorfisten funktioiden olemassaolosta. [Sch93] jälkeen käy ilmi, että elliptisten (e2i=−1) generaattorien joukon generoima kommutatiivinen ja assosiatiivinen hyperkompleksialgebra on sopiva tila hyperkompleksin analyyttisen signaalin elää, kutsumme tällaista hyperkompleksialgebraa Schäfersin avaruudeksi ja merkitsemme seSd.
Siksi analyyttisten signaalien hyperkompleksi määritellään holomorfiseksi funktioksi polylevyn / tason yläpuoliskon rajalla jossain hyperkompleksiavaruudessa, jota kutsumme yleiseksi Schaefers-avaruudeksi ja jota merkitään Sd:llä. Sitten tarkkailemme Cauchyn integraalikaavan pätevyyttä funktioille Sd → Sd, jotka lasketaan hyperpinnan yli polylevyn sisällä Sd:ssä ja johdetaan vastaavat Hilbertin murto-muunnokset, jotka liittyvät hyperkompleksikonjugaattikomponentteihin. Lopuksi käy ilmi, että Fourier-muunnos Schäfersin avaruuden arvoilla on tuettu vain ei-negatiivisilla taajuuksilla. Tämän artikkelin ansiosta olet oppinut, mikä on analyyttinen signaali.
